第8章位移法课件

§8-1概述位移法：先确定某些位移，再推求内力。图a所示刚架在荷载F作用下发生虚线所示变形。略去轴向变形，可将结构分解如图b、c。思路：将结点1的角位移Z1

作为基本未知量，求出Z1，进而求出各杆内力。需解决的问题：（1）用力法算出单跨超静定梁在各种外因作用下的内力

（2）确定哪些位移作为基本未知量（3）如何求出这些位移§8-1概述位移法：先确定某些位移，再推求内力。§8-2等截面直杆的转角位移方程图a所示两端固定的等截面梁，两端支座发生了位移。取基本结构如图b。

X3对梁的弯矩无影响，可不考虑，只需求解X1、X2。符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；均以顺时针方向为正；

△AB以使整个杆件顺时针方向转动为正。力法典型方程为§8-2等截面直杆的转角位移方程图a所示作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。由图e可得βAB—弦转角，顺时针方向为正。解典型方程得§8-2等截面直杆的转角位移方程作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。由图e可得βAB令—杆件的线刚度MAB=X1，MBA=X2，可得固端弯矩：单跨梁在荷载作用及温度变化时产生的杆端弯矩。当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化时，其杆端弯矩为转角位移方程§8-2等截面直杆的转角位移方程令—杆件的线刚度MAB=X1，MBA=X2，可得固端弯矩对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有不是独立的杆端弯矩杆端剪力§8-2等截面直杆的转角位移方程对于一端固定另一端铰支的等截面梁，设B端为铰支，则有不是独立§8-3位移法的基本未知量和基本结构基本未知量：结点的角位移、线位移。1、结点的角位移：每一个刚结点有一个独立的角位移未知量。图a所示刚架独立结点角位移数目为2。2、结点的线位移：略去受弯杆件的轴向变形，设弯矩变形是微小的。如图a，4、5、6点不动，三根柱子长度不变，故1、2、3点均无竖向位移。两根横梁长度不变。因而，1、2、3点有相同的水平位移。§8-3位移法的基本未知量和基本结构基本未知量：结点的角位确定独立的结点线位移另种一方法把原结构的所有刚结点和固定支座均改为铰结点→铰结体系，如图b。此铰结体系为几何不变，原结构无结点线位移。此铰结体系为几何可变或瞬变，添加最少的支座链杆保证其几何不变，添加的链杆数目既是原结构独立的结点线位移数目。如图b，加一个水平支座链杆，体系成为几何不变的。§8-3位移法的基本未知量和基本结构确定独立的结点线位移另种一方法把原结构的所有刚结点和固定支座§8-3位移法的基本未知量和基本结构附加刚臂：阻止刚结点的转动，但不能阻止结点的移动。附加支座链杆：阻止结点的线位移。图a所示刚架，在刚结点1、3处分别加上刚臂，在结点3处加上一根水平支座链杆，则原结构的每根杆件都成为单跨超静定梁。这个单跨超静定梁的组合体称为位移法的基本结构。如图c。§8-3位移法的基本未知量和基本结构附加刚臂：§8-3位移法的基本未知量和基本结构图a所示刚架，结点角位移数目=4（注意结点2）结点线位移数目=2加上4个刚臂，两根支座链杆，可得基本结构如图b。§8-3位移法的基本未知量和基本结构图a所示刚架，结点角位§8-3位移法的基本未知量和基本结构图a所示刚架，结点线位移数目=2图b所示刚架，结点角位移数目=2

