2021年九年级中考 三轮几何突破数学训练：四边形综合（一）

2021年中考三轮几何专题突破数学训练：四边形综合(一)

1.如图，四边形48⑺中，AD//BC,N4=Ng90°,点£是朋的中点，连接班将国

沿南折叠后得到△G8E,且点G在四边形48切内部，延长仍交加于点尸，连接厌

(1)求证：△&?名△的'；

(2)求证：B4CD；

(3)若点尸是勿的中点，BC=8,求切的长.

2.如图，在菱形中，对角线47,劭交于点0,4EL8C交。8延长线于£,CF/1AE交

4。延长线于点F.

(1)求证：四边形4&尸为矩形；

(2)连接如，若4£=4,47=5,求tanNOEC的值.

3.在矩形四中，AB=3,BC=4,E、尸是对角线4C上的两个动点，分别从4C同时出

发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0WtW5.

(1)若G,，分别是48,OC中点，则四边形&?/7/是(E、尸相遇时除外，写

出图形名称)；

(2)在(1)条件下，若四边形£的/为矩形，求力的值；

(3)若G,〃分别是折线4-8-C,C-。-/上的动点，与E,厂相同的速度同时出发,

若四边形£的/为菱形，求才的值.

4c________________________,D

4.如图，已知正方形力瓦4>15=8,点〃为射线力上的动点，射线力〃交劭于£,交射线

BC于F,过点C作8_LC£,交4尸于点。.

(1)当8£=2处时，求。〃的长.

(2)当M在线段必上时，若而上3,求必■的长.

(3)①当ZW=2C〃时，作点。关于4%的对称点小求tanNMlb的值.

②若BE=4DE、直接写出与△戚的面积比.

A,__________D

5.阅读材料:

平面直角坐标系中点户(x,力的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示

为1“，我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的折线距

离，记为㈤,即旧=|小一|,其中的“+”是四则运算中的加法，例如点为(1,2)的

折线距离［*=|1|+|2|=3.

【解决问题】

(1)已知点4(-2,4),8(旄+祈，遥-/7),直接写出48的折线距离［用，

㈣；

(2)若点"满足［网=2,

①当点"在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点版的坐标；

②正方形&'G”的两个顶点坐标分别为£(&0),尸(方-1,0),当正方形&'附上存在

点"时，直接写出t的取值范围.

1111_____________1111.

•4-3-2-101234x

-1-

-2-

-3-

-4-

6.如图所示，已知正方形窕的顶点。为正方形4及步对角线力C,劭的交点，连接先，

DG.

(1)求证：侬8；

(2)若0G上80,正方形4成力的边长为2,线段4?与线段0G相交于点M,且N0MD=75：

求宏的长；

(3)在(2)的条件下，把正方形如飞绕点0旋转，直接写出点8到点尸的最短距离.

B

G

7.如图，在Rt4/I宓中，NU90°,AC=\G,N4=60°.点。从点8出发沿防方向以每

秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点。从点A出发沿/1C方向以每秒1个单位

长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设

点户、。运动的时间是十秒.过点尸作以入死于点〃，连接内、QM.

（1）请用含有t的式子填空：AQ^,AP=,P4；

（2）是否存在某一时刻使四边形用物为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存

在，说明理由；

（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由.

（备用图）

8.【基础巩固】（1）如图1,在中，〃是的中点，过8作曲〃/C,交酸的延长

线于点。.求证：AC^BD-,

【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段或上取点E（如图2）,已知BE=AC=734,

CE=2,曰/=4,求tan。；

【拓展提高】（3）如图3,菱形48⑺中，点户在对角线4c上，目CP=2AP,点、E为线

图1图2图3

9.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.

例1:求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.

已知：如图，在中，AD=DB,BE=EC,AF=FC.

求证：4E、〃厂互相平分.

证明：连接。EEF.

请根据教材提示，结合图①，写出完整的解题过程.

