广东省华附、省实广雅、深中等四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省华附、省实，广雅、深中等四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若复数z满足，则z的虚部为（

）A． B． C． D．3．向量，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．为研究变量，的相关关系，收集得到下面五个样本数据：若由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则据此计算残差为0的样本数据是（

）12345202325273022.4334.6A．（23，2.4） B．（25，3） C．（27，3） D．（30，4.6）5．函数具有性质（

）A．最大值为2，图象关于对称 B．最大值为，图象关于对称C．最大值为2，图象关于直线对称 D．最大值为，图象关于直线对称6．已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A．1 B． C．2 D．37．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．评卷人得分二、多选题9．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（

）A．时，取得极大值 B．时，取得最小值C． D．10．若，，则（

）A． B． C． D．11．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（

）A．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为B．两份报告表都是男士的概率为C．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为D．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（

）A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分三、填空题13．的展开式中的系数是__________．14．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；将底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖孺．如图，在堑堵中，，，，则鳖臑的外接球的表面积为__________．15．写出一个同时具有下列性质①②③的三次函数__________．①为奇函数；②存在3个不同的零点；③在上单调递减．16．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成．若元件1和元件2都正常工作，或元件3正常工作，则该部件正常工作．由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取2000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这2000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为__________台．评卷人得分四、解答题17．在公差不为0的等差数列中，前n项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)设，，求数列的前12项和．18．“云课堂”是一种完全突破时空限制的全方位互动学习模式．某地区教育部门随机抽取400名高一、高二学生对“云课堂”使用情况进行问卷调查，记Y表示喜欢，N表示不喜欢，统计结果部分数据如下两表格所示：（表一）使用情况YN人数270130（表二）高一学生高二学生合计Y150N80合计(1)请根据所提供的数据，完成上面的列联表（表二），并判断能否依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级有关？(2)用样本估计总体，将频率视为概率，在该地区高一学生和高二学生中各随机抽取4人，记事件A为“4名高一学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”，事件B为“4名高二学生中恰有3人喜欢‘云课堂’”根据所给数据，估计与，并比较与的大小．附：0.050.010.0013.8416.63510.82819．设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，．(1)证明：；(2)若D是BC边上的中点，且，求的值．20．四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面．(1)求证：；(2)求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．21．已知椭圆的离心率为，过C的右焦点且垂直于x轴的直线被C截得的线段长为2，A、B为椭圆C的上、下顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P的直线l交椭圆C于M、N两点（不同于A、B两点），若直线AN与直线BM交于点Q，试问点Q的纵坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．已知函数，．(1)若曲线在处的切线过原点，求a的值；(2)当时，，求a的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A，再根据集合的补集、交集定义直接计算即得.【详解】解不等式得：或，即或，，而，则，所以.故选：A2．D【解析】【分析】设复数，依据复数相等列出关于的方程组，解之即可求得z的虚部b.【详解】设复数，由复数z满足可得，即则，解之得，即z的虚部为故选：D3．D【解析】【分析】直接由投影向量公式求解即可.【详解】在上的投影向量为.故选：D.4．B【解析】【分析】根据已知条件求出回归方程，然后逐个选项进行检验即可.【详解】由表中数据可得，，关于的经验回归方程为，可得，解得，关于的经验回归方程为，A.当x=23时，，即残差不为0，B.当x=25时，，即残差为0，C.当x=27时，，即残差不为0，D.当x=30时，，即残差不为0，故选：B5．D【解析】【分析】根据辅助角公式将函数化简为，然后代入验证是否是对称轴和对称中心即可.【详解】，故最大值为;当时，，故图象关于直线对称，当时，，故不是函数的对称中心，故选：D6．C【解析】【分析】首先得到圆的圆心坐标与半径，设，利用距离公式求出，根据二次函数的性质求出的最小值，即可求出切线长最小值；【详解】解：圆的圆心为，半径，因为为抛物线上的动点，设，则，所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；故选：C7．