2023-2024学年北师大版必修第二册 余弦定理 课件（62张）

§6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理一、余弦定理必备知识·自主学习1.余弦定理(1)文字叙述:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍.(2)符号表示:a2=______________,

b2=______________,

c2=______________.

导思1.余弦定理的内容是什么?2.余弦定理可以解决哪些问题?b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC【说明】余弦定理的理解:(1)适用范围:任意三角形.(2)结构特征:“平方”“夹角”“余弦”.(3)主要作用:余弦定理的主要作用是实现三角形中边角关系的互化.【思考】余弦定理与勾股定理之间有何联系?提示:余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.2.余弦定理的公式变形【思考】(1)观察余弦定理的符号表示及其公式变形,你认为余弦定理可以用来求解哪类三角形?提示:①已知两边及其夹角,解三角形;②已知三边,解三角形.(2)在解题过程中出现什么样的条件时考虑余弦定理去化简变形呢?提示:当条件中出现了余弦定理的局部或变形,如a2+b2,a+b,ab,cosA等,可以考虑使用余弦定理或变形公式对条件进行化简变形.3.三角形面积公式△ABC的面积公式为S=ah=absinC(其中a,b,c分别为A,B,C的对边,h为边BC上的高).【思考】若已知三角形的两边及其夹角,如何选用面积公式?提示:选用S=absinC=acsinB=bcsinA更简便.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)余弦定理仅适用于非直角三角形. (

)(2)在△ABC中,若c2>a2+b2,则△ABC为钝角三角形. (

)(3)在△ABC中,若已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角的类型问题,则求解时都只有一个解. (

)提示:(1)×.余弦定理适用于任意三角形.(2)√.由c2>a2+b2,可得a2+b2-c2<0,所以cosC=<0,故C为钝角,△ABC为钝角三角形.(3)√.根据余弦定理可知第三边唯一,从而三角形确定,另外两角确定,故该三角形唯一.2.在△ABC中角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=4,∠C=120°,则c=(

)

A.37B.13C.D.【解析】选D.因为a=3,b=4,∠C=120°,所以c2=a2+b2-2abcosC=9+16+12=37,所以c=.3.(教材二次开发:例题改编)江岸边有一炮台高30米,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距 (

)A.10米 B.100米 C.30米 D.20米【解析】选C.由题意画出示意图,如图:炮台高AB=30,不妨令由炮台顶部测得船C俯角为45°,船D的俯角为30°,则∠CAB=45°,BC=AB=30,∠DAB=60°,BD=AB=30,又∠CBD=30°,所以CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos30°=900,所以CD=30.关键能力·合作学习类型一应用余弦定理解三角形(数学运算)【题组训练】1.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为(

)

A.90° B.120° C.135° D.150°2.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若a=2,b=3,A=,则△ABC解的个数是 (

)A.0 B.1 C.2 D.不确定3.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB= (

)【解析】1.选B.根据三角形角边关系可得,最大角与最小角所对的边的长分别为8与5,设长为7的边所对的角为θ,则最大角与最小角的和是180°-θ,由余弦定理可得cosθ=,所以θ=60°,故最大角与最小角的和为120°.2.选C.在△ABC中由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以4=9+c2-6c·,即c2-3c+5=0,解得c=或c=,所以△ABC解的个数是2.3.选A.由余弦定理可知cosC=可得|AB|=3,又由余弦定理可知:cosB=【解题策略】利用余弦定理解三角形的方法(1)已知两边及一角解三角形有以下两种情况:①已知角是其中一边的对角,用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解;②已知角是两边的夹角,直接运用余弦定理求出另外一边,然后直接利用余弦定理求解其他角.(2)已知三角形的三边或其比值解三角形:①已知三边求角时直接利用余弦定理;②若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求角.注意:在解与三角形、三角函数有关的问题时,要牢记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值.【补偿训练】有一个内角为120°的三角形的三边长分别为m,m+1,m+2,则实数m的值为(

)【解析】选B.由题意可知120°角所对的边为最大边,故cos120°=,化简得2m2-m-3=0,解得m=或m=-1(舍).类型二应用余弦定理判断三角形形状(逻辑推理)【典例】在△ABC中,若cosA+cosC=,则△ABC的形状是 (

)A.C为直角的直角三角形B.C为钝角的钝角三角形C.B为直角的直角三角形D.A为锐角的三角形【思路导引】利用余弦定理角化边,根据立方和公式变形化简可得a2+c2=b2,由此可得答案.【解析】选C.因为cosA+cosC=,所以所以a(b2+c2-a2)+c(a2+b2-c2)=2ac(a+c),所以b2(a+c)-(a3+c3)=ac(a+c),所以b2(a+c)-(a+c)(a2-ac+c2)=ac(a+c),因为a+c>0所以b2-(a2-ac+c2)=ac.所以a2+c2=b2,所以B为直角,故该三角形为以B为直角的直角三角形.【解题策略】判断三角形形状的途径(1)利用余弦定理,将已知条件转换为边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;(2)利用余弦定理将已知条件转化为角的三角函数间关系,利用公式得出内角关系.注意:在上述两种途径的等式变形中,一般两边不能直接约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.【跟踪训练】在△ABC中,已知cosA=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC为(

)

A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由题意cosA=及余弦定理cosA=得整理得c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为 (

)

【解析】选A.cos∠BAC=所以∠BAC=.课堂检测·素养达标2.已知△ABC的三边长a=3,b=5,c=6,则△ABC的面积为 (

)

【解析】选B.由余弦定理可得cosC=所以sinC=故△ABC的面积为S=absinC=3.(教材二次开发:练习改编)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,A=,c=2,则b=________.