【拓展】如图②，设图①中的〃与。尸的交点为G,连接3,分别交/£、EF干点、H、K.

⑴巩

CK-------------------------

(2)若四边形&淑的面积为3,则四边形力际的面积为

10.如图1,四边形4民》是矩形，点尸是对角线4C上的一个动点(不与4C重合)，过

点、P作PELCD于点、E,连接必，已知4?=3,>45=4,设仍=以

(1)当m=1时，求您的长；

(2)连接比,试问点Q在运动的过程中，能否使得四△月£8?请说明理由；

(3)如图2,过点。作PF1PB交边于点F,设CF=n,试判断5祝4〃的值是否发生变

化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由.

11.如图1,在矩形加第中，点£是边办的中点，点尸在边力。上，EFJ-BD,垂足为G.

(1)如图2,当矩形4成?。为正方形时，求黑的值；

GB

(2)如果黑=春，AF=x,AB^y,求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

GB5

(3)如果48=4的，以点4为圆心，3的长为半径的。4与以点8为圆心的。8外切.以

点尸为圆心的。尸与。A。8都内切.求黑的值.

GB

(1)［发现］:当正方形AEFG综点、A旋转，如图2,线段

是;位置关系是;

(2)［探究］:如图3,若四边形与四边形在尸G都为矩形，且朋=2力民AG=2AE,

猜想DG与的的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)［应用］:在⑵情况下，连接GE(点£在上方)，若GE//AB,且AB=娓,

AE=\,求线段的长.

13.在△48C中，A8=6,AXBX5,将△/如绕点力按顺时针方向旋转得到△加£,旋转角

为a(0。<a<180°),点8的对应点为点。，点C的对应点为点£

(1)如图，当a=60°时,连接劭、班并延长交4。于点尸，则属=

(2)当a=90°时，请画出图形并求出能的长；

(3)在旋转过程中，过点。作OG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE.当4ACB、

且线段例?与线段力£无公共点时，请猜想四边形〃^的形状并说明理由.

c

cc

备用图备用图

D

14.(1)如图1,正方形48缈和正方形如尸G(其中48〉阳，连接由AG交于点、H,请

直接写出线段/G与宏的数量关系.,位置关系

(2)如图2,矩形48切和矩形〃乐现AX2DG,AB=2DE、AD^DE,将矩形绕点。

逆时针旋转a(0。<a<360°),连接4G,CE交于■点、H,(1)中线段关系还成立吗？

若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段4G,g的数量关系和位置关系，并说明理

由;

(3)矩形加缈和矩形好仇AM2DG=6,AB=2DE=8、将矩形好'G绕点。逆时针旋转

a(0°<a<360°),直线力G,您交于点“，当点£与点〃重合时，请直接写出线段

的长.

图1图2

15.定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”.

①②③

(1)如图①，四边形力仇?〃与四边形北FG都是正方形，135°<Z/£5<180°,求证：

四边形8EG0是“等垂四边形”；

(2)如图②，四边形48必是“等垂四边形”，加大做连接8。点£,F,G分别是做

BC,劭的中点，连接EG,FG,EF.试判定△£)%的形状，并证明；

(3)如图③，四边形是“等垂四边形”，加=4,BX6,试求边加长的最小值.

参考答案

1.(1)证明：•将△/庭沿房折叠后得到

:.△ABE9XGBE、

:./BGE=/A,AE^GE,

ZA=ZD=9QQ,

NEG尸=NA90°,

•：EA=ED,

：.EG=ED,

在RtZ\fG/7和RtZ\&尸中，

(EF=EF

1EG=ED'

；.Rt£EGF@Rt4.EDF(HD；

(2)证明：由折叠性质可得，AB=BG,

•：AD//BC,N4=N〃=90°,

•••四边形48缈是矩形，

CD,

BG=DC.

(3)解：由折叠可知48=G8,

由(1)知RSEG&Rt/\EDF,

:.GF=DF、

又NC=90°,AB=CD,FD=GF.