B【解析】【分析】将题设转化为和有3个交点，令，求导确定单调性，进而画出函数图象，结合图象即可求出a的取值范围.【详解】函数有三个零点，等价于即有三个根，即和有3个交点.令，，当时，，单减；时，，单增；则当时，取得极小值，当时，取得极大值，又时，，时，，画出图象如图所示，结合图像可知，当，和有3个交点，即函数有三个零点.故选：B.8．C【解析】【分析】根据递推关系，即可判断A,由基本不等式即可判断B,根据累加法以及放缩法即可判断C，根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D.【详解】对取倒数得：，对于A：，故A错误;对于B:，故B错.对于C:，故C正确.对于D:记，则，当时，，故在上单调递增，因此，进而可得：，由该结论可得：，故所以，因此，，所以，故D错误.故选：C9．ACD【解析】【分析】结合导函数的图像得出函数的单调性，再由极值和最值的含义进行判断即可.【详解】结合导函数的图像可知，在上单增，则，C正确；在上单减，则，D正确；由于，显然不是最小值，B错误；又在上单增，上单减，则时，取得极大值，A正确.故选：ACD.10．AB【解析】【分析】由指对幂函数的单调性及指对幂运算依次判断4个选项即可.【详解】对于A，由为增函数知，A正确；对于B，由在为增函数知，B正确；对于C，取，则，则，C错误；对于D，易得，则，则，D错误.故选：AB.11．AC【解析】【分析】由条件概率和全概率公式依次计算求解即可.【详解】对于A，在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，A正确；对于B，若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为；若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为；则两份报告表都是男士的概率为，B错误；对于C，在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，C正确；对于D，若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为；则两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为，D错误.故选：AC.12．ABD【解析】【分析】由点在双曲线上及斜率公式即可判断A选项；设出，表示出，由A选项中斜率之积即可判断B选项；利用点关于直线对称求出点坐标，代入双曲线即可求出离心率，即可判断C选项；先判断出内切圆圆心的横坐标为，再借助勾股定理即可判断D选项.【详解】由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，则，又，则，A正确；对于B，设，则，由A选项知，即，又，，故，解得，即，B正确；对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，解得，代入可得，即，解得，则C的离心率为，C错误；对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，则，又，可得，则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，，，在中，可得，即，整理得，D正确.故选：ABD.13．【解析】【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中的系数；【详解】解：因为，其中展开式的通项为，则，，所以展开式中的系数为；故答案为：14．【解析】【分析】将鳖臑外接球即为堑堵的外接球，从而求出外接球直径为，根据球的表面积公式可求其外接球表面积，【详解】堑堵的外接球即为鳖臑外接球，又可将堑堵补成长方体，长方体的外接球即为堑堵的外接球，长方体的外接球直径为，所以鳖臑的外接球的半径为3，∴鳖臑的外接球表面积为．故答案为：.15．（答案不唯一）【解析】【分析】先写出，再由奇函数的定义、解方程求零点以及求导确定单调性依次判断即可.【详解】对于三次函数，显然定义域为R，，则为奇函数，满足①；令，则，解得或，有3个不同的零点，满足②；，当时，，则在上单调递减，满足③；故.故答案为：（答案不唯一）.16．【解析】【详解】根据正态分布性质得，每个元件寿命超过小时的概率为，先求每个部件不能正常工作为，于是能正常工作的概率为，由于每个部件能否正常工作相互独立，于是这2000台仪器的部件可近似看作二项分布，根据二项分布的期望，使用寿命超过小时的有.故答案为：.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；（2）利用并项求和法及等比数列求和公式计算可得；(1)设等差数列中，首项为，公差为（），由，，所以，，解得，所以；(2)解：因为，，所以，，即，，即，即，即，即，所以18．(1)列联表见解析，依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；(2)，，【解析】【分析】（1）先完善列联表，然后零假设，计算和比较，即可作出判断；（2）先分别计算高一、高二学生喜欢“云课堂”的概率，再计算出与，比较大小即可.(1)列联表如下：高一学生高二学生合计Y150120270N5080130合计200200400零假设为：“云课堂”使用情况与年级没有关系，根据列联表数据得，，根据小概率值的独立性检验，推断成立，即依据小概率值的独立性检验，认为“云课堂”使用情况与年级无关；(2)由题意知，高一学生喜欢“云课堂”的概率为，高二学生喜欢“云课堂”的概率为，则，，易得.19．(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到；（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得的值．(1)中，由，可得则，则，整理得即，又，则(2)中，D是BC边上的中点，且，则则有，解之得则20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；(1)证明：因为，，，由余弦定理，所以，则，所以，即，又平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以；(2)解：如图建立空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的法向量为，所以，令，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；21．(1)(2)是定值，详见解析【解析】【分析】（1）先利用题给条件求得的值，进而求得椭圆C的方程；（2）设出直线l的方程，并