一种多级联非线性系统的控制器设计

一种多级联非线性系统的控制器设计

0结构自适应动态逆方法容错控制是目前控制理论的亮点。在不影响整个系统性能的情况下，应尽可能适应各种网络系统故障、作动器故障和结构损伤的故障。容错控制研究对提高飞行器自主飞行性能具有重要意义。传统的容错飞行控制系统的重要组成部分是在线故障检测隔离算法,它的直接影响是控制系统的复杂程度会随着系统故障数量的增加而提高以及可能发生误报警情况,从而影响飞行性能。基于自适应控制理论的容错控制方法分为直接自适应和间接自适应两种方法。文献提出了线性二次型间接自适应控制律,用于补偿飞机俯仰通道由于发生水平尾翼故障造成的性能损失,提高了飞行的可靠性;文献针对未知系统参数和未知的作动器卡死故障,提出了一种直接自适应控制算法,在状态反馈基础上引入额外补偿控制律,弥补由于故障对系统造成的性能损失,从而实现对参考模型的准确跟踪。然而,这些文献所讨论的问题都是在线性定常系统框架下,并没有涉及非线性情况。实际上,当系统发生故障后,即使是线性系统也会表现出非线性特性。因此,研究非线性情况下的自修复控制问题更具实际意义。由飞行器动力学方程和运动学方程,不难发现其具有级联结构形式,即不确定性只存在于动力学方程中,运动学方程能够精确已知,并且不受系统不确定性参数的影响。文献利用结构级联特性提出了结构自适应动态逆方法,在线逼近系统参数及故障参数,更新容错控制律参数,取得了满意的仿真效果,但这种方法需要精确获得已知系统的参数,控制律复杂,实现难度大。本文根据飞行器类非线性系统的结构级联特性,设计了基本控制律加补偿控制律的控制器结构形式。利用反步(backstepping)方法设计基本的控制律,当系统发生作动器卡死故障时,利用直接自适应方法构造故障补偿控制律,整个控制器保证了闭环系统稳定性和对参考模型的精确跟踪。1控制s考虑如下一类非线性系统:˙x1=x2˙x2=f2(x)+b2u(1)其中:x=[xΤ1xΤ2]Τ为系统状态,x1,x2∈R3×1;f2∈R3×1为非线性函数;b2∈R3×5为定常矩阵;u∈R5×1为控制输入。基本假设1:1)系统的状态是可以测量的;2)对于有界闭的状态集合Sx,b2bT2可逆;3)f2(x)充分光滑。如果采用期望的模型如下:˙xm1=xm2˙xm2=Am2xm+bm2r(2)此时的控制目标,在没有故障的情况下设计控制律u,使得:limt→∞∥x(t)-xm(t)∥=0(3)成立。2设计控制软件设计系统的卡死故障建模如下:u(t)=v(t)+σ(ˉu-v(t))(4)其中:v(t)为设计的控制输入;σ为故障指示参数,取值为0或1;ˉu为发生卡死故障时作动器卡死位置。基本假设2:在q个作动器发生故障以后,剩余的m-q个作动器还能保证系统的稳定性。3基本控制律设计首先,利用backstepping方法设计无故障时的控制律,保证系统跟踪给定的参考信号;然后在基本控制律的基础上设计自适应的容错控制律,补偿故障对非线性系统跟踪性能的影响。控制律结构为u(t)=u1(t)+u2(t)(5)其中:u1(t)为基本控制律;u2(t)是为了补偿由于故障给非线性系统带来的影响而设计的补偿控制律,在系统无故障时,控制律u2(t)为零。3.1e-edes2积分令e1=x1-xm1,e2=x2-xm2,则得到如下的微分方程:˙e1=e2˙e2=f2+b2u-Am2xm-bm2r=Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u(6)这样将原来的调节问题转换成镇定问题,即要求上述系统收敛到原点。以系统误差方式描述的非线性系统的平衡点为(0,0)。取虚拟控制律:edes2=-k1ε1-λ1∫t0ε1dτ,定义:ε2=e2-edes2,则:˙ε1=˙e1-0=e2-edes2+edes2=ε2-k1ε1-λ1∫t0ε1dτ(7)其中:λ1>0;积分项∫t0ε1dτ的引入是为了保证ε1动态的跟踪误差趋于零。令η1=∫t0ε1dτ,则:˙ε1=-k1ε1+ε2-λ1η1˙ε2=˙e2-(edes2)′=˙e2+k1˙ε1+λ1ε1=˙e2+k1(-k1ε1+ε2-λ1η1)+λ1ε1=Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u-k21ε1+λ1ε1+k1ε2-k1λ1η1(8)选取如下的Lyapunov函数:V=12ε21+12ε22+12λ1η21微分可得:˙V=-k1ε21+ε2(ε1-k21ε1+λ1ε1+k1ε2-k1λ1η1+Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u)(9)若取:ε1-k21ε1+λ1ε1-k1λ1η1+Am2e-Am2x-bm2r+f2+b2u=-k2ε2(10)其中:k2>k1>0为后面待设计的参数。可以保证˙V=-k1ε21-(k2-k1)ε22＜0成立。