数列的概念与简单表示法

第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法考点梳理1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．(2)通项公式：如果数列{an}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________.2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．递增数列⇔an＋1______an；递减数列⇔an＋1_____an；常数列⇔an＋1______an.递增数列与递减数列统称为__________．3．数列前n项和Sn与an的关系已知Sn，则an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（n＝1）_________，,（n≥2）_________.))自查自纠：1．(1)项首项a1，a2，a3，…，an，…(2)第n项n(3)函数值(4)anan－1(5)通项公式法(解析式法)列表法图象法递推公式法2．(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列3．S1Sn－Sn－1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1，7，－13，19，…；(2)eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…；(3)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(4)5，55，555，5555，….解：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式正负性可用(－1)n调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故数列的一个通项公式为an＝eq\f(2n,（2n－1）（2n＋1）).(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，故数列的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2).(4)将原数列改写为eq\f(5,9)×9，eq\f(5,9)×99，eq\f(5,9)×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故数列的一个通项公式为an＝eq\f(5,9)(10n－1)．变式1写出下列数列的一个通项公式：(1)－1，eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,5)，…；(2)3，5，9，17，33，…；(3)eq\f(2,3)，－1，eq\f(10,7)，－eq\f(17,9)，eq\f(26,11)，….(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)an＝(－1)n·eq\f(1,n)；(2)an＝2n＋1；(3)由于－1＝－eq\f(5,5)，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n＋1}，故an＝(－1)n＋1·eq\f(n2＋1,2n＋1).(4)观察数列{an}可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)（n为奇数），,2\s\up6(\f(n,2))（n为偶数）.))(2)∵eq\f(an＋1,an)＝2n，∴eq\f(a2,a1)＝21，eq\f(a3,a2)＝22，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得eq\f(an,a1)＝21＋2＋…＋(n－1)＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2))，∴an＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2)).当n＝1时，适合．故an＝2eq\s\up6(\f(n（n－1）,2)).(3)由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.类型四数列通项的性质例题4已知数列{an}，且an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)(n∈N*)．求数列{an}的最大项．解：因为an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))eq\s\up12(n)是积幂形式的式子且an＞0，所以可用作商法比较an与an－1的大小．解：令eq\f(an,an－1)≥1(n≥2)，即eq\f(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),n·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n－1))≥1，整理得eq\f(n＋1,n)≥eq\f(11,10)，解得n≤10.令eq\f(an,an＋1)≥1，即eq\f(（n＋1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n),（n＋2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))\s\up12(n＋1))≥1，整理得eq\f(n＋1,n＋2)≥eq\f(10,11)，解得n≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．故a9＝a10＝eq\f(1010,119)最大．变式4数列{an}的通项an＝eq\f(n,n2＋90)，则数列{an}中的最大项是()A．3eq\r(10)B．19C.eq\f(1,19)D.eq\f(\r(10),60)解：易得an＝eq\f(1,n＋\f(90,n))，运用基本不等式得，eq\f(1,n＋\f(90,n))≤eq\f(1,2\r(90))，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，an＝eq\f(1,19)最大．故选C.方法规律总结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．2．an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2），))注意an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，还须验证a1是否符合an(n≥2)，是则合并，否则写成分段形式．3．已知递推关系求通项掌握先由a1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可以用“累加法”得：an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)．(2)已知a1且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可以用“累乘法”得：an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．注：以上两式均要求{f(n)}易求和或积．4．数列的简单性质(1)单调性：若an＋1＞an，则{an}为递增数列；若an＋1＜an，则{an}为递减数列．(2)周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．(3)最大值与最小值：若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an＋1，,an≥an－1，))则an最大；若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an＋1，,an≤an－1，))则an最小．课后练习1．1，2，eq\r(7)，eq\r(10)，eq\r(13)，…中，2eq\r(19)是这个数列的()A．第16项 B．第24项C．第26项 D．第28项解：观察a1＝1＝eq\r(1)，a2＝2＝eq\r(4)，a3＝eq\r(7)，a4＝eq\r(10)，a5＝eq\r(13)，…，所以an＝eq\r(3n－2).令an＝eq\r(3n－2)＝2eq\r(19)＝eq\r(76)，得n＝26.故选C.2．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，an＝()A．2n－1B．n2C.eq\f(（n＋1）2,n2)D.eq\f(n2,（n－1）2)解：设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝eq\f(Tn,Tn－1)＝eq\f(n2,（n－1）2).故选D.3．数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝()A．7B．6C．5D．4解：依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，∴a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.故选D.4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足eq\f(an,n)≤2的正整数n的集合为()A．{1,2} B．{1,2,3,4}C．{1,2,3} D．{1,2,4}解：B5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an的值为()A．2＋lgn B．2＋(n－1)lgnC．2＋nlgn D．1＋nlgn解法一：∵an＋1－an＝lgeq\f(n＋1,n)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lgeq\f(n,n－1)＋lgeq\f(n－1,n－2)＋…＋lgeq\f(2,1)＋2＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,n－1)·\f(n－1,n－2)·…·\f(3,2)·\f(2,1)))＋2＝lgn＋2.解法二：an＋1＝an＋lg(n＋1)－lgn，an＋1－lg(n＋1)＝an－lgn，所以数列{an－lgn}是常数列，an－lgn＝a1－lg1＝2，an＝2＋lgn.故选A.6．若数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1，则a2017的值为()A．－1B.eq\f(1,2)C．2D．3解：根据题意，∵数列{an}满足a1＝2，an＋1an＝an－1，∴an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝eq\f(1,2)，a3＝－1，a4＝2，…，可知数列的周期为3，∵2017＝3×672＋1，∴a2017＝a1＝2.故选C.7．已知数列{an}满足as·t＝asat(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________.解：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×4＝a2×a4＝8.故填8.8．下列关于星星图案的个数构成一个数列，该数列的一个通项公式是an＝________.解：从题图中可观察星星的个数构成规律，n＝1时，有1个；n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).故填eq\f(n（n＋1）,2).9．若数列{an}满足eq\f(1,an＋1)－eq\f(p,an)＝0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{an}为“梦想数列”．已知正项数列{eq\f(1,bn)}为“梦想数列”，且b1b2b3…b99＝299，则b8＋b92的最小值是________．解：4依题意可得bn＋1＝pbn，则数列{bn}为等比数列．又b1b2b3…b99＝299＝beq\o\al(99,50)，则b50＝2.b8＋b92≥2eq\r(b8·b92)＝2b50＝4，当且仅当b8＝b92，即该数列为常数列时取等号．10．已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及a