专题13用空间向量研究直线平面位置关系2

专题1.3用空间向量研究直线、平面位置关系专题1.3用空间向量研究直线、平面位置关系知识点一空间点、直线、平面的向量表示知识点一空间点、直线、平面的向量表示1直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称eq\o(AB,\s\up6(→))为直线l的方向向量，与eq\o(AB,\s\up6(→))平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．2.空间直线的向量表示：（1）直线l⊥α,取直线l的方向向量a，称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合（2）平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))知识点二知识点二空间中直线、平面的平行关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.知识点知识点三空间中直线、平面的垂直关系1.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．考点01空间点、直线、平面的向量表示【典例1】（2022秋·高二单元测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（）A．0 B．1 C． D．3【答案】D【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为直线过点和两点，所以，又直线的一个方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故选：D【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量：.【答案】(答案不唯一)【分析】由方向向量的定义求解即可.【详解】，因为点，都在直线上，所以都是直线的方向向量，则可取.故答案为：.【典例3】已知A，B，C三点不共线，点O为平面ABC外任意一点，若点M满足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up6(→))，则点M________(填“属于”或“不属于”)平面ABC.【答案】属于【解析】∵eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，∵eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)＋eq\f(2,5)＝1，∴M，A，B，C四点共面．即点M∈平面ABC.考点02平面的法向量的确定【典例4】中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，设，可得、、的坐标，由此可得向量、的坐标，由此可得关于、、的方程组，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．【详解】根据题意，设，则，，，则，，设平面的一个法向量为，则有，令，可得，则.故选：B．【典例5】（2022·高二课时练习）已知，，，则平面的一个法向量是．【答案】(答案不唯一，是的非零倍数即可)【分析】写出的坐标，设出法向量，列出方程组，求出一个法向量.【详解】依题意，得，．设平面的一个法向量，则，取，得，所以是平面的一个法向量．故答案为：【总结提升】1.写出平面内两向量的坐标；2.设出法向量；列出方程组；4.解方程组，求出一个法向量考点03空间直线、平面的平行关系的证明【典例6】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用直线与平面平行的直线的方向向量与平面的法向量的关系即可求解.【详解】因为矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．不妨设的长分别为，以为正交基底，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以.因为，，所以.又平面的一个法向量是由,得.因为平面，所以平面.【典例7】（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得证.【详解】因为，是棱的中点，所以，所以为正三角形.因为为等腰梯形，，所以.取的中点，连接，则，所以.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因为平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【总结提升】利用向量证明平行问题①线线平行：方向向量平行．②线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直．③面面平行：两平面的法向量平行．考点04根据空间平行关系求参数【典例8】（2023秋·高二课时练习）设平面的法向量的坐标为，平面的法向量的坐标为.若，则等于（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【分析】根据可得平面的法向量与平面的法向量共线，建立等式解出即可.【详解】解：因为，则平面的法向量与平面的法向量共线，即，即，解得.故选：A【典例9】（2021秋·上海浦东新·高二上海师大附中校考期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数．【答案】2【分析】依题意可得，即可得到，根据空间向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可.【详解】解：因为直线与平面平行，直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，所以，则，解得．故答案为：【总结提升】1.如果线线平行，根据方向向量平行，建立方程．线面平行，根据平面外的直线方向向量与平面法向量垂直，建立方程组．面面平行，根据两平面的法向量平行，建立方程组．考点05空间中直线、平面垂直关系的证明【典例10】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【答案】证明见详解【分析】建立空间直角坐标系，写出的坐标，利用空间向量垂直的坐标表示证明即可.【详解】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为正方体棱长为1，分别是的中点，所以，所以，所以，由，所以，即.【典例11】（2022·高二课时练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.【详解】（1）解法一：证明：取中点，连结，，由三角形中位线性质可得且，又因为且，所以且，所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．

解法二：证明：因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．如图，以为原点，以，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．因为，易知为平面的一个法向量．

