基于数学思想的中考试题分析

基于数学思想的中考试题分析

辽宁省基础教育教研培训中心李中华整理ppt一、2009年全国中考数学考试总体概况在全国30个省、直辖市、自治区中，除四个直辖市外，命题单位可分为三种情况省统一命题：陕西、河北、河南、江苏、江西、海南、西藏、青海、新疆、云南、宁夏；省命题为主，个别市单独命题：广东、吉林、山西、安徽、全部由市、地、州单独命题：黑龙江、辽宁、山东、内蒙、福建、广西、湖北、湖南、甘肃、贵州、四川、浙江．整理ppt一、2009年全国中考数学考试总体概况数学中考试卷有几种不同类型：学业水平考试（全面考查考生初中数学学业水平，成绩作为高中招生的重要依据）高中招生考试（在初中毕业水平考试基础上单独举行的招生考试，即两考）学业水平考试（全卷分为两部分，一部分主要承担毕业水平考试的功能，另一部分主要承担拉开差距的功能，常把全卷分为100分+50分，即两考合一）其中第一种类型占绝大多数，是主流；第二种类型极少；第三种类型也是少数。

整理ppt一、2009年全国中考数学考试总体概况

1.试题命制渐趋稳定2.试题体现的指导思想3.试题表现出来的一般特点4.越来越多的试卷在增加对学生活动和学习过程的考查的探索;5.在一些较新的题型和考查方法上呈现出省际之间的差异。整理ppt二、关于数学发展所依赖的思想长期以来，人们习惯地认为“数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学”，这个定义也是不准确的．数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，不管是现实世界的“数量关系和空间形式”还是思维想象的“数量关系和空间形式”，都属于数学研究的范畴整理ppt二、关于数学发展所依赖的思想“数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行运算与逻辑推理的科学．数学与现实若即若离，一方面，数学解决自身逻辑的矛盾得到发展；另一方面，数学又必须通过与外部世界的接触汲取活力．”整理ppt二、关于数学发展所依赖的思想数学发展所依赖的思想本质上有三个：抽象、推理、模型，其中抽象是最核心的，通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。整理ppt三、中考数学试题特色评析1．从全新角度考查基础知识和基本技能要想学好数学，就必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活的加以运用．因此在关注对基础知识和基本技能考查的同时，特别注意了考查方式的多样化和考查角度的新颖性．整理ppt三、中考数学试题特色评析例1如图1，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于A．30° B．45°C．60° D．90°POBA图1整理ppt三、中考数学试题特色评析评析本题旨在考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系．但其呈现方式却与众不同，自然而巧妙地把问题置于正方形之中，建立起了知识间的相互联系．整理ppt三、中考数学试题特色评析例2下列事件中，属于不可能事件的是A．某个数的绝对值小于0B．某个数的相反数等于它本身C．某两个数的和小于0D．某两个负数的积大于0评析本题考查的是不可能事件的概念，但其中却蕴含着考生对数的基础知识的思考，使这道看似简单的题目变得丰满而扎实．整理ppt三、中考数学试题特色评析例3如图2所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为取相反数×2＋4图2输入x输出yOyx-2-

4ADCBO42yO2-

4yxO4-

2yxx整理ppt三、中考数学试题特色评析评析对函数图象的考查是中考命题的常见内容，但本题不是平铺直叙，而是另辟蹊径——借助程序设计的背景，将函数表达式的产生与函数图象的性质完美的衔接起来，设计出了一道新而不偏、新而不怪的好题．整理ppt三、中考数学试题特色评析2．关注数学思想方法，渗透数学文化数学的思想方法是数学学科的灵魂，它有时并非刻意指向解题所运用的数学知识，而更多的体现在对解题策略的思考和选择上．此外，渗透数学文化、陶冶学生心灵、感受数学魅力，使数学具有更为积极的教育功能，也是命题组在试题命制中始终关注的一个环节．整理ppt三、中考数学试题特色评析例4从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图3所示的零件，则这个零件的表面积是A．20 B．22C．24 D．26图3整理ppt三、中考数学试题特色评析例5如图4，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为