得到基本控制律为b2u=Am2x+bm2r-f2+(k1-k2)λ1η1+(Am0-Am2)e(11)其中:Am0=[-k1k2-1+k12-λ1,-k2]。3.2系统满足判断方程基本控制律的结构,由状态反馈部分和误差信号的比例积分两部分组成,而误差信号的稳态值为零,积分部分的引入是为了补偿稳态误差。因此,在无故障时,控制律可以写成如下的形式:u=v=KTx(x)x+Krr(12)其中:ΚxΤ(x)=hAm2-hf2(x)xΚr=hbm2(13)h满足如下条件:hb2=I,I为单位阵。类似文献,令b2i,i=1,…,m代表b2的第i列,根据假设2可知,存在时变向量:k*sxi∈Rn,k*sri∈R,i=1,…,m,满足如下的匹配条件:f2(x)+b2iksxi*Τx=Am2x,b2ik*sri=bm2(14)对于某些特殊的卡死故障,即:u¯j=0‚j=1‚⋯‚i-1‚i+1‚⋯‚m‚j≠i这些条件是必需的。此时,第i个控制输入为ui=vi=v*i=ksxi*Τx+k*srir(15)此时的闭环系统方程如下:{x˙1=x2x˙2=Am2x+bm2r(16)满足控制目标。另一方面,假设2也表明存在时变向量k*xi∈Rn,k*ri∈R,i=1,…,m满足:f2(x)+b2Κx*Τx=f2(x)+∑i=1mb2ikxi*Τx=Am2xb2Κr*=∑i=1mb2ikri*=bm2(17)上述方程表明没有故障发生时系统满足的关系,即b2u=b2v。此时:Κx*=[kx1*⋯kxm*]∈Rn×mΚr*=[kr1*⋯krm*]Τ∈Rm(18)此时整个系统的反馈控制律为u=v=Kx*Τ(x)x+K*rr(19)假设有q1个作动器发生卡死故障,即:uj=u¯j‚j=j1‚⋯‚jq1‚1≤q1≤m-1,但是u¯j=0‚j=j1‚⋯‚jq1,此时,期望的匹配条件为f2(x)+∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikxi*Τx=Am2x∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikri*=bm2(20)利用b2jk*srj=bm2,j=1,…,m可以得到:b2j=bm2ksrj*(21)进一步,有:∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikri*=bm2⇒∑i≠j1‚⋯‚jq1bm2ksri*kri*=bm2⇒∑i≠j1‚⋯‚jq1kri*ksri*=1(22)类似可以得到:f2(x)+∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikxi*Τx=f2(x)+b2jksxj*Τx⇒∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikxi*Τ=g2jksxj*Τj=1‚⋯‚m⇒∑i≠j1‚⋯‚jq1kxi*ksri*=ksxj*ksrj*j=1‚⋯‚m(23)当卡死故障已知时,定义如下的控制器结构:v(t)=Kx*Τ(x)x+K*Trr+u*2(24)其中:u*2为后面将要设计的补偿控制律。假设q1个作动器发生卡死故障,即:uj(t)=u¯j‚j=j1‚⋯‚jq1‚1≤q1≤m-1此时系统的匹配条件满足式(23),即:f2+b2(Ι-σ)Κx*Τx=f2+∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikxi*Τx=Am2x(25)b2(Ι-σ)Κr*Τ=∑i≠j1‚⋯‚jq1b2ikri*=bm2根据故障建模(4),代入控制律(24)后的系统方程如下:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=f2(x)+b2(v(t)+σ(u¯-v(t)))=f2(x)+b2v(t)+b2σ(u¯-v(t))=Am2x+bm2r+b2σ×(Κx*Τ(x)x+Κr*Τ(x)r)+b2uad*+b2σ(u¯-v(t))=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2*+b2σu¯(26)为了使上述系统跟踪参考模型(2),可以选择补偿控制律u*2i(t),i≠j1,…,jq1,满足如下的方程:b2(Ι-σ)u2*(t)+b2σu¯=0⇒∑i≠j1‚⋯‚jq1b2iu2i*+∑j=j1‚⋯‚jq1b2ju¯j=0(27)同样利用式(23),可以得到:∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i*ksri*+∑j=j1‚⋯‚jq1u¯jksrj*=0(28)由式(28),可以确定补偿控制律:u*2i,i≠j1,…,jq1,满足故障后系统对参考模型的准确跟踪。