北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页北京市顺义区2021-2022学年高二下学期期末数学试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．的值为（

）A．20 B．10 C．5 D．22．的展开式中，的系数为（

）A．12 B． C．6 D．3．已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（

）X012P0.2a0.5A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.34．设函数，则（

）A．0 B． C．1 D．5．已知函数的部分图象如图所示，其中为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．6．已知某居民小区附近设有A，B，C，D4个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检测，现该小区的3位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（

）A．64种 B．81种 C．7种 D．12种7．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马､”马主曰：“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛，马，羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？试问：该问题中牛主人应偿还（

）斗粟A． B． C． D．8．降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度（c）随开窗通风换气时间（t）的关系如下图所示.则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是（

）A． B． C． D．9．已知数列为各项均为整数的等差数列，公差为d，若，则的最小值为（

）A．9 B．10 C．11 D．1210．已知是函数的极大值点，则下列结论不正确的是（

）A． B．一定存在极小值点C．若，则是函数的极小值点 D．若，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．已知等差数列，，则___________.12．某学校拟邀请5位学生家长中的3位参加一个座谈会，其中甲同学家长必须参加，则不同的邀请方法有___________种.13．已知某品牌只卖A，B两种型号的产品，两种产品的比例为，其中A型号产品优秀率为，B型号产品优秀率为，则购买一件该品牌产品为优秀品的概率为___________.14．函数的最小值为___________.15．已知数列，满足不等式（其中），对于数列给出以下四个结论：①；②数列一定是递增数列；③数列的通项公式可以是；④数列的通项公式可以是.所有正确结论的序号是___________.评卷人得分三、解答题16．已知的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等.(1)求n的值；(2)求展开式中各项系数的和；(3)判断展开式中是否存在常数项，并说明理由.17．已知函数.(1)求单调区间；(2)求在区间上的最值.18．下表为高二年级某班学生体质健康测试成绩（百分制）的频率分布表，已知在分数段内的学生数为14人.分数段频率0.120.160.20.180.140.1a(1)求测试成绩在分数段内的人数；(2)现从分数段内的学生中抽出2人代表该班参加校级比赛，若这2人都是男生的概率为，求分数段内男生的人数；(3)若在分数段内的女生有4人，现从分数段内的学生中随机抽出3人参加体质提升锻炼小组，记X为从该组轴出的男生人数，求X的分布列和数学期望.19．已知数列为等差数列，前n项和为，数列是以为公比的等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)数列满足，记数列的前n项和为，求的最小值.20．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.(3)证明：.21．若存在某常数M（或m），对于一切，都有（或），则称数列的上（或下）界，若数列既有上界也有下界，则称数列为“有界”.(1)已知4个数列的通项公式如下：①；②；③；④.请写出其中“有界数列”的序号；(2)若，判断数列是否为“有界数列”，说明理由；(3)在（2）的条件下，记数列的前n项和为，是否存在正整数k，使，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】由排列数定义计算．【详解】故选：A．2．C【解析】【分析】写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】解：二项式展开式的通项为，所以，即的系数为；故选：C3．D【解析】【分析】根据分布列的性质求出，再根据期望公式计算可得；【详解】解：依题意可得，解得，所以；故选：D4．B【解析】【分析】求出导函数，直接代入求解.【详解】因为函数，所以，所以.故选：B5．B【解析】【分析】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【详解】解：由图可知函数在点的切线斜率小于，即，在点的切线斜率等于，即，在点的切线斜率大于，即，所以；故选：B6．A【解析】【分析】由分步计数原理计算．