2024届福建省部分学校高三上学期10月阶段性考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat14页2024届福建省部分学校高三上学期10月阶段性考试数学试题一、单选题1．已知复数z满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算可得答案.【详解】由题意可得.故选：D.2．已知集合，，且，则a的最大值是（

）A． B．1 C．2 D．5【答案】B【分析】解不等式求得集合，根据求得的取值范围，进而确定正确答案.【详解】由解得，所以，.因为，所以，所以的最大值为.故选：B3．已知，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由诱导公式先求出的值，然后由两角和的正切公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，则.故选：C.4．“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由对数的运算结合集合的包含关系判断即可.【详解】由，得.设，，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A5．函数在区间上的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除AB，根据最值范围可排除D.【详解】由于，所以，所以为偶函数，故排除AB,由于，故当时，，故排除D，故选：C6．在等比数列中，，则的最小值是（

）A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】由已知结合等比数列的通项公式可得，，再由等比数列的性质结合基本不等式可求得结果【详解】设的公比是q，则，.因为，所以，.由等比数列的性质可得，则，当且仅当时，等号成立.故选：B7．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.【详解】因为，所以，则.因为A，P，D三点共线，所以.因为，所以.因为E是边AB的中点，所以.因为E，P，F三点共线，所以，则，解得，从而，，故.故选：A8．杭州第19届亚运会又称“杭州2022年第19届亚运会”，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.本届亚运会定于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办某国的甲、乙、丙运动员共报名参加了13个项目，其中甲和丙都报名参加了7个项目，乙报名参加了6个项目，甲、乙报名参加的项目中有2个相同，甲、丙报名参加的项目中有3个相同，同一个项目，每个国家最多只能有2名运动员报名参加，则乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据甲乙丙三人报名参加的项目数之和，可知重复的项目数，由甲、乙相同的项目数和甲、丙相同项目数，可知乙、丙相同的项目数.【详解】三人各自的项目之和，重复的有项，甲、乙相同项目有2个，甲、丙相同项目有3个，所以乙、丙报名参加的项目中，相同的个数为.故选：C二、多选题9．设等差数列的前n项和为，若，则下列结论正确的是（

）A． B．最大 C． D．【答案】AD【分析】由已知条件可得，然后逐个分析判断即可【详解】因为，所以，得，即，则A正确.当时，，则，最小，故B错误.因为，所以，所以，对称轴为，所以，则C错误.因为，所以D正确.故选：AD10．已知函数的定义域为,,则（

）A． B．是奇函数C．为的极小值点 D．若,则【答案】ABD【分析】利用赋值法,令判断A得正误;令,结合奇函数的定义判断B的正误;举例判断C的正误;令,则,再利用累加法即可判断D的正误.【详解】令，则，所以，故A正确;令，则，所以是奇函数，故B正确;令，其定义域为,且满足题意，因为函数为上的增函数,所以不是的极小值点,故C错误;令,则,即,,故D正确.故选:ABD.11．设函数在上恰有两个极值点，两个零点，则的取值可能是（

）A． B． C．2 D．【答案】CD【分析】设，利用极值点求出的取值范围，即可得出的可能取值.【详解】由题意，，在中，则，因为在上恰有两个极值点，两个零点，所以，即．故的取值范围是．故选：CD.12．已知函数与的图像只有一个交点，则a的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】通过特殊点判断A，构造函数，利用导数确定其零点个数判断B，对CD，在，由两个函数图象只有一个交点，则它们与直线相切，设切点为，利用公切线求出值进行判断．【详解】对于选项A，和是与的图像的两个交点，不符合题意.对于选项B，令，，令，.时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以单调递增，又，，所以有唯一零点，从而与的图像只有一个交点.对于C，D选项，，因为与互为反函数，两个函数图象只有一个交点,则两个函数的图像都与直线相切，设切点为，则，，所以，又，所以，解得，.故选：BD．三、填空题13．已知向量，，若，则.【答案】【分析】由向量垂直的坐标表示求解.【详解】由题意可得，则，解得.故答案为：．14．若（，且）是奇函数，则.【答案】/【分析】根据题意，函数是奇函数，结合，列出方程，即可求解.【详解】由，可得，因为是奇函数，所以，所以，解得.故答案为：.15．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.已知函数，则曲线在点处的曲率为.【答案】/【分析】求出和，继而求出和，根据曲率的计算即可得答案.【详解】因为，故，，故，故，即曲线在点处的曲率为，故答案为：16．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得C点的仰角，从A点测得M点的仰角，从C点测得M点的仰角为．已知山高（百米），，，则山高（百米）．