：.GB=2GF,BRGF=3GF,

YBF=BC+C户、

・•・(3G/02=64+G户,

•••GF=2啦,

:.CD=2GF=4近.

2.(1)证明：,••四边形48必是菱形，

：.AD//BC,

■：CF//AE,

..•四边形4&尸是平行四边形，

•：AELBC,

二.四边形力&＞尸是矩形；

(2)连接0E,

•・•在菱开248微中，AD=AB=BC=5,AO=CO,

・•・NOEC=NOCE,

由(1)知，四边形尸为矩形；

：・NAEC=9G,

\'AE=4,

•■•^=VAB2-AE2=3'

・••优=3+5=8,

：.AB//CD.AB=CD,

:・NGAE=4HCF,

・・.G,〃分别是48,。。中点，

：.AG=CH,

YE、尸分别从4C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，

，AE=CF,

:.△AGEQRCHF(SAS,

：,GE=FH,NAEG=NCFH,

:・NGEF=NEFH,

.\GE//FH,

・•・四边形是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

(2)连接G//,如图：

••,矩形48C0,G,，分别是0C中点，

，四边形G8C"是矩形，

...矩形483中，AB=3,BC=4,

"1-GH=BC=4,AC={AB2+BC2=5,

由①知四边形£的/是平行四边形，

当EF=GH=4时，四边形F的/是矩形，

-,-5-2t=4,解得t=\,

..•四边形EGFH为矩形,贝I]t=微；

(3)•••£、打分别从4C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度,

：.AE=CF,

二四边形£0力的对角线标的中点即是4C中点，

若四边形£的/为菱形，则对角线垂直，且G//必经过作中点，

过4C的中点。作G/a/IC交8c于G,交朋于“，如图：

A

B

AB^GB=AE=CF=C步DH=t,

：,CG=AH,

而由矩形48co可得AD//BC.

4FAH=4ECG,

•：AE=CF、

:.AF=CE、

:.△AHFQACGE(SAS,

:・GE=FH、4AFH=NCEG,

：.NHFE=NFEG,

：.GE//FH,

・・・四边形为平行四边形，

又GHLAC,

・•・四边形/为菱形，

此时，以8为原点，8c所在直线为x轴，建直角坐标系，

则4(0,3),G(4,0),

・.・直线4C解析式为y=-g/3,线段/k?的中点0(2,3)，

42

YGH工AC,且GH过0(2,-1),

G//解析式为y—^-x—

36

7

令y=0得%=—,

O

•G(~»0),

8

31

：.AB^BG=—,

8

4.解：(1)...四边形力及刀是正方形,

：.AB//CD.

:・XABEs[\MDE、

.AB=BE

"DM-DE5

,:BE=2DE,48=8,

,AB=BE=9

"DM-DE-'

：.DM=—AB=^

2^

(2)..•四边形48缈是正方形，

：.AD=CD=AB=8,/ADC=/BCD=9G,NADE=4CDE=45°,AD//BC,

・•・4EAD=ZF,

又・：DE=DE,

：.^ADE^/\CDE{SAS'),

EAD=/ECM,

・・,CQ.LCE,

/.ZECQ=9Q°=4BCD,

:・/ECM=/QCF、

:・/F=4QCF、

:・CQ=FQ、

又■：NR/CMQ=/OCR/MCQ=9G,

：・NCMQ=/MCQ,

：.CQ=MQ,

：.CQ=MQ=FQ=—MF=3,

2

：.MF=6；

(3)①a、当点〃在正方形内部时，延长AN交BC于点、G,如图1所示：

\'DM=2CM,CD=8,

••CM="■CD=—■,

33

.・.四边形力伙力是正方形，

：.BC=AB=8,AB//CD,AD//BC,

：.2DAF=乙匕XMCFS{\ABF,

.CF=CM=1

"BF-AB-y

CF=

.-.CF=—AB=A,

2

:.BF=ANCF=、2,

由对称的性质得：NGAF=NDAF,

:./GAF=ZF'