因此，所以．又平面，所以平面．（2）解法一：证明：因为，，，所以，所以．因为平面平面，平面平面，，所以平面，又平面，所以．又，平面，所以平面．解法二：由（1）可得，，．设平面的一个法向量，则，取，得，所以是平面的一个法向量．因此，所以平面．【典例12】（2023春·江苏·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，面，在四边形中，，点在上，.求证：(1)CM面；(2)面面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，由法向量与方向向量的关系即可证明线面平行，（2）根据空间向量垂直可证明线面垂直，进而根据面面垂直的判断定理即可求证.【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设为平面的一个法向量，由得令，得，，则，又平面，平面.（2）如图，取的中点，连接，则..又，，又平面,平面，又平面，平面平面【总结提升】利用向量法证垂直问题的类型及常用方法（1）线线垂直问题：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零（2）线面垂直问题：直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直（3）面面垂直问题：两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直1．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）[方法一]：几何法因为，所以．又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则．又因为，所以．又因为，所以平面．又因为平面，所以．[方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，，，，又，平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．，．由题设（）．因为，所以，所以．2．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．(1)求证：平面；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.一、单选题1．（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（

）A． B． C．1 D．7【答案】B【分析】利用平面平行可得法向量平行，列出等式即可求解【详解】因为，分别是平面的法向量，且，所以，即，解得故选：B2．（2023春·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点在同一平面内，下列结论：①平面；②平面平面；③；④平面平面，正确命题的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据题意，以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及法向量，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】以正八面体的中心为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正八面体的边长为,则所以，,设面的法向量为，则，解得，取，即又，所以，面，即面，①正确；因为，所以，又，面，面，则面，由，平面，所以平面平面，②正确；因为，则，所以，③正确；易知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，所以平面平面，④正确；故选：D3．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）在正方体中，，，，分别为，，，的中点，下列结论中，错误的是（

）A． B．平面C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，根据向量与线面关系即可判断.【详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，，，，，，因为，所以与不垂直，A错误；因为平面//平面，且平面，所以平面，B正确；，，，，，因为，所以，C正确；，，，，所以，D正确.故选：A.4．（2023秋·北京西城·高二统考期末）在空间直角坐标系中，点，则（

）A．直线坐标平面 B．直线坐标平面C．直线坐标平面 D．直线坐标平面【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，故选：C．二、多选题5．（2023春·河南南阳·高二社旗县第一高级中学校联考期末）已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点也在平面内的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，结合数量积的坐标运算验证，，，是否与垂直即可．【详解】记选项中的四个点依次为A，B，C，D，则，，，，又，，故与不垂直，故A错误；，故与垂直，故B正确；，故与垂直，故C正确；，故与垂直，故D正确；故选：BCD.三、填空题6．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则，．【答案】【分析】根据两个平面平行，可得其法向量也平行，由共线向量定理，列方程求解得答案.【详解】因为平面，所以其法向量，故，所以，解得.故答案为：①；②.7．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（含边界），若平面AEF，点P的轨迹长度为．【答案】/【分析】利用坐标法，根据线面平行和面面平行的判定及性质找出的轨迹，根据轨迹特点可求答案.【详解】如图，分别取的中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则;所以,,;故，即，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面；因为P是侧面内一点（含边界），平面AEF，所以点P必在线段MN上，即点P的轨迹为MN，所以点P的轨迹长度为．故答案为：.四、解答题8．（2023春·高二课时练习）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算，计算判断与共线即可推理作答.【详解】（方法1）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，则有，又，两式相加得：，因此与共线，而直线与不重合，所以.（方法2）因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，，因此与共线，而直线与不重合，所以.9．（2022秋·广东深圳·高二统考期末）如图，在正方体中，M，N，E，F分别为棱的中点，连接．(1)证明：平面；(2)证明：E，F，N，M四点共面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量平行的性质，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据空间共面定理进行证明即可.【详解】（1）设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系：则，，，，，，，，则，，，则有，故，因为平面，平面，则有平面；（2），，，则有，则向量、、共面，必有E，F，N，M四点共面10.（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角．

(1)若，求该几何体的体积；(2)若AE垂直PD于E，证明：；(3)在（2）的条件下，PB上是否存在点F