【答案】5【分析】由题意，过C作CE垂直于MN，交MN于点E，设，则，由题可知，则，，在中，利用余弦定理求出，从而可求得的值．【详解】过C作CE垂直于MN，交MN于点E，如图．

设，由题意，则，由题可知，则，，在中，，即，化简可得，所以（负值已舍去），则．故答案为：5.四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简求解；（2）由，得到，再由的面积为，得到，然后利用余弦定理求解.【详解】（1）解：因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.（2）由（1）可得，所以.因为的面积为，所以，所以，则.由余弦定理可得，即，所以，则.故的周长为.18．已知函数，且.(1)求a的值及的定义域；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据得到，进而由真数大于0得到不等式，求出定义域；（2）不等式变形得到，结合对数函数单调性和真数大于0得到不等式组，求出不等式的解集.【详解】（1）因为，解得.由题意可得，解得，故的定义域为.（2）不等式等价于，即，由于在上单调递增，则，解得.故不等式的解集为.19．已知函数的图象经过点，且图象邻的两条对称轴之间的距离是.(1)求的单调递增区间；(2)若对任意的，不等式恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据余弦函数的对称性求得函数的周期，即可求得，再利用待定系数法求出，再根据余弦函数的单调性即可得解；（2）先求出函数的值域，不等式恒成立，即恒成立，进而可得出答案.【详解】（1）由题意可得的最小正周期，则，因为的的图像经过点，所以，所以，解得，因为，所以，令，解得，即的单调递增区间为；（2）因为，所以，所以，则，因为对任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范围为.20．某企业计划对甲､乙两个项目共投资200万元，且每个项目至少投资10万元.依据前期市场调研可知，甲项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式；乙项目的收益（单位：万元）与投资金额t（单位：万元）满足关系式.设对甲项目投资x万元，两个项目的总收益为（单位：万元），且当对甲项目投资30万元时，甲项目的收益为180万元，乙项目的收益为120万元.(1)求的解析式.(2)试问如何安排甲､乙这两个项目的投资金额，才能使总收益最大？并求出的最大值.【答案】(1)(2)对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元【分析】（1）根据题意先求出a，b，由即可得出；（2）设，求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，进而求出的最大值.【详解】（1）由题意可得，解得.当对甲项目投资30万元时，对乙项目投资170万元，则，解得.设对甲项目的投资金额为x万元，则对乙项目的投资金额为万元，则解得.故.（2）设，.当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，则.故，即对甲项目投资18万元，对乙项目投资182万元，才能使总收益取得最大值453.6万元.21．已知数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)若数列的前项和为，且，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用累加法求出，从而可求得的通项公式；（2）由结合（1）可求出，然后利用错位相减法可求得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以．（2）因为，所以当时，，得；当时，，所以（时也成立）．因为，所以，所以，故．22．已知函数.(1)求曲线在处切线的斜率；(2)当时，比较与x的大小；(3)若函数，且（），证明：.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）求得，得到，即可求得曲线在处切线的斜率；（2）设函数，求得，利用导数求得函数的单调性，结合，即可求解；（3）设函数，当时，得到恒成立，进而转化为证明，结合分析法，要证，设，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，即可得证.【详解】（1）解：因为函数，可得，则，所以曲线在处切线的斜率为.（2）解：设函数，可得，当时，，则在上单调递增，所以，从而，所以.（3）证明：设函数，当时，，，则