任意角的三角函数教案1高中教育

的角度理解三角函数。四，教学过程（一）新课引入（二）练习：sin30=cos30=tan30=那么3的角度理解三角函数。四，教学过程（一）新课引入（二）练习：sin30=cos30=tan30=那么3能够更好地数形结合地进行思维．五、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景1．复习锐角三角函数的个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，和正切值．7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：设计意图：通过应用三角函数的定义任意角的三角函数教案（第一课时）三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号（二）我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的角θ为第二象限角时，，反之也对；（3）当角θ为第三象限角时，，反之也对；（4）当角θ为第四象限角时，重合，那么它的终边在第一象限。在的终边上任取一点P（a,b），它与原点的距离r＝a2b2>0,表示三13分钟）名师精编优秀教案三值．角θ为第二象限角时，，反之也对；（3）当角θ为第三象限角时，，反之也对；（4）当角θ为第四象限角时，重合，那么它的终边在第一象限。在的终边上任取一点P（a,b），它与原点的距离r＝a2b2>0,表示三13分钟）名师精编优秀教案三值．3．进一步理解任意角三角函数的概念问题6：你能否给出正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域？设计bba（2）正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。53小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义：（3）b选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点,展示自余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．能力目标:借助几何画板让学生经历选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验;借助网络论坛交流各自的观点,展示自余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．能力目标:借助几何画板让学生经历意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经定义问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角A．第一、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第二、四象限22B或CD．1A．正角的正弦值是正的，负角的正弦值是负的，零角的正弦值是零。AAAA．小于0B．大于0C．等于0D．不确定233活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．6．作业同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．问题活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．6．作业同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．师生活动：学生求出定义域，教师进行整理．问题7：上述三种函念推广到了任意角，现在所说的角可以是任意大小的正角、负角和零角．那么任意角的三角函数又该怎样定义呢？启发他们思考下列问题：名师精编优秀教案（1）我们在定义1弧度的角的时候，利用了一个什么图形？所用的圆（练习用小黑板或者多媒体）在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值．在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有（2）能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会数形结合的思想，并利用这一思想解决1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之2．学生在理解将终边上任意一点取在终边与单位圆的交点这一特殊位置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相似三角形的知识来认数的值在各象限的符号会怎样？设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数．四、教学支持条件分析为了加强学生对三角函数定置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相作简单的动画，开展数学实验数的值在各象限的符号会怎样？设计意图：通过定义的应用，让学生了解三种函数值在各象限的符号的变化规律，中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数．四、教学支持条件分析为了加强学生对三角函数定置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相作简单的动画，开展数学实验.1．知识目标:使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、识，明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要就要让学生知道，借助单位圆，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学（一）教学基本流程（二）教学情景和正切值．7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：设计意图：通过应用三角函数的定义实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，和正切值．7．求下列三角函数值（求非特殊角的三角函数值可用计算器）：设计意图：通过应用三角函数的定义实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，定义，则可以作下列引导：（4）终边是OP的角一定是锐角吗？如果不是，能利用直角三角形的边长来定义吗？图：通过问题的解决，熟悉和记忆函数值在各象限的符号的变化规律，并进一步理解三角函数的概念．师生活动：如果学生仍然不能想到借助平面直角坐标系来定义，那么可以进一步提出下列问题来启发学生进行为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。（四）例题讲解53为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用单位圆统一定义三角函数，不仅没有改变初设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。（四）例题讲解53小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单例1：已知角α的终边经过点，求角α的正弦、余弦和正切值．设计意图：从最简单的问题入手，通过变式，让学设计意图：引导学生在借助单位圆定义锐角三角函数的基础上，进一步给出任意角三角函数的定义．师生活动：由学生给出任意角三角函数的定义，教师进行整理．师生活动：在完成本题的基础上，可通过下列变式引导学生对三角函数的概念作进一步的认识：设计意图：研究一个函数，就要研究其三要素，而三要素中最本质的则是对应法则和定义域．三角函数的对应法则已经由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，同时又可帮助学生进一步理解三角函数的概念．不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？设计意图：回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用．师生三角函数值其实就是分别是求什么？设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，是不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？设计意图：回顾和总结三角函数定义在本节课中的应用．师生三角函数值其实就是分别是求什么？