cm．ABC图4DEA′

整理ppt三、中考数学试题特色评析评析从表面看，上述两题是对基本几何知识性质（图形的周长和面积）的考查，但通过对解题策略的分析，却不难发现，其关注的核心实际是数学的思想方法，即利用平移和轴对称实现对问题的转化（化归）．这两道试题还具有良好的推广性．如例4中，让挖去的小正方体经过大正方体的两个面或只在一个面上时，其表面积会怎样变化？例5中，点A′在△ABC的内部或边上时，阴影部分的周长有什么不同？等等．整理ppt三、中考数学试题特色评析例6如图5，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的三分之一，另一根露出水面的长度是它的五分之一．两根铁棒长度之和为55

cm，此时木桶中水的深度是

cm．图5整理ppt三、中考数学试题特色评析评析本题通过现实有趣的数学情景，将方程思想巧妙地蕴含其中．此外，解法的多样性也是本题的一大特点，既可以形成一元一次方程的模型（设水的深度为未知数），又可以形成二元一次方程组的模型（设两根木棒的长度为未知数），还可以有其他方法．这样使学生单向封闭的思路拓展成多维开放的思路，有效地培养了学生的创新思维能力．整理ppt三、中考数学试题特色评析例7古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从图6中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是A．13=3+10B．25=9+16C．36=15+21D．49=18+314=1+39=3+616=6+10图6…整理ppt三、中考数学试题特色评析评析该题以毕达哥拉斯学派的发现为切入点，以数字间的内在关系为背景，不仅考查了学生探究发现规律的能力，而且还可以借助图形进行分析，很好的体现了“数形结合”的思想．同时又向学生渗透了世界古代文化的精深与美妙，有一种内在的和谐与古远幽深的意境，激发了学生对数学文化的热爱，既有趣味性、挑战性，又有教育功能，令人耳目一新．整理ppt三、中考数学试题特色评析3．在考查思维能力的同时，更关注对思维方式和思维过程的考查在新课程理念的指导下，日常教学中，培养学生数学思维的能力尤为重要．但更重要的是，通过具体有形的数学知识，传递给学生一种数学的思维方式，体验思维和认知的一般方法与过程（数学思考）．可以说，今年的数学试题在关注“知识立意”与“能力立意”的同时，又注入了“过程立意”．这必将对今后的教学产生重要的影响．整理ppt三、中考数学试题特色评析例8已知抛物线经过点A

(－3，－3)和点P

(t，0)，且t

≠

0．（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图8，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．AOPxy图8-

3-

3整理ppt三、中考数学试题特色评析评析该题以二次函数为背景，但却打破了以往程式化的设问方式，而是带有浓郁的探究成分，清晰地为我们勾勒出了“在两个点确定的情况下，抛物线的某些属性（开口方向）随另一个点的运动而变化”的一个连续的动态过程，将代数演绎与几何直观有机地结合了起来．本题考查的主旨并非是对解题方法和技巧的机械运算，而是巧妙地考查了学生直观思维的过程与方法，正所谓“四两拨千斤”就是这个道理．整理ppt例9如图9-1至图9-5，⊙O均作无滑动滚动，⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4均表示⊙O与线段AB或BC相切于端点时刻的位置，⊙O的周长为c．图9-1AO1OO2BB图9-2ACn°DO1O2B图9-3O2O3OAO1CO4OABC图9-4DD图9-5O整理ppt三、中考数学试题特色评析阅读理解：（1）如图9-1，⊙O从⊙O1的位置出发，沿AB滚动到⊙O2的位置，当AB

=

c时，⊙O恰好自转1周。（2）如图9-2，∠ABC相邻的补角是n°，⊙O在∠ABC外部沿A-B-C滚动，在点B处，必须由⊙O1的位置旋转到⊙O2的位置，⊙O绕点B旋转的角∠O1BO2=n°，⊙O在点B处自转周．