【详解】3位居民依次选择检测点，方法数为．故选：A．7．B【解析】【分析】牛主人应偿还x斗粟，由题意列方程即可解得.【详解】设牛主人应偿还x斗粟，则马主人应偿还斗粟，羊主人应偿还斗粟，所以，解得：.故选：B8．C【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】解：如图分别令、、、、所对应的点为、、、、，由图可知，所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快；故选：C9．C【解析】【分析】由题意可得，得，由于等差数列的各项均为正整数，得到公差也为正整数，即为24的约数，从而可求出相应的的值，进而可求出的最小值【详解】因为，所以，所以，所以，因为数列为各项均为整数的等差数列，所以公差也为正整数，所以只能是1，2，3，4，6，8，12，24，此时的相应取值为25，13，9，7，5，4，3，2，所以的分别为26，15，12，11，11，12，15，26，所以的最小值为11，故选：C10．D【解析】【分析】求出导函数，有两个不等实根，然后由极值点、单调性与的根的关系判断各选项．【详解】，是极大值点，有两个不等实根，，即，设有两不等实根和，是极大值点，则时，，时，，从而时，，是极小值点．B正确；由于时，，因此A正确；若，则，,的两解互为相反数，即，C正确；时，，，D错．故选：D．11．5【解析】【分析】由等差数列的性质计算．【详解】由题意，．故答案为：5．12．6【解析】【分析】从剩下的四位家长中选2位即可得．【详解】甲同学家长必须参加，则还需从剩下的4位家长中选2位，方法数为．故答案为：6．13．##0.78【解析】【分析】根据全概率公式直接求解.【详解】根据题意，购买一件该品牌产品为优秀品的的概率为：.故答案为：.14．1【解析】【分析】求出导函数，确定单调性可得最小值．【详解】，由得，得，在上递减，在上递增，所以的极小值也是最小值为．故答案为：1．15．①③④【解析】【分析】求得与的大小关系判断①；举反例否定②；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定③；利用题给条件证明数列的通项公式可以是肯定④.【详解】数列满足不等式（其中），则有（其中），①由，可得.判断正确；②当时，满足，数列为常数列.则数列不一定是递增数列.判断错误；③当时，由，可得，即不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确；④当时，则不等式成立，则数列的通项公式可以是.判断正确；故答案为：①③④16．(1)5；(2)1024；(3)不存在.【解析】【分析】（1）利用第2项与第5项的二项式系数相等，列方程，即可解得；（2）利用赋值法令代入可得；（3）利用通项公式列方程求解即可.(1)的展开式的通项公式为.因为展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，所以，解得：.(2)要求展开式中各项系数的和，只需令代入可得：.即展开式中各项系数的和为1024.(3)要求展开式中的常数项，只需在中，令，而,所以无解，即展开式中不存在常数项.17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)最小值为，最大值为4【解析】【分析】（1）先求定义域，再求导，利用导函数的正负求出单调区间；（2）结合第一问求出最小值，再比较端点值求出最大值.(1)定义域为R，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为，单调递减区间为(2)由（1）可知：在处取得极小值，且为最小值，故，又因为，而，所以，所以在区间上的最小值为，最大值为418．(1)5(2)4(3)分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用在分数段内的学生数为14人求出高二年级某班学生总数，再利用频率和为1求出，两数相乘可得答案；（2）设男生有人，根据抽出2人这2人都是男生的概率为，解得可得答案；（3）求出在分数段内的学生人数及男生人数，可得X的取值及对应的概率，可得分布列和期望.(1)高二年级某班学生共有人，因为，所以，所以测试成绩在分数段内的人数为人.(2)由（1）知在分数段内的学生有5人，设男生有人，若抽出2人这2人都是男生的概率为，则，解得，所以在分数段内男生有4人.(3)在分数段内的学生有人，所以男生有2人，X的取值有，，，，X的分布列为X012P.19．(1)，(2)(3)-10【解析】【分析】（1）根据，求出公差，从而求出通项公式，结合求出公比，得到等比数列的通项公式；（2）利用等比数列求和公式求解；（3）先求出，结合的增减性和正负性求出当或5时，取得最小值，求出最小值(1)，因为，所以，故，所以，故，又题意得：，所以，解得：或-5（舍去），因为，所以，所以(2)数列的前n项和(3)，可以看出为递增数列，且当时，，当时，，当时，，所以当或5时，取得最小值，最小值为20．(1)；(2)；(3)证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，计算得切线斜率，计算，由点斜式得切线方程；（2）由在上恒成立，然后分离参数转化为求新函数的最值；（3）由导数求得的最小值后，由不等式性质得证．(1)，，又，所以切线方程为；(2)，由题意在上恒成立，，设，则，时，，递减，时，，递增，所以，所以(3)由（1），时，，递减，时，，递增，所以，所以．21．(1)②④(2)数列为“有界数列”，理由见解析(3)【解析】【分析】（1）根据“有界”的定义，结合函数的性质逐个判