人教版物理必修第二册同步讲练第8章 机械能守恒定律 3　动能和动能定理 (含解析)

动能和动能定理核心素养目标物理观念理解动能的概念及动能定理。科学思维经历动能概念的建立过程，提高演绎推理能力，会用动能定理解决力学中的实际问题。科学态度与责任感知生活中动能定理的应用，提高理论与实践相结合的能力。知识点一动能的表达式[观图助学]如图甲所示，是古代战争中攻击城门的战车，战车上装有一根质量很大的圆木，有很多士兵推着以很大的速度撞击城门，轻而易举地将城门撞破。圆木的质量很大，速度很大时，是为了增加圆木的什么能？甲乙如图乙所示，人用铁锤打击石头时为什么要用质量较大的铁锤，还要高高抡起来？这样可以增大铁锤打击石头时的什么能？1.定义：在物理学中用“eq\f(1,2)mv2”这个量表示物体的动能。2.表达式Ek＝eq\f(1,2)mv2。3.单位在国际单位制中是焦耳，符号为J。1kg(m/s)2＝1N·m＝1J。[思考判断](1)凡是运动的物体都具有动能。(√)(2)一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化。(√)(3)动能不变的物体，一定处于平衡状态。(×)(4)做匀速圆周运动的物体的动能保持不变。(√)初中学过动能物体由于运动而具有的能，叫作动能。质量相同的物体，运动的速度越大，动能越大；运动速度相同的物体，质量越大，动能越大。动能的“三性”(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。(2)标量性：动能是标量，没有方向。(3)瞬时性：动能是状态量。知识点二动能定理1.推导：如图所示，物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生了一段位移l，速度由v1增加到v2，此过程力F做的功为W。2.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。3.表达式：W＝Ek2－Ek1。动能定理中的功“W”指合力做的功。4.适用范围：既适用于恒力做功，也适用于变力做功；既适用于直线运动，也适用于曲线运动。[思考判断](1)合力做正功，物体动能可能减小。(×)(2)运动物体所受的合外力为零，则物体的动能肯定不变。(√)(3)物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化。(×)(4)若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零。(×)(5)物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化。(√),Ek2－Ek1是动能的变化，定理中“变化”一词，并不表示动能一定增大，它的确切含义为末态与初态的动能差，或称为“改变量”，数值可正、可负。核心要点一对动能和动能定理的理解1.动能与速度的三种关系(1)数值关系：Ek＝eq\f(1,2)mv2，质量一定时，速度v越大，动能Ek越大。(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系。(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量，质量一定的物体当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化；当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变。2.对动能定理的理解(1)对“力”的两点理解①“力”可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，它们可以同时作用，也可以不同时作用。②“力”既可以是恒力，也可以是变力。(2)公式中“＝”体现的三个关系数量关系合力做的功与物体动能的变化相等单位关系国际单位都是焦耳因果关系合力做功是物体动能变化的原因3.合力做功与动能变化的关系[试题案例][例1]关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是()A.合外力为零，则合外力做功一定为零B.合外力做功为零，则合外力一定为零C.合外力做功越多，则动能一定越大D.动能不变，则物体合外力一定为零解析由W＝Flcosα可知，物体所受合外力为零，合外力做功一定为零，但合外力做功为零，可能是α＝90°，故选项A正确，B错误；由动能定理W＝ΔEk可知，合外力做功越多，动能变化量越大，但动能不一定越大。动能不变，合外力做功为零，但物体合外力不一定为零，选项C、D均错误。答案A[针对训练1](多选)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑水平地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则()A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量B.第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍解析第一过程速度增量为Δv1＝v，动能增量为ΔEk1＝eq\f(1,2)mv2，合外力做功W1＝ΔE1＝eq\f(1,2)mv2；第二过程速度增量Δv2＝2v－v＝v，动能增量ΔEk2＝eq\f(1,2)m·(2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2＝3ΔEk1，合外力做功W2＝ΔEk2＝eq\f(3,2)mv2＝3W1，故选项A、B正确，C、D错误。答案AB核心要点二动能定理的应用1.