【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即b2-6b+8=0,因为b>0,解得b=2或4.答案:2或44.已知△ABC三条边上的高分别为3,4,6,则△ABC最小内角的余弦值为_____.

【解析】不妨设AB边上的高为3,AC边上的高为4,BC边上的高为6,则根据三角形面积相等可得3AB=4AC=6BC,故BC边最短,BC边对应的角A最小,由余弦定理可得cosA=答案:

5.在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,b+c=8,A=.求△ABC的面积.【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2-bc=36,又b+c=8,所以bc=,所以S△ABC=bcsinA=二十二余弦定理【基础通关—水平一】

(15分钟30分)1.在△ABC中,a,b,c分别为A,B,C的对边,A=60°,b=1,三角形的面积为,则a=(

)

【解析】选D.依题意S=bcsinA=·1·csin60°=,解得c=4,由余弦定理得a=课时素养评价【补偿训练】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30°,△ABC的面积是,则b= (

)

【解析】选A.由已知S=acsinB=acsin30°=ac=,得ac=6,所以b2=a2+c2-2accos30°=(a+c)2-2ac-ac=4b2-6(2+),解得b=+1.2.满足A=60°,c=1,a=的△ABC的个数记为m,则am的值为(

)A.3B.C.1D.不确定【解析】选B.由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即3=b2+1-b,解得b=2或b=-1(舍去),所以满足条件的△ABC只有一个,即m=1,所以am=.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,bc=a2,则△ABC的形状是 (

)A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形【解析】选C.由b2+c2=a2+bc,可得b2+c2-a2=bc,故cosA=因为0<A<π,所以A=.又因为bc=a2,所以b2+c2=2bc,即(b-c)2=0,即b=c,所以△ABC为等边三角形.4.已知△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,a=2,B=60°,则边c=

.

【解析】由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=4+c2-2c=12,解得c=-2(舍去)或c=4.答案:45.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是

.

【解析】cosB=因为0<B<π,所以B∈.答案:

6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(a+b)2=c2+3ab.(1)求C的值;(2)若△ABC的面积为,c=,求a,b的值.【解析】(1)将等式(a+b)2=c2+3ab变形为a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=因为0<C<π,故C=【能力进阶—水平二】

(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.钝角△ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC= (

)【解析】选B.由面积公式得×sinB=,解得sinB=,所以B=45°或B=135°,当B=45°时,由余弦定理得AC2=1+2-2cos45°=1,所以AC=1,又因为AB=1,BC=,所以此时△ABC为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以B=135°,由余弦定理得AC2=1+2-2cos135°=5,所以AC=.2.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.设向量p=(a+c，b),q=(b-a，c-a).若p∥q,则C= (

)【解析】选B.因为向量p=(a+c，b),q=(b-a，c-a),p∥q,所以(a+c)(c－a)－b(b－a)=0,整理得b2+a2-c2=ab.所以cosC=解得C=.3.在△ABC中,a2+b2+c2=2bccosA+2accosB,则△ABC一定是(

)A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形【解析】选C.因为a2+b2+c2=2bccosA+2accosB,所以a2+b2+c2=2bc·+2ac·

所以a2+b2+c2=b2+c2-a2+a2+c2-b2=2c2,即a2+b2=c2,所以△ABC一定是直角三角形.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的范围是 (

)A.(2,4)B.(2.5,3.5)C.(2,)D.(2,4)【解析】选C.只需让3和a所对的角均为锐角即可,【误区警示】本题容易默认a为最大边,从而造成错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosA=bcosB,且c=2,sinC=,下列可以是△ABC面积的为 (

)【解析】选AC.因为在△ABC中,acosA=bcosB,所以由余弦定理得整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a2-b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或C=(舍去).因为c=2,sinC=,a=b,所以cosC=±,6.若△ABC为钝角三角形,且a=2,b=3,则边c的长可能为 (

)A.2B.3C.D.4【解析】选AD.由三角形的边长能构成三角形,有1<c<5,又a<b,所以在△ABC中钝角可能为角B或角C.则cosB=<0或cosC=<0,所以4+c2-9<0或4+9-c2<0,解得1<c<或<c<5,所以选项A,D满足.【光速解题】本题直接求解略显复杂,可以直接利用余弦定理验证即可.本题A选项较易验证cosB=<0,故B为钝角;B选项不需要验证;C选项cosC=>0,故最大角C为锐角,从而△ABC为锐角三角形,故此选项不符合题意;D选项不需要验证即可判断(多选题至少有两项满足,则D项必定成立).三、填空题(每小题5分,共10分)7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=b,cosB=cosC,a=,则S△ABC=

.

【解题指南】先根据余弦定理得b2+c2=a2,再根据直角三角形求结果.【解析】因为cosB=cosC,所以结合c=b,化简得a=b,从而有b2+c2=a2,即△ABC为直角三角形,将c=b,a=代入b2+c2=a2,得b=1,于是c=,所以S△ABC=bc=.答案:

【补偿训练】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若C=,c=2,则△ABC面积的最大值为

.【解析】由C=及c=2可得4=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=4,由不等式a2+b2≥2ab可得2ab-ab≤4,即ab≤4,当且仅当a=b=2时取等号.所以S=absinC=故△ABC面积的最大值为.答案:

8.在△ABC中,角A