基于反步法的船舶非线性输出反馈控制

基于反步法的船舶非线性输出反馈控制

动态定位是一种基于轴的定位方法，可以自动维护海上浮动装置。现代船舶动力定位(SDP,shipdynamicpositioning)系统是指船舶在风、浪、流的各种干扰情况下,不借助锚泊系统,利用自身的推力系统使船舶保持一定的位置和航向,或者按预定运动轨迹运动的闭环控制系统。SDP系统一般由位置测量系统、控制系统、推力系统3部分构成。文献就带扰动的非线性简化船舶模型,提出一种基于自适应观测器的SDP非线性反步法,用的是简化模型;文献提出一种带有积分器的非线性反步法,但仅考虑了简化线性船舶模型的控制算法,并没针对非线性船舶模型进行反步控制器设计与研究。在文献和文献的基础上,笔者对T.I.Fossen建立的船舶模型加入扰动,在扰动已知的情况下,证明了带扰动的非线性SDP系统模型也是一严格反馈的单输入单输出系统,符合反步控制器的设计原理,所以提出了一种基于反步法(backstepping)的船舶非线性输出反馈控制器设计方法,并结合Lyapunov稳定性理论证明该控制器全局渐进稳定,使模型的耦合问题不会对整个控制系统产生影响。通过对供给船舶模型建立的非线性数学模型进行仿真研究,实现同时对3个方向(纵荡、横荡、艏摇)的控制,仿真结果表明所设计方法的有效性。1非线性船舶数学模型的构建1.1两个坐标系的平面与静水面重合为了更好地描述船舶3个自由度(纵荡、横荡、艏摇)的运动,有必要建立两个参考坐标系,如图1所示。一个是相对于水平面的大地坐标系XOY,一个是相对于船舶的随船坐标系xoy,两个坐标系的Z轴都垂直于地心,xoy平面与静水面重合。定义大地坐标系下船舶位置向量和艏摇角度向量[x,y,φ],随船坐标下的速度向量[u,v,r],则大地坐标与随船坐标转换关系为1.2船舶低频数学模型鉴于船舶在海面上综合运动的复杂性,其运动一般分为风、流、二阶波浪力引起的低频运动和由于一阶波浪力引起的高频运动。由于高频运动只表现为周期性的振荡但并不会使平均位置发生改变,为了使推力器实现绿色控制,避免浪费能量和磨损推力器,通常不对高频信号进行控制,而是从船舶测得的综合位置信息中对低频信号进行分离并加以控制,以使船舶动力定位系统达到如期效果,所以建立船舶的低频数学模型尤其重要。根据文献～文献中T.I.Fossen提出的线性模型基础上,考虑如下带扰动的无锚船舶简化数学模型:式中,m为船舶质量;Iz为转动惯量;Xg为船舶重心在随船坐标系中的x轴坐标值;、,分别为水动力在纵荡、横荡、艏摇3个自由度因为各自加速度引起的附加质量,均被定义为负数;为由于横荡和艏摇的耦合而互相引起的附加质量;Xu、Yu、Yr、Nv、Nr分别为船舶在各个运动方向的水动力线性阻尼系数;u为船的纵荡速度,v为船的横荡速度,r表示船的艏摇角速度,f为未建模的风、浪、流等外部扰动作用力。从式(3)描述的供给船舶数学模型可以看出,该船模系统是一单输入单输出的非线性系统,且u和v是耦合的,可表示为如下矩阵形式:式中,M为惯性矩阵包括水动力附加质量矩阵;D为水动力阻尼系数矩阵。2状态空间终点设计考虑一严格反馈控制形式的单输入单输出n阶非线性系统为式中,x∈Rn,u∈R分别为系统的n维状态向量和输入变量;系统的非线性部分fi呈下三角形结构,即只依赖于被反馈的状态变量x1,x2,…,xi,而与xi+1无关,并且fi(0)=0,即状态空间原点是系统的平衡点。反步法设计是把每一个子系统中的xi+1看成虚拟控制量,并引入一个误差变量zi+1=xi+1-αi(i=1,…,n-1)。