：.AG=FG,

设贝Ij4G=FG=12-x,

在中，由勾股定理得：Ag+B6=AG,

即8?+/=(12-x)2,

解得：x-,

0

3

.,.tanZAM5=—=3=—;

AB4-12

o

b、当点〃在正方形外部时，连接力从MN,延长48交椒于点G,如图2所示:

由得出的性质得：4N=4ADC=90°,AN=AD=8,NAMN=NAMD,

同上得：NBAkNAMD=NNMA,

：.AG=MG,

设M7=x,贝I]47=3=16-x,

在Rta/WG中，由勾股定理得：Alt+NG=AG,

即8?+必=(16-x)I

解得：x=6,

:.N26,

3

：.tan^NAB=—=—

AN84

综上所述，tanNMIS的值为之或旦;

124

②过£作上于凡如图3所示:

则£户〃BC,

MXDEPsRDBC、

.DP=EP=DE

"DC-BC-BD

•:BE=4DE、

：,BD=5DE,

.DP=EP=DE=1

"DC-BC-BD"?

：.DP=EP=—BC=—.

55

'：AB//CD.

:、XMDEsXABE、

.DM=ME=DE=1

"AB-AE-BE-!'

4AH5

CQCD-DM^Q-2=6,AM^{AD2+DM'=V8^+22=2VTz>

.••^4小李,

-：AB//CD.

:.XMCFsXABF、

.姓=典=2=3

"AF-AB-8-7

；.MF=3A46K，

同（2）得：CQ=MO=FQ=

:.EQ~E聃MQ~组立+3行=生叵

55

.•.△C0E与△晰的面积比=旦乌=

MF同亍301

B

图3

图1

5.解：⑴•点4（-2,4）,8（泥+赤，泥-夜），

[/0=1-2|+|4|=2+4=6,[5]=|加+V7I+I脏-771=遍+忏V7-V5=2V7：

（2）①•••点附在x轴的上方，其横坐标为整数，且[例=2,

「•*=±1时，y=1或x=0时，y=2,

・・・点）的坐标为（-1,1）或（1,1）或（0,2）；

②:正方形行'G”的两个顶点坐标分别为0）,0）,

A£F=1,

若〃（-1,1）在正方形炉上时，

-Kt^O,

若明（1,1）在正方形斤'劭上时，

・•・t-1W1WG

・・・1W代2,

若"（2,0）在正方形斤G"上时，

At-1^2^t,

.・.2WtW3,

若〃（-2,0）在正方形&G/7上时，

t-1~2Wt,

-2WtW-1,

综上所述：2的取值范围为-2WtW0或1WW3.

6.解：(1)；正方形A8C0与正方形OEFG,对角线为力C、BD,

**-D0=0C、

'：DBS-AC,

：・NDOA=ND0C=9C,

ZGOE=90°,

：・4G0>/DOE=NDO曰■/C0E=9G0,

・•・NGOD=NCOE,

,:GO=OE,

・•・在△〃0G和△£*如中，00=CO,ZGOD=ZCOE.GD=OE,

侬△建(弘S)；

(2)♦.・四边形718切为正方形，故N0M=45°,故勿=&,

•：40MD=15°,

ZD0G=6Q°,

■：DGS-BD,故N勿G=90°,

：.40GD=3O°,

：.OG=2OD=2五,

22

DG=VOG-OD=V8<=近，

•:MD。皓XCOEqSAS,

：.CE=DG=捉；

(3)正方形OEFG绕点、0旋转，当点0、B、尸共线且点8在0尸之间时，点8到点尸的距

离最短，

由(2)知，在正方形婀Z?中，。6=2加，则0尸=&%=4,

而OB—OD—y[2,

故OF-08=4--\y2，

故8到点尸的最短距离为4-V2.

