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文档简介
1简单的线性规划(2)北师大版高中数学必修5第三章《不等式》法门高中姚连省制作1简单的线性规划(2)北师大版高中数学必修5第三章《不等式》2一、教学目标1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力;3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。二、教学重点:用图解法解决简单的线性规划问题教学难点:准确求得线性规划问题的最优解三、教学方法:启发引导式四、教学过程2一、教学目标3
目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件。
如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目标函数,如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式),则称为线性约束条件。一、复习3目标函数中的变量所要满足的不等式组称为约束条件。4
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题。使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解。
一般地,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。4在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题5
例1:某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品都需要两种原料。生产甲产品1工时需要A原料3kg,B原料1kg;生产乙产品1工时需要A原料2kg,B原料2kg。现有A原料1200kg,B原料800kg。如果生产甲产品每工时的平均利润是30元,生产乙产品每工时的平均利润是40元,问同时生产两种产品,各多少工时能使利润的总额最大?最大利润是多少?5例1:某工厂计划生产甲、乙两种产品,这两种产品都6解:依题意,可列表如下:产品原料A数量(kg)原料B数量(kg)利润(元)生产甲种产品1工时3130生产乙种产品1工时2240限额数量1200800
设计划生产甲种产品x工时,计划生产乙种产品y工时,6解:依题意,可列表如下:产品原料A数量(kg)原料B数量(7则获得的利润总额为f=30x+40y。①其中x,y满足下列条件:②
于是问题转化为,在x,y满足条件②的情况下,求式子30x+40y的最大值。7则获得的利润总额为f=30x+40y。①其中x8画出不等式组②表示的平面区域OABC。
问题又转化为,在不等式组②表示的平面区域内找一点,把它的坐标代入式子30x+40y时,使该式取得最大值。8画出不等式组②表示的平面区域OABC。问题又转化为9
令30x+40y=z,则直线过点B时,z最大。9令30x+40y=z,则直线过点B时,z最大。10将x=200,y=300代入式子①:30x+40y,得zmax=30×200+40×300=18000.答:用200工时生产甲种产品,用300工时生产乙种产品,能获得利润18000元,此时利润总额最大。解方程组得点B的坐标为(200,300)。10将x=200,y=300代入式子①:30x+40y,得11例2.下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单价:甲乙丙维生素A(单位/千克)400600400维生素B(单位/千克)800200400单价(元/千克)765营养师想购买这三种食品共10千克,使它们所含的维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,而且要使付出的金额最低,这三种食物应各购买多少千克?11例2.下表给出甲、乙、丙三种食物中维生素A、B的含量及单12解:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购买丙种食物(10-x-y)千克,又设总支出为z元,由题意得
z=7x+6y+5(10-x-y),化简得z=2x+y+50,x,y应满足的约束条件12解:设购买甲种食物x千克,乙种食物y千克,则购买丙种食物13化简得根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图阴影部分所示。13化简得根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图141415
容易看出,z=2x+y+50过直线y=2与直线2x-y=4的交点时,z值最小。解方程组得点M(3,2)。因此,当x=3,y=2时,z取得最小值z=2×3+2+50=58.此时,10-x-y=5.答:购买甲食物3千克,乙食物2千克,丙食物5千克,付出的金额最低为58元。15容易看出,z=2x+y+50过直线y=2与直线216例3.某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,一个大集装箱能够所托运的货物的总体积不能超过24m3,总重量不能低于650千克。甲、乙两种货物每袋的体积、重量和可获得的利润,列表如下:货物每袋体积(单位:m3)每袋重量(单位:百千克)每袋利润(单位:百元)甲5120乙42.510问:在一个大集装箱内,这两种货物各装多少袋(不一定都是整袋)时,可获得最大利润?16例3.某货运公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物,一个大集装17解:设托运甲种货物x袋,乙种货物y袋,获得利润z百元。则z=20x+10y。
依题意可得关于x,y的约束条件17解:设托运甲种货物x袋,乙种货物y袋,获得利润z百元。18
根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图阴影部分所示。画直线l0:20x+10y=0,平行移动l0到直线l的位置,使l过可行域中的某点,并且可行域内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧。18根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图191920
该点到直线l0的距离最大,则这一点的坐标使目标函数取最大值。
容易看出,点M符合上述条件,点M是直线2x+5y=13与直线5x+4y=24的交点。解方程组得点M(4,1)。
因此当x=4,y=1时,z取得最大值,此时zmax=20×4+10×1=90.20该点到直线l0的距离最大,则这一点的坐标使目标函21答:在一个大集装箱内装甲种货物4袋,乙种货物1袋,可获得最大利润9000元。21答:在一个大集装箱内装甲种货物4袋,乙种货物1袋,可获得22例4.A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动,两个小区都有同学参加。已知A区的每位同学往返车费是3元,每人可为5位老人服务;B区的每位同学往返车费是5元,每人可为3位老人服务。如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多,且去敬老院的往返总车费不超过37元。怎样安排参与活动同学的人数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人最多是多少人?22例4.A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生,利用23解:设A、B两区参与活动的人数分别为x,y受到服务的老人人数为z,
则z=5x+3y,应满足的约束条件是化简得23解:设A、B两区参与活动的人数分别为x,y受到服务的老人24
根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图阴影部分所示。
画直线l0:5x+3y=0,平行移动l0到直线l的位置,使l过可行域中的某点,并且可行域内的其它各点都在l的包含直线l0的同一侧。24根据上述不等式组,作出表示可行域的平面区域,如图阴25
该点到直线l0的距离最大,则这一点的坐标使目标函数取最大值。容易看出,点M符合上述条件,点M是直线x-5y+1=0与直线3x+3y=37的交点。解方程组得点M(4,5)。25该点到直线l0的距离最大,则这一点的坐标使目标函26
因此,当x=4,y=5时,z取得最大值,并且zmax=5×4+3×5=35.答:A、B两区参与活动同学的人数分别为4,5时,受到服务的老人最多,最多
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