柔性漂浮基空间机械臂运动轨迹跟踪控制

柔性漂浮基空间机械臂运动轨迹跟踪控制

1因误差,产生误差空间机械臂在宇宙空间的生产和实验活动中发挥着越来越重要的作用，也是世界各国空间技术研究的重点和热点。随着空间技术的发展，空间机器人的需求变得越来越高。软室机器人因其所需的驱动力低、速度高、质量轻、体积小、成本低等优点而受到广泛关注。然而，目前关于柔性空间机械臂的研究对象主要为柔性空间机械臂。然而，对于大多数空间机械臂系统来说，连连接到关节的驱动连接运动的电机之间没有绝对刚性的联系，这意味着空间机械臂的关节也具有柔性特征。柔性关节可以吸收空间机械臂在外部环境中发生的碰撞力，减少空间机器人的损伤。然而，由于空间机械臂的外部旋转角度无法满足电机旋转的运动角度，因此会出现误差，从而影响控制的精度。此外，关节的柔性特性也会导致空间机械臂在高速和高精度运动中的振动。特别是对于具有柔性关节的空间机器人来说，由于缺乏系统的动态建模和控制方法，因此无法直接应用于柔性关节的空间机械臂的动态控制方法。同时，由于参数误差、负荷变化、燃料消耗、外部干扰等因素的影响，软环系统的设计方法不能直接应用于柔性关节的半体系统。然而，由于该方法没有抑制系统的灵活性振动，控制精度不高。hu建立了一种基于卡尔曼滤波器扩展的灵活控制体系。该系统是一种无根多体系统，具有没根和强耦合性。采用传统的柔性关节机器人控制方法，可以控制漂浮关节的空间机械臂系统。同时，由于参数偏差、负荷变化、燃料消耗和外部干扰等不确定因素的影响，浮动基地自适应控制的系统动态模型通常是不确定的。然而，该方法由于卡尔曼滤波器的扩展而不确定。然而，该方法并没有抑制系统的灵活性振动，因此控制精度不高。hu建立了一种柔性关节自由飞行机器人的异质统制方法。对于缓慢变化系统，设计了位置力控制方法和快速变化系统的动态关节弹性力控制方法。然而，该方法的计算量大、复杂。谢立敏探讨了具有柔性关节的浮动空间机器人的动态建模，采用了先进的光谱法，并介绍了快速变动系统。同时值得注意的是,目前针对空间机械臂系统的大多数控制方法均需要实时测量和反馈系统中与速度有关的信号,为此需要在控制过程中使用速度传感器.但是,速度传感器的使用会增加系统的成本和物理结构上的复杂性,带来测速误差,降低系统的可靠性和鲁棒性.基于以上情况,本文针对具有关节柔性、系统参数不确定,且受到外部干扰的漂浮基空间机械臂系统,利用动量、动量矩守恒关系和拉格朗日方程建立系统的动力学方程.并基于奇异摄动理论,提出由慢变子系统的基于状态变量的观测器的鲁棒反步方法和快变子系统的线性速度反馈控制方法组成的混合控制方法,以实现系统运动轨迹的渐近跟踪和抑制关节柔性引起的系统弹性振动.而观测器的运用使得在控制过程中不需要测量和反馈系统的速度信号.仿真证明了该方法的有效性.2具有柔性关节的空间机械臂系统的动力学分析方法具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统结构如图1所示.该系统由自由漂浮的载体B0,刚性杆B1、B2,以及由刚性杆B2末端手爪抓持着的刚性载荷Bp组成.建立惯性坐标系ΣOXY及各分体的主轴坐标系ΣOjxjyj(j=0,1,2),并设各分体在OXY平面内作平面运动.轴xj方向上的单位矢量为ej.B0的质心Oc0相对于O的矢径为r0,B1的质心Oc1相对于O的矢径为r1,B2与载荷Bp的联合体的质心Oc2相对于O的矢径为r2p,系统总质心C相对于O的矢径为rc.各分体的质量和转动惯量分别为mj、Jj,载荷Bp的质量和转动惯量为mp、Jp.杆B2与载荷Bp组成的联合体的总质量和总转动惯量为m2p、J2p.关节Oi(i=1,2)处驱动电机转子的质量可忽略不计,其转动惯量为Jai.载体姿态角为q0,刚性杆Bi的转角为qi,关节Oi处驱动电机转子的转角为qai.各分体Bj的转动角速度为vj.杆B2与载荷P的联合体的转动角速度为v2p=v2.关节Oi处电机转子的自转角速度为vai.根据图1中系统的位置几何关系及总质心定义,各分体质心的位置矢量可表示为如下形式:其中,L0j、L1j和L2pj为系统惯性参数的组合函数.对具有柔性关节的机器人系统,根据Spong的假设,电机转子与连杆之间的柔性联接可简化为一个刚度系数为k的无惯量线性扭簧,结构如图2所示.因此,受到关节柔性的影响,当关节Oi处的电机转子转过角度qai时,受其驱动的杆Bi由于扭簧弹性力的作用,其转动角度qi并不一定与qai保持一致,即(以往未考虑关节柔性条件下机器人建模时总是假设qi=qai恒成立),从而使得系统存在“刚–柔性转角误差”∆qi=qai-qi.