结点线位移数目=2§8-3位移法的基本未知量和基本结构图a所示刚架，结点线位§8-4位移法的典型方程及计算步骤图a所示连续梁（EI为常数），只有一个独立结点角位移Z1。在结点B加一附加刚臂得到基本结构。令基本结构发生与原结构相同的角位移Z1，二者的位移完全一致了。附加刚臂上的反力矩R1=R11（Z1引起的）+R1P（荷载引起的）原结构没有附加刚臂，所以：R1=R11+R1P=0基本结构在荷载和Z1共同作用下的体系称为基本体系，如图b。§8-4位移法的典型方程及计算步骤图a所§8-4位移法的典型方程及计算步骤设r11表示Z1=1引起的附加刚臂上的反力矩，所以：R11=r11Z1。可得位移法基本方程系数自由项作及荷载作用下的弯矩图，如图a、b。由a图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得r11=3i+3i=6i由b图，取结点B为隔离体，由∑MB=0，可得R1P=-24kN·m§8-4位移法的典型方程及计算步骤设r11表示Z1=1引起§8-4位移法的典型方程及计算步骤将r11和R1P代入方程求出结构的最后弯矩图由叠加法绘制§8-4位移法的典型方程及计算步骤将r11和R1P代入方§8-4位移法的典型方程及计算步骤a图所示刚架，13杆和24杆有侧移产生，称为有侧移结构。基本体系如图b。由图c、d、e可得§8-4位移法的典型方程及计算步骤a图所示刚架，13杆和2§8-4位移法的典型方程及计算步骤r11、r12分别表示Z1=1、Z2=1引起的刚臂上的反力矩。r21、r22分别表示Z1=1、Z2=1引起的链杆上的反力。可得位移法典型方程物理意义基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的附加反力矩和附加反力都应等于零。原结构的静力平衡条件§8-4位移法的典型方程及计算步骤r11、r12分别表示Z§8-4位移法的典型方程及计算步骤为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。§8-4位移法的典型方程及计算步骤为求系数和自由项，绘弯矩§8-4位移法的典型方程及计算步骤将系数和自由项代入典型方程并求解，可得结构的最后弯矩图可由叠加法绘制：内力图校核同力法，略。§8-4位移法的典型方程及计算步骤将系数和自由项代入典型方§8-4位移法的典型方程及计算步骤位移法计算步骤（1）确定基本未知量：独立的结点角位移和线位移，加入附加联系得到基本结构。（2）建立位移法的典型方程：各附加联系上的反力矩或反力均应等于零。（3）绘弯矩图：基本结构在各单位结点位移和外因作用下，由平衡条件求系数和自由项。（4）解典型方程：求出作为基本未知量的各结点位移。（5）绘制最后弯矩图：用叠加法。§8-4位移法的典型方程及计算步骤位移法计算步骤（1）确定§8-4位移法的典型方程及计算步骤对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下主系数：主斜线上的系数rii，或称为主反力，恒为正值。典型方程副系数：其他系数rij，或称为副反力，可为正、负或零。rij=rji。每个系数都是单位位移引起的反力或反力矩→结构的刚度系数；位移法典型方程→结构的刚度方程；位移法→刚度法。§8-4位移法的典型方程及计算步骤对于具有n个独立结点位移§8-4位移法的典型方程及计算步骤例8-1试用位移法求图a所示阶梯形变截面梁的弯矩图。E=常数。解：结构的基本未知量：结点B的角位移Z1、竖向位移Z2，基本体系如图b。典型方程为设则iAB=3i，iBC=i绘弯矩图c、d、e。取结点B处的隔离体。§8-4位移法的典型方程及计算步骤例8-1试用位移法求§8-4位移法的典型方程及计算步骤代入典型方程解得由§8-4位移法的典型方程及计算步骤代入典型方程解得由§8-4位移法的典型方程及计算步骤例8-2求图a所示刚架的支座A产生转角，支座B产生竖向位移。试用位移法绘其弯矩图，E为常数。解：刚架的基本未知量：结点C的角位移Z1，基本体系如图b。典型方程为设则§8-4位移法的典型方程及计算步骤例8-2求图a所示刚§8-4位移法的典型方程及计算步骤绘弯矩图c、d。取结点C为隔离体。代入典型方程解得由§8-4位移法的典型方程及计算步骤绘弯矩图c、d。取结点C§8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程图a所示刚架用位移法求解时有两个基本未知量：刚结点1的转角Z1，结点1、2的水平位移Z2。如图b，由结点1的力矩平衡条件∑M1=0如图c，由隔离体的投影平衡条件∑Fx=0设Z1为顺时针方向，Z2向右，可得§8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程图由平衡条件可得Z1、Z2各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。§8-5直接由平衡条件建立位移法基本方程由平衡条件可得Z1、Z2各杆端最后弯矩由转角位移方程求得。§§8-6对称性的利用图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正对称荷载作用下只有正对称的基本未知量，如图b。在反对称荷载作用下只有反对称的基本未知量，如图c。图b利用对称性简化为图d。图c利用对称性简化为图e。用位移法求解用力法求解§8-6对称性的利用图a所示对称刚架，§8-6对称性的利用图a所示对称刚架，可将荷载分解为正、反对称两组。在正（反）对称荷载作用下，基本未知量数目是不同的。如图b、c。荷载位移法基本未知量数目力法基本未知量数目正对称3（采用）6反对称63（采用）§8-6对称性的利用图a所示对称刚架，§8-6对称性的利用例8-3试计算图a所示弹性支承连续梁，弹性支座刚度梁的EI=常数。解：这是一个对称结构承受正对称荷载取一半结构如图b，基本体系如图c典型方程为§8-6对称性的利用例8-3试计算图a所示弹性支承连§8-6对称性的利用绘弯矩图d、e、g。解得由§8-6对称性的利用绘弯矩图d、e、g。解得由§8-7有侧移的斜柱刚架图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。C点：BC杆平移至B’C’’，CC’’=BB’。

C’’在垂直B’C’’方向上运动，作C’’C’垂直于B’C’’。同理，作CC’垂直于DC。

CC’与C’’C’的交点C’即C位移后的位置。在图b中任选一点O为不动点→极点，AD与O重合。作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD的垂线，得交点C。AB：代表AB杆的相对线位移BC：代表BC杆的相对线位移CD：代表CD杆的相对线位移结点位移图§8-7有侧移的斜柱刚架图a所示为一具有§8-7有侧移的斜柱刚架例8-4试用位移法计算图a所示刚架。解：基本体系如图b所示。典型方程为令其余杆线刚度如图b及MP图如图c、d§8-7有侧移的斜柱刚架例8-4试用位移法计算图a所§8-7有侧移的斜柱刚架设则结点位移图如图e附加链杆上反力的计算如图g。图如图f计算可得由∑MO=0有§8-7有侧移的斜柱刚架设则结点位移图如图e附加链杆上反§8-7有侧移的斜柱刚架将系数和自由项代入典型方程，可得叠加原理绘弯矩图§8-7有侧移的斜柱刚架将系数和自由项代入典型方程，可得§8-8温度变化时的计算例8-5绘图a所