应用动能定理解题的注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。(2)动能定理的表达式是一个标量方程，但在应用动能定理时，需要明确各力做功的正、负。2.对动能定理的几点说明名词释疑正负关系W＞0，ΔEk＞0(动力做功)；W＜0，ΔEk＜0(阻力做功)研究对象一般是一个物体，也可以是一个系统过程要求适用于全过程，也适用于某一阶段对应关系一个过程量(做功)对应着两个状态量(动能)[试题案例][例2]如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度s＝5m，轨道CD足够长，且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30m、h2＝1.35m。现让质量为m的小滑块自A点由静止释放，已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小；(2)小滑块最终停止的位置距B点的距离。【审题指导】题干关键点信息提取圆弧平滑连接速度方向变化时大小不变AB、CD段是光滑的滑块在斜面上运动时没有摩擦轨道CD足够长滑块在右端斜面上滑时直到速度为零解析(1)如图所示，小滑块从A→B→C→D过程中，由动能定理得mg(h1－h2)－μmgs＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,D)－0将h1、h2、s、μ、g代入得vD＝3m/s。有mgh1＝μmgs总将h1、μ代入得s总＝8.6m故小滑块最终停止的位置距B点的距离为2s－s总＝1.4m。答案(1)3m/s(2)1.4m[例3]质量为4t的卡车，由静止出发在水平公路上行驶100m后速度增大到54km/h，若发动机的牵引力为5×103N不变。则：(1)牵引力做了多少功？(2)卡车动能增加了多少？(3)卡车克服阻力做了多少功？解析(1)W＝Fs＝5×103×100J＝5×105J。(2)ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－0＝eq\f(1,2)×4×103×152J＝4.5×105J。(3)由动能定理知W合＝ΔEk，即W－W阻＝ΔEkW阻＝W－ΔEk＝5×105J－4.5×105J＝5×104J。答案(1)5×105J(2)4.5×105J(3)5×104J[拓展]在[例3]中如果汽车速度从54km/h继续行驶至速度为75.6km/h，此过程中假设汽车所受牵引力与阻力数值不变，求汽车速度从54km/h加速至75.6km/h过程中，汽车前进的距离。解析设汽车前进过程中阻力为f，前进位移为s，由题知W阻＝fs，即f＝eq\f(W阻,s)＝eq\f(5×104,100)N＝5×102N。由动能定理有Fs1－fs1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)将v2＝75.6km/h＝21m/s，v1＝54km/h＝15m/s代入上式得s1＝96m。答案96m方法总结应用动能定理解题的步骤[针对训练2]如图所示，物体从斜坡上A处由静止开始下滑，滑到B处后又沿水平面前进到C处停下。如果物体从A处以一定的初速度v0滑下，求物体停下处D距C多远？(设物体与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g)解析物体沿斜面下滑过程中，重力和摩擦力做功，物体沿水平面运动时只有摩擦力做功。物体从A由静止运动到C处停止的过程中，设摩擦力在AB段、BC段做的功分别为W1、W2，由动能定理得mghAB＋W1＋W2＝0①物体从A处以初速度v0滑下到D停止的过程中，设CD段摩擦力做的功为W3由动能定理得mghAB＋W1＋W2＋W3＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)②由①②式得W3＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，即－μmgsCD＝－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)sCD＝eq\f(veq\o\al(2,0),2μg)。答案eq\f(veq\o\al(2,0),2μg)[针对训练3]在[针对训练2]中如果AB的高度差为h，物体质量为m，使物体由C点沿原路返回A点，则外力做的功至少为多少？解析物体从A由静止到C处停止的过程中，设摩擦力做的功为Wf，由动能定理得mgh＋Wf＝0①物体从C至A处速度恰为0时，外力做功最少，设为WF，由动能定理得WF＋Wf－mgh＝0②由①②式解得WF＝2mgh。答案2mgh1.质量一定的物体()A.速度发生变化时其动能一定变化B.速度发生变化时其动能不一定变化C.速度变化时其动能一定不变D.动能不变时其速度一定不变解析速度是矢量，速度变化时可能只有方向变化，而大小不变，动能是标量，所以速度只有方向变化时，动能可能不变；动能不变时，只能说明速度大小不变，但速度方向不一定不变，故只有B正确。答案B2.一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为()A.eq\f(3,2)mv2 B.－eq\f(3,2)mv2C.eq\f(5,2)mv2 D.－eq\f(5,2)mv2解析由动能定理得W＝eq\f(1,2)m(－2v)2－eq\f(1,2)mv2＝eq\f(3,2)mv2，选项A正确。答案A3.如图所示，在短道速滑运动中，“接棒”的运动员甲提前站在“交棒”的运动员乙前面，并且开始向前滑行，待乙追上甲时，乙猛推甲，甲获得更大的速度向前冲出。不计冰面阻力，则在乙推甲的过程中()A.