7.解：(1).••点。从点4出发沿4C方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，

.'.AQ=t,

VZ6*=90o,>46^=10,N4=60°,

・・.N8=30°,

：,AB=2AC=20,

：,AP=AB-BP=20-2t,

•：PMLBC、

/.Z/W=90°,

故答案为：t,20-2t,t；

(2)存在，理由如下：

由(1)知：AgPM,

•：ACA.BC,PMS-BC,

：.AO//PM,

四边形九版是平行四边形，

当4公力。时，平行四边形力斯是菱形，

即20-2t=t,

解得力=学，

O

则存在力=学，使得平行四边形X版成为菱形.

O

(3)当海为直角三角形时，有三种可能：

①当NAR?=90°时，此时四边形切也为矩形，

在RtZ\2l。中，Z/l=60o,

・•・/仍2=90°-ZA=30°,

：,AP=2AO,即20-2%=2&

解得：七=5；

②当N肮W=90°时，由(2)知MQ〃AP,

:,乙APO=4MQP=90°,

・・・N460°,

：.ZAQP=90°-ZA=30°,

：.AQ=2AP,

即t=2(20-2t),

解得：t=8.

③当N在的=90°时，此种情况不存在.

综上所述：当1为5或8时，△户。的为直角三角形.

8.解：(1)..,"是形的中点，则4f=8M,

-：BD//AC,

：.NABD=N4

•:乙AMg/BMD、

:.XAMgXBMD(A4S),

AC=BD；

(2)过点8作8/A1切于点”,

图2

由(1)得，CM^DM^CE^EM^b,

BE=AC=BD=5/34,

贝I]E4HD=5,

22

在中，BH=7BD2_DH2=7(A/34)-5=3,

BH^3

.'.tan/?=DH"5

(3)连接笫，延长如交州的延长线于点尸，交命于点G,

D.C

•：AG//CD,

:.△CPD^AAPG、

.PCCD_c即AG=^CD=^AB,

APAG

即点G是四的中点,

由（1）知，△AGMABGF（AAS）,

：.AD=BF,PD=2PG=］+2=3,GD=GF,

:.BE=BF=BC,

ZCfif=90°,

设菱形力员?〃的边长为x,

在RtZXAEC中，C^=CF-E&=六一\,

•：PD^2PG^\+2=3,则户6=1.5,贝I］小。44.5,贝I］。尸=2〃G=9,

：.EF=PD-PF=9-1=8,

在RtZkCfF中，C户=H-E户'BPx-1=4x-82,

解得x=&］（负值已舍去），

故菱形力脑的边长为：V21.

9.【教材呈现】证明：连接〃6M

则庄是△/18C的中位线，故DE//AG,且DE=^AC=AF,

故四边形以生为平行四边形，

：，AE、站互相平分；

【拓展】（1）解：同理可得，四边形如宠为平行四边形，则但KC,DF=EC=BE,

•：DG=^BE,FG=^EC,

：.DG=FG=^EC,

'：DF//BC,

:.△DHGs^CHE,

：.—=^-=—,即DH=—HC,

ECHC22

设DH=x,则〃C=2x,GD=DH^HC=3x,则以="|■a）=

故地=4

CK3

故答案为；

o

(2)解：设的面积为a,

•：DH=x,HK=^x,则△力正的面积为2a,

：G是相的中点，

,•/吸+电*=S四边形GFK#S丛EHK、

即2/显丽=3+石，故S△刖=3-a,

.・.《是平行四边形勿7笫的对角线的交点，故片是炉的中点,

向理SaMf+S"”产S四边形GFK#S△DGH、

即3石=6-3解得

Q

故S"F产/3=

.・.四边形力叱为平行四边形，

故四边形4际的面积=4S△四G=18,

故答案为18.