实践应用：（1）在阅读理解的（1）中，若AB

=

2c，则⊙O自转

周；若AB

=

l，则⊙O自转

周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC

=120°，则⊙O在点B处自转

周；若∠ABC

=60°，则⊙O在点B处自转

周．

（2）如图9-3，∠ABC=90°，AB=BC=c．⊙O从⊙O1的位置出发，在∠ABC外部沿A-B-C滚动到⊙O4的位置，

⊙O自转

周。整理ppt三、中考数学试题特色评析拓展联想：（1）如图9-4，△ABC的周长为l，⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，⊙O自转了多少周？请说明理由．（2）如图9-5，多边形的周长为l，⊙O从与某边相切于点D的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D的位置，直接写出⊙O自转的周数．整理ppt三、中考数学试题特色评析评析本题以课题学习的形式呈现，从简单的“圆在直线段和角外部滚动的周数”的数学事实出发，循序渐进，层层深入，引导学生在解决问题的过程中，不断产生认知发展，进而在不知不觉中提炼归纳出一般性的结论，使自己对知识的认识得到升华．可以看出，本题清晰地给学生展现了一个从“提出基本事实→解决具体问题→归纳整合方法→实现思维升华”的完整思维过程，所呈现的情境不是对解题方法的简单重复，而是不断引导学生去探究和掌握一类问题的一般解决策略．因此，在解答本题过程中可以充分体验到从“特殊到一般”的数学思想，这也正是学生学习数学乃至认识一切事物的重要方式之一（同化与演绎）．此外，本题还可拓展成一个圆在另一个圆的外部（或内部）滚动周数计算的问题，从而使解题思路得到进一步的深化和发展．整理ppt三、中考数学试题特色评析例10在图10-1至图10-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M.图10-1AHC(M)DEBFG(N)G图10-2AHCDEBFNMAHCDE图10-3BFGMN整理ppt三、中考数学试题特色评析（1）如图10-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FM⊥MH；（2）将图10-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图10-2，求证：△FMH是等腰直角三角形；（3）将图10-2中的CE缩短到图10-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）整理ppt三、中考数学试题特色评析评析本题的主旨是在考查学生的推理能力（合情推理与演绎推理），但通过旋转和放缩的变换，构造出了一个“从特殊到一般”的三种图形状态，其中蕴含了“运动与静止的对立统一”、“在变化过程中寻找某些量的不变属性”这一重要的数学基本观念．将学生的观察操作、猜想推断、演绎论证等数学活动有机的融为一个整体．这样做，既使学生获得了一种科学探究的思维模式，又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地，从而通过对不同层次的学生采用不同的评价，体现了尊重学生的数学个体差异，有利于激发学生的思维激情和潜能，增加自信心和成就感，同时也有效地提高了试题的信度与效度．整理ppt四、可推广性试题分析可推广性要求按照《课程标准》所要求的达到初中毕业水平的考生应该形成的整体学习习惯、学习过程、学习结果来设计考题，注意所考查的数学知识之间的内在联系和题目设计可以抽象到它的上位知识，加强对数学思想方法的考查，确保考试的结果能成为判断考生当前达到《课程标准》所规定数学学习水平的依据。整理ppt四、可推广性试题分析（一）考查具有类特征的问题，使所考查的数学问题具有可推广性所谓类特征的问题是指问题的内在结构一致，解答过程的模式一致，但具体问题情景和涉及的数学知识、技能不完全相同的问题，它直接指向考生的数学经验，掌握一些基本的类特征问题是数学学习基本要求，也是学好数学的有效途径之一。2009年各地较为注意选择具有类特征的问题，实现对同一知识的同类问题的考查，在一定程度上确保了考试结果可以推广到《课程标准》意义下学生的数学素养水平.行程问题；测量问题；简单证明。整理ppt四、可推广性试题分析测量问题在初中数学中的测量问题主要包括：土地测量、面积计算、工程建筑、机械制造、航海航空等许多问题，它们都可归结为用相似三角形和解直角三角形问题来解决的问题。整理ppt四、可推广性试题分析例11题目1：如图1，A、B两点分别位于一个池塘的两端，由于受条件限制无法直接度量A、B间的距离．小明利用学过的知识，设计了如下三种测量方法，如图①、②、③所示（图中．．．表示长度，，，．．．表示角度）．（1）请你写出小明设计的三种测量方法中AB的长度：图①AB=