电机转子与机械臂之间弹性力的大小为ki∆qi.因此,若对具有柔性关节的空间机械臂系统仍然采用常规的方法(即将关节驱动电机和连杆视为纯刚性联接的整体)进行系统动力学建模和控制方法设计,必然将不断累积刚–柔性转角误差,从而影响系统的控制品质.基于以上的讨论,在对具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统进行动力学分析时,应该对空间机械臂和电机转子分别分析.因此,系统的动能T包括两部分:一部分为由自由漂浮的载体、刚性杆和刚性载荷共同组成的刚性系统的动能Tr,另一部分为各个关节处电机转子的总动能Ta.而由于电机转子的质量可忽略不计,故电机转子的动能主要为其自身的转动动能.因此,系统的总动能可以表示为忽略宇宙环境中微弱的重力作用,系统的总势能仅为柔性关节简化扭簧的弹性变形势能,即:具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统为无外力作用的自由漂浮无根多体系统,系统遵守对ΣOXY的动量、动量矩守恒关系.不失一般性,设系统初始动量、动量矩为0.于是系统动量、动量矩守恒关系为结合式(1)~(5)及拉格朗日方程可获得载体位置、姿态均不受控的具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统完全驱动形式的动力学方程:其中,qa=qa1qTa2为由驱动电机转子的转角组成的2阶列向量,q=q1q2T为由空间机械臂的转角组成的2阶列向量,∆q=qa-q,Ja=diagJa1,Ja2为驱动电机的对角正定惯量矩阵,D(q0,q)∈R2×2为空间机械臂的对称正定惯量矩阵,为包含科氏力、离心力的2阶列向量,Ka=diag(k1,k2)为关节刚度系数矩阵,τd为系统的外部干扰,τ=τ1τ2T为由关节驱动电机的输出力矩组成的2阶列向量.由于关节的柔性会给系统带来刚–柔性转角误差并使系统在高速和高精度的运动过程中产生不可避免的弹性振动,对系统的控制造成不利影响.因此,在对具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统进行运动控制时,不仅要能够减小系统误差,实现系统的期望轨迹跟踪,同时还要能够抑制系统的弹性振动.为了实现这个目标,我们基于奇异摄动法,将系统分解为独立时间尺度的快、慢变子系统.其中,快变子系统表示系统的弹性部分,而慢变子系统表示系统的刚性部分.并且分别对快、慢变子系统设计控制律.其中,快变子系统控制律τf用来抑制系统的弹性振动,而慢变子系统控制律τs用来保证系统实现期望轨迹跟踪.于是,系统的总控制律为假设正定对角矩阵K1和非常小的正常数σ,它们与关节刚度系数矩阵Ka满足如下关系:令q为“慢”变量,关节弹性力z=Ka∆q为“快”变量.于是可将系统动力学方程(6)、(7)重新写为设计如下的快变子系统速度差值反馈控制律:其中,Kf=K2/σ,K2为正定对角阵,可见,快变子系统是采用速度差值反馈控制,将空间机械臂和电机转子的转动角速度的差值反馈回控制器,然后通过调节参数Kf来保证系统的稳定的.将式(8)、(12)代入式(10)可获得快变子系统的动力学方程:由于σ为一个非常小的正常数,由式(9)可知:当σ→0时,关节刚度系数矩阵Ka→∞,此时电机转子与杆的联接可近似视为刚性,于是有:qa=q,∆q=0,z=0.则由式(6)、(7)可获得系统的等效刚性模型,即慢变子系统的动力学方程:综上,式(13)和式(14)描述的即为具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统的奇异摄动模型.3机械臂中接触力系统的模型对式(14)进行准线性化处理,写成如下形式:其中,M(q0,q)=D(q0,q)+Ja,H为2×2的矩阵,其形式不唯一,但适当选取可使其满足关系:式(15)中的相关矩阵具有以下性质:性质1:由于D(q0,q)和Ja均为对称正定矩阵,故M(q0,q)也为对称正定矩阵,且M(q0,q)有界,即:其中,ξ1和ξ2为正常数.性质2:存在正常数ζh,使得对于∀y2,y3,y4∈R2有:性质3:系统外部干扰τd有界,即:τdζd,ζd>0.针对具有柔性关节的漂浮基空间机械臂,考虑末端手爪抓取的载荷Bp的参数为不确定的情况,系统在建模时存在模型误差∆M(q0,q)和∆H即:3.1状态观测器稳定性定义状态变量:x0=q0,x1=q和于是可将慢变子系统动力学方程式(15)写成状态方程的形式:在实际应用中,若需要利用速度传感器来实时测量和反馈空间机械臂系统中与速度相关的信号,不仅会增加系统的成本,还会带来测速误差,降低控制精度.