甲对乙做正功，甲的动能增大B.甲对乙做正功，乙的动能增大C.乙对甲做正功，甲的动能增大D.乙对甲做正功，乙的动能增大解析甲对乙的作用力方向向后，与乙的速度方向相反，对乙做负功，乙的动能减小；乙对甲的作用力向前，与甲的速度方向相同，对甲做正功，甲的动能增大，故选项C正确，A、B、D错误。答案C4.如图所示，某人骑自行车下坡，坡长l＝500m，坡高h＝8m，人和车总质量为100kg，下坡时初速度为4m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10m/s，g取10m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为()A.－4000J B.－3800JC.－5000J D.－4200J解析由动能定理有mgh＋Wf＝eq\f(1,2)m(v2－veq\o\al(2,0))，解得Wf＝－mgh＋eq\f(1,2)m(v2－veq\o\al(2,0))＝－3800J，故B正确。答案B5.(2018·全国卷Ⅱ，14)如图，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定()A.小于拉力所做的功 B.等于拉力所做的功C.等于克服摩擦力所做的功 D.大于克服摩擦力所做的功解析由动能定理WF－WFf＝Ek－0，可知木箱获得的动能一定小于拉力所做的功，A正确。答案A6.半径R＝1m的eq\f(1,4)圆弧轨道下端与一光滑水平轨道连接，水平轨道离地面高度h＝1m，如图所示，有一质量m＝1.0kg的小滑块自圆弧轨道最高点A由静止开始下滑，经过水平轨道末端B时速度为4m/s，滑块最终落在地面上(g取10m/s2)，试求：(1)不计空气阻力，滑块落在地面时速度的大小；(2)滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功。解析(1)从B点到地面这一过程，只有重力做功，根据动能定理有mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)，代入数据解得v＝6m/s。(2)设滑块在轨道上滑行时克服摩擦力做的功为WFf，对滑块从A到B这一过程运用动能定理有mgR－WFf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－0，解得WFf＝2J。答案(1)6m/s(2)2J基础过关1.改变汽车的质量和速率，都能使汽车的动能发生变化，在下面几种情况中，汽车的动能是原来的2倍的是()A.质量不变，速率变为原来的2倍B.质量和速率都变为原来的2倍C.质量变为原来的2倍，速率减半D.质量减半，速率变为原来的2倍解析由Ek＝eq\f(1,2)mv2知，m不变，v变为原来的2倍，Ek变为原来的4倍。同理，m和v都变为原来的2倍时，Ek变为原来的8倍；m变为原来的2倍，速率减半时，Ek变为原来的一半；m减半，v变为原来的2倍时，Ek变为原来的2倍，故选项D正确。答案D2.关于动能定理，下列说法中正确的是()A.在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和B.只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变C.动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动D.动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况解析外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，选项A错误；根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，选项B错误；动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，选项C错误，D正确。答案D3.两个物体质量之比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比为()A.1∶1 B.1∶4C.4∶1 D.2∶1解析由动能表达式Ek＝eq\f(1,2)mv2得eq\f(Ek1,Ek2)＝eq\f(m1,m2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v1,v2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1)))eq\s\up12(2)＝4∶1，C正确。答案C4.(多选)一质量为0.1kg的小球，以5m/s的速度在光滑水平面上匀速运动，与竖直墙壁碰撞后以原速率反弹，若以弹回的速度方向为正方向，则小球碰墙过程中速度的变化和动能的变化分别是()A.Δv＝10m/s B.Δv＝0C.ΔEk＝1J D.ΔEk＝0解析弄清速度的变化是矢量而动能的变化是标量，是分析问题的关键。由于速度是矢量，故Δv＝v2－v1＝5m/s－(－5m/s)＝10m/s。而动能是标量，初、末状态的速度大小相等，故动能相等，因此ΔEk＝0，故选项A、D正确。答案AD5.有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图所示。如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是()A.木块所受的合力为零B.因木块所受的力对其都不做功，所以合力做的功为零C.重力和摩擦力的合力做的功为零D.