，图②AB=

，图③AB=

；（2）请你再设计一种不同于以上三种的测量方法,画出示意图（不要求写画法），用字母标注需测量的边或角,并写出AB的长度．【2009年福建省三明市中考试题】图1整理ppt四、可推广性试题分析例12：图2，在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度。CGEDBAF图2整理ppt四、可推广性试题分析点评：本例所举的两个题目所均属于测问题。题目1呈现了用三种不同的测量方案解决实际问题的方式，并要求学生自主设计有别于本题所提供的方案，具有较大的思考空间和创造性，解决题目1需要学生通过观察、分析图形的特征，选择所学知识，运用测量的基本原理进行适度的转化与迁移，设计合理的测量方案；题目2直接给出测量物高的方案，考生需正确理解该测量方案，利用测量知识和所学知识解决问题。这两道题目都通过不同的角度来实现测量问题的考查，解决这类问题的基本模式一致，都是将实际背景下的测量问题转化为标准形式下的测量问题（最终抽象为相似三角形问题或解直角三角形问题），利用三角形相似的基本原理来分析和理解测量的对象，根据解答的结果可以较好地推断考生解决同类测量问题的能力和水平，具有较好的可推性。整理ppt四、可推广性试题分析（二）考查典型技能性问题，使所考查的数学技能具有可推广性典型技能型问题是指解答过程具有操作流程固定及所需相应技能相对具体、完整的特征，其可化分为：单一技能问题和复合技能问题。能熟练解决与初中数学内容相联系的典型问题，既是考生进一步学习的需要，也是考生走向社会的需要。利用典型问题考查学生解决问题的情况，可以较好地推广到学生解决一类问题方面的发展情况，也有利于引导教师加强初中数学“典型问题”的教学，体现课标的基本要求。2009年各地中考试卷较为注意利用典型问题考查考生对解决该问题的情况，使得对技能的考查结果具有较好的推广性，值得认真加以总结、完善、推广。整理ppt四、可推广性试题分析1.分解因式2.代数式化简3.解方程（组）4.解不等式（组）5.基本尺规作图6.图形变换整理ppt四、可推广性试题分析分解因式各地较为注意对因式分解的考查，有的地区在设计因式分解题目时，还适当地设计开放性试题，为考生实施解答留有一定的选择余地。整理ppt四、可推广性试题分析例13题目1：因式分解：【2009年湖南省怀化市中考试题】题目2：在三个整式中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。【2009年吉林省中考试题】整理ppt四、可推广性试题分析点评：本例所举的题目1是通过简单、具体的典型代数恒等变形问题，直接考查学生对分解因式概念的理解程度和运用乘法公式对代数式进行恒等变形的技能，题目2给出了问题的内在要求和构造问题所需要的要素，而没有给出明确、确定的因式分解问题，给考生预留了构造具体问题的空间。两个题目虽然形式上不同，但解答过程均具有明显的程序性特征，由于考查的重点是运算及代数式的恒等变形，根据考生的解答结果基本上能较好地推知其对该项知识和技能的掌握情况。整理ppt四、可推广性试题分析（三）考查问题解决型问题，使基于问题的表现能推断为数学能力问题解决型问题直接指向考生的数学能力，能成功解答问题解决型问题是具有数学能力的表现.由于解决问题的过程使孤立的知识发生联系，而这个联系与知识内在抽象过程具有一致性，从这个意义上讲，这个过程有助于下位知识上升到上位知识及至数学思想、方法，即具有可再抽象性。2009年各地试题与以往中考一样依然注重设计问题解决型问题,问题解决型的问题有的来源于现实生活或纯粹的数学探索，有的突出知识之间内在联系，有的突出某个知识点设计形式的新颖独特，有的突出旧中出新，为根据考试结果推断考生数学能力发展状况