设计意图：让学生从中体会，用单位圆上点的坐标定义三角函数不仅简化了定实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，由定义式给出，所以在给出定义之后就要研究其定义域．通过利用定义求定义域，既完善了三角函数概念的内容，是1．填表：．实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．在借助单位圆认识任意角三角函数的定义的过程中，体会帮助，这中间体现了数形结合的思想．三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基能够更好地数形结合地进行思维．五、教学过程设计（一）教学基本流程（二）教学情景1．复习锐角三角函数的）：问题9：锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想．设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利将怎样变化？设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．师生活动：在教师引导下广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．师生活动：学生回答，教师整理．例设计意图：引导学生将锐角三角函数推广到任意角三角函数．师生活动：在教学中，可以根据学生的实际情况，利将怎样变化？设计意图：引出公式一，突出函数周期变化的特点，以及数形结合的思想．师生活动：在教师引导下广，以及引入弧度制后，这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想．师生活动：学生回答，教师整理．例2：求证：（1）河南省焦作市第一中学孟丽华1．教材地位分析：三角函数是中学数学的重要内容之一，而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学.借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图像和性质，可以说,三角函数线是研究三角函数的有利工具.2．学生现实分析：学习本节前,学生已经掌握任意角三角函数的定义,三角函数值在各象限的符号,以及诱导公式一,为三角函数线的寻找做好了知识准备.高一上学期研究指、对数函数图像时,已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.1．知识目标:使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值,并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.2．能力目标:借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.1．重点：三角函数线的作法及其简单应用.2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来.求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，教学教学环节设置疑题概念教学过程前面我们学习了角的弧度制，角弧度数的绝对值，其中是以角作为圆心角时所对弧的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢？这就是我们今天一起要研究的问题.有向线段：带有方向的线段.点，由起点指向终点.如：有向线段OM,O为起点，M为终点，由O点设计意图的几何形式.相关概点,使学生能是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又数的定义吗？设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的散难点够更多的围探索和研究.OM=ON=-1,AP=是由角的终边的位置决定的，那么角的终边每绕原点旋转一周，它的大小将会怎样变化？它所对应的三角函数值又数的定义吗？设计意图：回顾和总结本节课的主要内容．师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变．3．学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到定义任意角的散难点够更多的围探索和研究.OM=ON=-1,AP=角的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是研讨学有句名言:“我听见了,就忘记了;我看见了,就记住了;我做过了.”要想让就应该让学过程.学生联想角的弧度数与弧长的转化,类比猜测:若令r=1，则.取角的终边与单位圆的交点为P,过点P作轴的垂线，设垂足为M，则有向线段MP=.(学生分析的同时,教师用几何画板演示)请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的方向和正弦值正负的对应.特别地,当角的终边在轴这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角的正2.思考:用哪条有向线段表示角的余弦比较合有向线段OM叫做角的余弦线.何用有向线段表示？经不再是把把他们的教和学看成是=AT，但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取指向指向M点.（动态演示）有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向，取正值;与坐标轴反值唯一确定②当的终边在纵轴上时，tan不存在③当的终边在横在横轴上时，的三角函数质唯一确定（四）随堂式值唯一确定②当的终边在纵轴上时，tan不存在③当的终边在横在横轴上时，的三角函数质唯一确定（四）随堂式1：求的正弦、余弦和正切值．变式2：已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切anθ>0，⑥tanθ<0中适当的关系式的序号填空：（1）当角θ为第一象限角时，，反之也对；（2）当置上时，又可能会出现障碍，原因是他们可能会认为这一特殊点不具有任意性．针对这一问题，应引导学生利用相=-1=-1的点T‘，tan=-=T‘A‘,有向线段的表示方法又不能统一.当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到=.几何画板演示验证:AT的对应.这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角的正切线.相互影响的辩证发展过程.在和谐的的领域.教学教学教学过程设计意图环节作法及时归纳总结，加深知识的理解和记忆.第三步：过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线的交点设为T，得角的正切线AT.特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示写顺序不能颠倒.余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点演练,学生先做,然后投影展示一学生的作品,并强调三角函数线的位置和方向.例1利用几何画板画出适合下列条件的角的终练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦弦线MP、余弦线OM；第一步：作出角的终边，与单位圆交于点P；正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板三角函数线的作法.函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．师生活动角函数；名师精编优秀教案函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义．师生活动角函数；名师精编优秀教案sin=b,cos=a,tan=b的概念。.取P，使r=1,则sin=bco角放在哪里进行研究的？进一步引导学生在平面直角坐标系内定义任意角的三角函数．在此基础上，组织学生讨论的余弦，即cos=a;（3）b叫做三角形的正切，即tan=.名师精编优秀教案点明：用单位圆定义的好处；；（2）.终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则射线例2利用几何画板画出适合下列条件的角的终边分析：先作出满足，终边(例1已做)，然后根据已知条件确定角终边的范{{并为利用三角函数线求解三角函数不等式数形结合思想表现在由数到形和由形将任意角的正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用.等式组（3）教教学环节思维拓论坛交流教学过程观察角的终边在各位置的情形,结合三角函数线和已学生得出的结论有以下几种：