重力和摩擦力的合力为零解析物体做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合力不为零，A错误；速率不变，动能不变，由动能定理知，合力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C正确，B、D错误。答案C6.如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体。电梯在钢索的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由v1增加到v2时，上升高度为H，重力加速度为g，则在这个过程中，下列说法或表达式正确的是()A.对物体，动能定理的表达式为WN＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)，其中WN为支持力做的功B.对物体，动能定理的表达式为W合＝0，其中W合为合力做的功C.对物体，动能定理的表达式为WN－mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)D.对电梯，其所受合力做功为eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)Mveq\o\al(2,1)－mgH解析物体受重力和支持力作用，根据动能定理得WN－mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，故选项C正确，A、B错误；对电梯，合力做功等于电梯动能的变化量，故选项D错误。答案C7.一辆汽车以v1＝6m/s的速度沿水平路面行驶时，急刹车后能滑行s1＝3.6m，如果以v2＝8m/s的速度行驶，在同样的路面上急刹车后滑行的距离s2应为()A.6.4m B.5.6mC.7.2m D.10.8m解析急刹车后，水平方向上汽车只受摩擦阻力的作用，且两种情况下摩擦力大小是相同的，汽车的末速度皆为零，由动能定理可得－FFfs1＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)①，－FFfs2＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)②，②式除以①式得eq\f(s2,s1)＝eq\f(veq\o\al(2,2),veq\o\al(2,1))。故汽车滑行距离s2＝eq\f(veq\o\al(2,2),veq\o\al(2,1))s1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,6)))eq\s\up12(2)×3.6m＝6.4m，选项A正确。答案A8.如图所示，AB为eq\f(1,4)圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，当它由轨道顶端A从静止下滑时，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力做功为()A.eq\f(1,2)μmgR B.eq\f(1,2)mgRC.mgR D.(1－μ)mgR解析设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，物体从A到C的全过程，根据动能定理有mgR－WAB－μmgR＝0，所以有WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR，选项D正确。答案D9.如图所示，用与水平方向成θ角的恒力F，将质量为m的物体由静止开始从A点拉到B点后撤去力F，若物体和地面间的动摩擦因数为μ，A、B间的距离为x，重力加速度为g。求：(1)从A到B的过程中力F做的功W；(2)物体在运动过程中的最大动能；(3)物体的最大滑行距离。解析(1)由功的公式可求得W＝Fxcosθ。(2)由题意知：物体在AB段做加速运动，在B点有最大动能，在AB段Ff＝μFN＝μ(mg－Fsinθ)，对物体从A点到B点的过程应用动能定理Fxcosθ－μ(mg－Fsinθ)x＝Ek－0，即物体在运动过程中的最大动能Ek＝Fx(cosθ＋μsinθ)－μmgx。(3)撤去力F后，物体所受摩擦力变为μmg，设物体从B点到停止运动的位移为l，则－μmgl＝0－Ek物体的最大滑行距离x总＝l＋x＝eq\f(Fx（cosθ＋μsinθ）,μmg)。答案(1)Fxcosθ(2)Fx(cosθ＋μsinθ)－μmgx(3)eq\f(Fx（cosθ＋μsinθ）,μmg)能力提升10.一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点，小球在水平力F作用下从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图所示。则力F所做的功为()A.mglcosθ B.FlsinθC.mgl(1－cosθ) D.Fl(1－sinθ)解析小球的运动过程是缓慢的，因而小球任何时刻均可看作是平衡状态，力F的大小在不断变化，F做功是变力做功。小球上升过程只有重力mg和F这两个力做功，由动能定理得－mg(l－lcosθ)＋WF＝0，所以WF＝mgl(1－cosθ)。选项C正确。答案C11.如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块()A.加速度先增大后减小B.经过O点时的速度最大C.所受弹簧弹力始终做正功D.所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功解析当合外力为零时，弹簧处于压缩状态，弹力等于滑动摩擦力，这一位置在O点的左侧，此时加速度为0，速度最大，选项A、B错误；弹簧弹力先做正功后做负功，选项C错误；从A位置到