为了解决这一问题,本文采用观测器,利用位置信号来重构速度信号.于是设计如下形式的观测器:将式(18)、(19)相减可得状态观测器的误差方程:下面来讨论所提出的状态观测器的稳定性.定义滑模面:当状态观测器的滑动模态发生(即时,由式(20)和性质2可得:定义李亚普诺夫函数:将Vg对时间求导,并根据式(21)可得:令Λ2=M-1(x0,x1)·(Ks-H(x0,x1,))·Λ1.其中,Ks为对角正定阵.则式(23)可写成其中,可见:当选取Ks=ksI,ks>0.25时可保证Q为对称正定矩阵.于是根据范数的性质和性质3,可将式(24)写成其中,λmin{·}为矩阵“·”特征值的最小值.3.2反步控制器设计反步方法是针对不确定系统的一种系统化的控制器综合方法.其基本思想为:将李亚普诺夫函数的选取与控制律的设计相结合,从系统的最低阶次子系统开始设计李亚普诺夫函数和中间虚拟控制量,然后一直“后退”到整个系统,最终设计出满足要求的控制律.该方法对线性系统和非线性系统都适用,同时由于它实际上是一种逐步递推的设计方法,因此比较适合在线控制,节省了在线计算时间.设慢变子系统的期望输出向量为x1d=qd=qd1qd2T,则其与实际输出向量x1之间的误差向量为e1=x1d-x1=qd-q,相应的速度误差向量为于是由式(18)可获得慢变子系统的误差状态方程:根据反步方法的设计思想,对于式(15)描述的具有柔性关节的漂浮基空间机械臂慢变子系统,反步控制器的设计可分为如下两步:步骤1:针对系统的一阶变量进行李亚普诺夫函数设计,并进行系统稳定性分析.首先,引入辅助变量:其中,u为虚拟控制量.选取李亚普诺夫函数:将V1对时间求导,并利用式(27)可得到:为了保证虚拟控制量u可设计为其中,A=diag(a1,a2)为正定、对角常值矩阵.于是有:z2=e2+AAzz1=e2+AAee1.将式(30)代入式(29)可得:显然,由式(31)可看出:当且仅当z2=0时,V1为慢变子系统输出误差向量e1的二次型函数,且但是,这种情况比较特殊,因此需要进一步设计.步骤2:基于步骤1,引入系统的二阶变量,设计新的李亚普诺夫函数以寻找满足要求的控制量τs,使得z1和z2能够收敛于0或一致最终有界.将z2对时间求导,并利用式(26)可得:定义新的李亚普诺夫函数:显然,η表示的是由参数不确定系统的模型误差、状态观测器的估计误差以及外部干扰组成的不确定量.为了保证系统运动轨迹的渐近跟踪,需要设计鲁棒项up来补偿不确定量η.根据性质2和式(17)可知有界,由于A与B均为正定矩阵,则由性质1可知M(x0,x1)A+B有界,由前面的分析可知有界,由性质3可知τd有界.于是可得η有界,即||η||≤ρ,ρ>0.将式(39)代入式(36),可得:设计如下的鲁棒补偿项:4计算机仿真实验针对图1所示具有柔性关节的漂浮基空间机械臂系统进行仿真实验.设刚性杆Bi(i=1,2)沿xi轴的长度为3m,关节O1与载体质心O0的距离为1.5m,杆B1的质心与关节O1的距离为2m,杆B2与载荷BP联合体的质心与关节O2的距离为1.5m.各分体的质量和转动惯量分别为m0=40kg,m1=2kg,m2=1kg;J0=34.17kg·m2,J1=1.5kg·m2,J2=0.75kg·m2.电机转子的转动惯量为:Ja1=Ja2=0.5kg·m2.关节刚度系数为:k1=k2=100N·m/rad.利用本文提出的混合控制方法式(12)、(35)、(41)进行计算机仿真实验.仿真时假设载荷Bp的质量及转动惯量mp、Jp为不确定参数,其不确定范围为5kgmp0,3kg·m2Jp0;真实值为mp=2kg,Jp=1.25kg·m2;仿真估计值为mp=1kg,Jp=1.5kg·m2.并假设空间机械臂转角的期望运动轨迹为qd1=0.5π(0.1t-0.5sin(0.2πt)/π),qd2=0.5π×(1-0.1t+0.5sin(0.2πt)/π).外部干扰信号为τd=sintcostT.初始值为q(0)=0.05rad1.6radT,qa(0)=0.05rad1.6radT.仿真时间t=10s.仿真结果如图3~6所示.图3为在本文提出的混合控制方法控制下,空间机械臂关节转角的实际运动轨迹和期望运动轨迹对比图.图4为在本文提出的混合控制方法控制下驱动电机转子的运动轨迹与空间机械臂关节转角的期望运动轨迹对比图.图5为关闭鲁棒补偿控制项up后空间机械臂关节转角的运动轨迹.图6为关闭快变子系统控制律τf后空间机械臂关节转角的运动轨迹.由图3可