通过确定适当的虚拟反馈xi+1-αi(i=1,…,n-1),其中αi为待设计的镇定函数,使误差变量渐近稳定,从而设计整个系统的状态反馈镇定控制器u(x)以及求得适当的李雅普诺夫(Lyapunov)函数V(x),使得x=0是闭环系统渐近的平衡点,以保证整个系统状态渐近稳定。为了方便计算,联立式(2)和式(4)并整理,式(1)所描述的非线性船舶运动模型可表示为式中,A=MR-1(φ),,如果A-1存在,式(6)可表示为式(8)符合式(5)所定义的严格反馈控制形式的单输入单输出非线性系统的形式,其中,θ=A-1τ,,所以可利用反步法对式(6)系统设计控制器。3可正确显示的加速度误差SDP的关键技术之一在于如何克服船舶模型在不确定且时变的环境扰动的影响,在考虑环境扰动已知的情况下,利用反步法设计一种非线性反馈输出控制器,控制的目标是使供给船快速稳定在一个期望值ηd。现给定系统的期望值为ηd=[xd,yd,φd]T,那么定义相应的位置误差为e=η-ηd,速度误差为,加速度误差为,式(6)可以转换为令式中,K1为给定的正定增益矩阵,一般情况下可设K1为对角矩阵;μ为待设计的控制输入信号。对于式(6)所描述的系统,对τ进行非线性补偿,可得到误差的动态方程现对状态变量定义如下那么式(12)可表示为对于式(13a)系统,选取Lyapunov函数:把x2看作虚拟控制量,并对其进行设计,使得≤0,则可保证x1收敛,对V1求导并将式(13a)代入求解可得:不难看出,当x2=0时,恒成立,当且仅当x1=e=0时,。那么,接下来就是确定控制量μ,使得x2收敛于0。对于式(13b),选取Lyapunov函数:式中,P为正定矩阵。对式(16)求导并将式(13b)代入求解可得一正定的对角矩阵。将μ的值代入式(17)可得综上,x1、x2均按指数收敛于0,此时的控制律为从式(19)可以看出,该控制律在没有对横荡和艏摇方向解耦的情况下,使得耦合问题对控制系统不产生影响,实现同时对3个方向(纵荡、横荡、艏摇)的控制。4反步控制器性能以一艘供给船为仿真实例,验证了在非线性船舶模型上反步法设计控制器的性能。供给船的质量为6400kg,长度为76.2m,模型船的惯性矩阵、水动力阻尼系数矩阵分别为4.1定位性能仿真设定供给船的期望位置ηd=[10,20,60°]T,初始位置η=[0,0,0°]T,仿真时间选取100s。分别选取动力定位控制器的参数K1=diag(1,1,1),K2=diag(3,3,3)。定位性能仿真如图2所示。由图2显然可见,当位置出现偏差的时候,控制器自动调节船舶推力的大小,使供给船迅速到达期望的位置。从纵荡(x)方向、横荡(y)方向和艏摇角(φ)的实际输出曲线可以看出,在系统稳定前并没有出现超调。供给船的实际位置x、y、φ分别在5s左右到达期望位置xd、yd、φd,该控制器的定位性能效果良好,并且所设计的控制器控制供给船的航迹没有偏差。4.2动力定位控制器参数的跟踪性能设定供给船的期望值ηd=[t,2t,3t]T,初始位置η=[0,0,0°]T,仿真时间选取100s。分别选取动力定位控制器的参数K1=diag(1,1,1),K2=diag(3,3,3)。跟踪性能仿真如图3所示。由图3可以看出,控制器所控制的供给船从纵荡(x)方向、横荡(y)方向和艏摇角(φ)的实际输出曲线来看,动力定位控制器的线性轨迹跟踪性能良好。5dp系统的仿真所引用T.I.Fossen的船模系统经本文证明是一严格反馈的单输入单输出非线性系统,针对严格反馈单输入单输出非线性SDP系统,利用反步法设计了SDP系统的