高考数学 1.1独立性检验课件 新人教B版选修1-2

1.1独立性检验

独立性检验涉及到两事件独立的概念。我们先来介绍两个事件相互独立的含义。例1．把一颗质地均匀的骰子任意的掷一次，设事件A=“掷出偶数点”，B=掷出3的倍数点，试分析事件A与B及事件与B的关系。解：由于事件A意味着“掷出2点、4点或6点”，应用古典概型的知识，容易得出P(A)=.事件B意味着“掷出3点或6点”，因此P(B)=.如果把事件A、B同时发生记作A∩B，简记作AB，根据上面的分析，事件A、B同时发生，即事件AB发生，意味着“掷出6点”，所以P(AB)=.此外P(A)×P(B)=此时P(AB)=P(A)P(B).这时就称事件A与B相互独立。定义：一般地，对于两个事件A，B，如果有P(AB)=P(A)P(B)，就称事件A与事件B独立。本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。独立性检验在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。例2．某医疗机构为了了解患慢性支气管炎与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了339名50岁以上的人，其中吸烟者205人，不吸烟者134人．调查结果是：吸烟的205人中有43人患呼吸道疾病（简称患病），162人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的134人中有13人患病，121人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患慢性支气管炎与吸烟有关”？（1）为了研究这个问题，将上述数据用下表来表示(2×2列联表)

患病未患病合计吸烟43162205不吸烟13121134合计56283339（2）估计吸烟者与不吸烟者患病的可能性差异：在吸烟的人中，有的人患病，患病（B）未患病()合计吸烟An11n12n1+不吸烟n21n22n2+合计n+1n+2n在不吸烟的人中，有的人患病．问题：由上述结论能否得出患病与吸烟有关？把握有多大？

（1）假设：患病与吸烟没有关系．若将表中“观测值”用字母表示，则得下列2×2列联表：即n11(n21+n22)≈n21(n11+n12)

n11n22－n21n12≈0，因此，|n11n22－n21n12|越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．近似的判断方法：设n=n11+n21+n12+n22，如果H0成立，则在吸烟的人中患病的比例与不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得，上面的话的意思是指事件A与B独立，这时应该有P(AB)=P(A)P(B)成立，我们用H0表示上式，即H0：P(AB)=P(A)P(B).并称之为统计假设，当H0成立时，下面的三个式子也成立：根据概率的统计定义，上面提到的众多事件的概率都可以用相应的频率来估计。

例如P(AB)的估计为P(A)的估计为，P(B)的估计为，……于是与应该很接近，……。或者说应该比较小.从而也应该比较小。（2）卡方统计量：为了消除样本对上式的影响，通常用卡方统计量（χ2）来进行估计．卡方χ2统计量公式：用它的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，如果算出的χ2值较大，就拒绝H0，也就是拒绝“事件A与事件B无关”，从而就认为它们是有关的了（3）两个临界值：3.841与6.635.

经过对χ2统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：3.841与6.635。

当根据具体的数据算出的χ2>3.841时，有95%的把握说事件A与事件B有关；当χ2>6.635时，有99%的把握说事件A与事件B有关；当χ2<3.841时，认为事件A与事件B无关；

象以上这种用χ2统计量研究吸烟与患呼吸道疾病是否有关等问题的方法称为独立性检验．对于例2，最理想的解决办法是向所有的50岁以上的人作调查，然后对所得的数据进行统计处理，但这花费的代价太大，实际上也是行不通的。339个人相对于全体50岁以上的人，只是一小部分.回忆一下数学必修3中学过的总体与样本的关系，当用样本平均数，样本标准差去估计总体的相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不惟一。现在的情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误，例如我们知道，不少的中老年烟民的身体很好，没有患慢性支气管炎；而又有很多的从不吸烟的中老年人体质很差，患有慢性支气管炎。如果抽取的339个调查对象中很多人来自上述两个群体，试想会得出什么结论吧。我们说有95%（或99%）的把握说事件A与事件B有关，是指推断犯错误的可能性为5%(或1%)，这也是常常说成是“有95%（或99%）的概率”，其含义是一样的。解：由公式因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性支气管炎与吸烟有关。Ⅱ类1类2合计Ⅰ类An11n12n1+类B

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