当系统只有一个作动器发生卡死故障时,有:∑i≠ju2i*ksri*+u¯jksrj*=0(29)当系统只有一个作动器没有发生卡死故障,即uj(t)=u¯j‚∀j≠i‚ui(t)=vi(t)时,容错补偿律有唯一的选择,即:u2i*=-ksri*∑j≠iu¯jksrj*(30)如果系统没有发生卡死故障,有:∑i=1mu2i*ksri*=0(31)此时可以选择u*2i=0,i=1,…,m。由上述的推导过程,可以看到,故障的补偿控制律要知道故障的信息,而这种信息难以准确获取,因此,本文利用自适应的方法得到补偿控制律。假设控制器的结构如下:v(t)=Kx*Τ(x)x+K*Trr+u2(t)(32)其中:u2(t)=[u21(t)…u2m(t)]T为未知故障参数u*ad的估计值。定义参数误差如下:u2i(t)=u2i(t)-u*2i;i=1,…,m(33)系统的跟踪误差:e(t)=x(t)-xm(t),则:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=f2(x)+b2(v(t)+σ(u¯-v(t)))=f2(x)+b2v(t)+b2σ(u¯-v(t))=f2(x)+b2(Ι-σ)×(Κx*Τ(x)x+Κr*Τ(x)r)+b2(Ι-σ)(u2+u2*)+b2σu¯=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2*+b2σu¯+b2(Ι-σ)u¯2(34)由式(21)、式(27)可得:x˙1=x2x˙2=f2(x)+b2u=Am2x+bm2r+b2(Ι-σ)u2(t)=Am2x+bm2r+∑i≠j1‚⋯‚jq1b2iu2i(t)=Am2x+bm2r+bm2×∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*(35)因此系统的跟踪误差方程如下:e˙1=e2e˙2=Am2e+bm2∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*(36)定义Lyapunov函数:V(e‚u2i‚i≠j1‚⋯‚jq1)=eΤΡe+∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i2γi(37)其中:P=PT>0,γi>0,e=[e1e2]T。微分上式,得:V˙=e˙ΤΡe+eΤΡe˙+2∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)u˙2i(t)γi=eΤAmΤΡe+bmΤ∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*Ρe+∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)u˙2i(t)γi+eΤΡAme+eΤΡbm∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*+∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)u˙2i(t)γi=eΤ(AmΤΡ+ΡAm)e+2∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*(bmΤΡe+ksri*u˙2i(t)˜γi)(38)其中:Am=[[0Ι]ΤAm2Τ]Τ‚bm=[0bm2Τ]Τ,且满足如下的Lyapunov方程,即存在正定矩阵Q=QT>0,使得:ATmP+PAm=-Q<0(39)成立。同时,只要满足:∑i≠j1‚⋯‚jq1u2i(t)ksri*(bmΤΡe+ksri*u˙2i(t)γi)=0⇒u˙2i(t)=-1ksri*γibmΤΡe(40)可以保证式(38)V˙=-eΤQe＜0成立,即整个闭环系统是渐近稳定的。若令:F1=[γ1ksr1*⋯γmksrm*]Τ(41)则最终得到容错补偿律如下:u˙2(t)=-F1bmΤΡe(t)(42)最终的控制律如下:v(t)=Κx*Τ(x)x+Κr*r+u2(t)u˙2(t)=-F1bmΤΡe(t)综合基本控制律(6)和补偿控制律(42),最终得到整个闭环控制律如下:v(t)=Kx*Τ(x)x+K*rr+u2(t)u2(t)=-∫t0F1bTmPe(τ)dτ-F2e(t)(43)其中:F2=-Am0+Am2。4系统参考模型跟踪试验考虑被控对象由如下的非线性方程描述:σ˙=Rωω˙=J-1(-ω×Jω+Μ)σ=[ϕ‚θ‚φ]Τ‚ω=[p‚q‚r]Τ‚Μ=[l‚m‚n]Τ其中:l=12ρV2Sblδaδa+12ρV2Sblδrδr;m=12ρV2Sc¯mδeδe;n=12ρV2Sbnδaδa+12ρV2Sbnδrδr。仿真数据采用某型飞机。参考模型如下