北京市房山区2021-2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市房山区2021—2022学年高一下学期期末学业水平调研数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．“点在直线上，但不在平面内”，用数学符号表示正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．且2．复数的虚部是（

）A． B． C． D．3．计算式子的结果是（

）A． B． C． D．4．若复数是虚数，则实数取值的集合是（

）A． B． C． D．5．在中，已知，，，则角（

）A． B． C． D．6．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则共轭复数（

）A． B． C． D．7．若，则（

）A． B． C． D．8．已知一个圆柱与一个圆锥的底面半径相等，圆柱的高等于其底面直径，圆锥的高等于其底面直径的倍．给出下列结论：①设圆柱与圆锥的体积分别为、，则；②设圆柱与圆锥的轴截面面积分别为、，则；③设圆柱与圆锥的侧面积分别为、，则；④设圆柱与圆锥表面积分别为、，则.其中所有正确结论的序号是（

）A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④9．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．已知复数，则=_____．12．若复数，，则_______．13．已知的三条边长分别为，则此三角形的最大角与最小角之和为_______．14．如图，甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船海里的处，乙船以每小时海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时海里的速度由A处向南偏西方向行驶，则经过_______小时后，甲、乙两船相距最近．15．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其表面积的值可能是________(只需写出一个可能的值)评卷人得分三、双空题16．用一个平面截一个球，所得截面面积为，球心到截面的距离为，则该球的表面积为_______，体积为_______．评卷人得分四、解答题17．已知，，求值：(1)；(2)；(3)．18．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的值域．19．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时，求：(1)堑堵的侧棱长；(2)鳖臑的体积；(3)阳马的表面积．20．在中，，.(1)求；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：的周长为.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.21．如图，在正方体中，是棱上一点，且．(1)试画出过三点的平面截正方体所得截面；(2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】根据点线关系和点面关系判定即可.【详解】点在直线上，则，因为点不在平面内，所以.故选：A.2．D【解析】【分析】根据复数虚部的定义即可得解.【详解】解：复数的虚部是.故选：D.3．C【解析】【分析】根据两角差的余弦公式求解即可【详解】由题意，故选：C4．C【解析】【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案.【详解】由复数是虚数，所以，所以实数取值的集合是，故选：C.5．A【解析】【分析】根据正弦定理可得答案.【详解】由正弦定理得，即，可得，因为，所以，即为锐角，所以.故选：A.6．B【解析】【分析】根据复数的几何意义求得复数，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】解：因为复数对应的点的坐标是，所以，所以.故选：B.7．D【解析】【分析】根据，结合两角差的正切公式即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：D.8．C【解析】【分析】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为，利用圆锥、圆柱的侧面积、表面积、体积公式以及三角形、矩形的面积公式判断可得出合适的选项.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，则圆柱的高为，圆锥的高为，圆锥的母线长为.对于①，，，则，①对；对于②，，，则，②错；对于③，，，则，③对；对于④，，，则，④对.故选：C.9．A【解析】【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．10．B【解析】【分析】设等腰三角形的底角为，其中，将正方形与四个等腰三角形面积之和用的三角函数式表示出来，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得结果.【详解】设等腰三角形的底角为，其中，则等腰三角形的高为，其底边长为，所以，正方形与四个等腰三角形面积之和为，，则，故当时，即当时，取得最大值.故选：B.11．【解析】【详解】因为复数，所以，故答案为.12．【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故答案为：.13．【解析】【分析】依题意设、、，根据三角形的性质可得，利用余弦定理求出，再根据三角形内角和定理计算可得；【详解】解：依题意设、、，因为，所以，由余弦定理，，，所以，即该三角形最大角与最小角之和为．故答案为：．14．【解析】【分析】设经过小时后，甲船和乙船分别到达两点，分别求出，再利用余弦定理结合二次函数的性质即可得解.【详解】解：设经过小时后，甲船和乙船分别到达两点，则，，所以，则当时，取得最小值，即取得最小值，此时甲、乙两船相距最近，所以经过小时后，甲、乙两船相距最近．故答案为：.15．或或【解析】【分析】由题意画出一种满足条件的图形,求解表面积即可【详解】由四面体各棱的长是1或2,且该四面体不是正四面体如图,①四面体各棱中有一条为1，另五条为2，不妨取三条侧棱长均为2,底面边长BC=BD=2，CD=1.其表面积为.故其表面积为.②四面体各棱中有两条为1，四条为2，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必为对棱.如图示，四个面全等，所以表面积为.③四面体各棱中有三条为1，三条为2，由三角形两边之和大于第三边，可知边长为1的必在同一个面内.如图示：所以表面积为.故答案为:或或16．

##【解析】【分析】先确定截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式和体积公式即可得出答案.【详解】解：因为截面面积为，所以截面圆的半径为，因为球心到截面的距离为，所以球的半径为，所以球的表面积为，球的体积为.故答案为：；.17．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由同角三角函数平方关系可得，利用两角和差正弦公式可求得结果；（2）利用二倍角的余弦公式直接求解即可；（3）由同角三角函数商数关系可得，利用两角和差正切公式可求得结果.(1)，，.(2).(3)由（1）得：；.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据正弦函数的性质计算可得；(1)解：所以函数的最小正周期．(2)解：当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，所以函数的值域为．19．(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）设堑堵的侧棱长为，根据阳马体积等于求解即可；（2）根据棱锥的体积计算即可；（3）分别计算的侧面积与底面积即可(1)因为，，，所以．所以△为直角三角形．设堑堵的侧棱长为，则，则，所以，所以堑堵的侧棱长为．(2)因为，所以．所以鳖臑的体积为．(3)因为，，，，，所以阳马的表面积的表面积为．20．(1)(2)选①：不唯一；选②：；选③：【解析】【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可得解；（2）选①，余弦定理知，知c有两个，不符合题意；选②，由正弦定理知，再利用结合面积公式即可得解；选③：由已知得，再结合余弦定理及面积公式求解.(1)利用余弦定理结合，得，即，因为，所以；(2)选择条件①：因为，，，由余弦弦定理知，即，解得或都符合三角形的性质，故此时满足条件的有两个，不符合题意.选择条件②：因为，所以因为，由正弦定理又所以的面积选择条件③：因为的周长为，，即①又，即②由①②解方程组所以的面积.21．(1)作图见解析(2)证明见解析；为