10.解：（1）连接

由已知：在Rt△ADC中，AC={AD?+DC232+42=5,

当4—勿=1时，PC=AC-AP=5-]=4,

,:PE，CD,

：・NPEC=/ADC=90°,

'：£ACD=/PCE、

:・XACD^XPCE、

.AD_AC

"PE"PC5

□n35

即市w

5

(2)如图1,当△〃四△户£8时,

图1

：.PA=PE,

•：AP^m,则%=5-m,

由(1)得：XACMIXPCE、

,J_5

"PE-5-m'

..〃=3(5-m)

5

由21=%即1m)=皿

5

解得：/n=与~,

O

.3Vpc2-PE2=^(5-^-)2-(-y-)2=11

，BE=VEC2+BC2=-J(y)2+32二尊产AB.

与△柱8不全等，

・•・不能使得△以四△他；

图2

YBP工PF,

AZBPF=90°,

：・/EPR/BPG=9G,

'：EGLAB,

：.ZPGB=90°,

：・/BP3NPBG=9G,

—PBG=/EPF、

■:/PEF=/PGB=9N,

:.△BPGSXPFE、

.BG_PG

**PE=EE1

由(1)得：APCESXACD、&•=芈也=

.ECPC

■,DC'AC'

即或至马,

45

Afg=4(5-m)

5

BG=EC=幺5二④.

3(5-m)

5=4(5-m)=4

4(5-np-=3(5-m)而

-5--n

.0.5/77*-4/7=16.

11.解：（D如图，延长笈交8c的延长线于点K

设正方形483的边长为k,

贝I]AB=BC=CD=AD=k,

,:E为切中点，

:.DE=CE=Lk，

N加仁。，

；正方形脑〃中,90NBDC=gNADC,

J.N8〃C=45°,

■:EF1BD,

:./DEF=45",

:.NDFE=45°,

：.DF=DE=—k,

•.•正方形脑〃中，AD//BC,

.DFDE,

■----=--------1,

CMEC

•••CM=DF=yk.

•：AD//BC,

..DG=DF=2=1

GBBMNk3

(2)如图，延长生交8c的延长线于K

设DF=a,则CM=a,

..DG_DFDGJ,

'GB'BM'GBV

:・BM=5a,BC=4a、

.\AF=x=z3a,

,_1

••3---T,

3

DF=­x,

3

'■AB^y,

：.DE^—2y，,

•:NADX90°,EFLBD,

：.NADB=NDEF,

:.tanNADB=tanNDEF,

.ABDF

"AD=DE1

1

x

.x_V3

,,「n-，

Tx7y

.282

•-yfX.

,.,x>0,y>0,

••.y与x的函数关系式为J^2x,

，3

函数定义域为：x>0;

(3)设。尸的半径为rem,则根据题意得:

。8的半径为1cm,

AF=|r-@cm,BF=\r-1|COT,

:矩形483中，N4=90°,

:.A户+Ag=B户、

(r-3)2+42=(—I)*

/.r=6,

即。尸的半径为6cm,

:・AF=3cm,

'.,tanNADB=tar\NDEF,

.4_AD-3

"AD=21

.,.^-3/P-8=0,

二.他上部或他三孝1(舍去)，

DGDF=2=41-3西

GBBM3+\J413+>/4182

12.解：(1)DG=BE、DGLBE,理由如下：

...四边形力打切和四边形力日方是正方形，

：.AE=AG,AB=AD,NBAD=NEAG=90°,

NBAE=NDAG,

：・RABE94ADG(SAS),

:・BE=DG：

如图2,延长能交47于0,交。G于小

Y△ABEQXDAG、

/.NABE=/ADG,

•：NAQ讣/ABE=9G,

：・NAQ济/ADGaQ3,

•:NAQB=NDQH,

DQ*/ADG=9N,

/.ZDHB=9Q0,

:・BE1DG、

故答案为：DG=BE,DGLBEy

（2）DG=2BE,BELDG,理由如下：

如图3,延长BE交AO于K,交。G于小

.・.四边形力员力与四边形都为矩形,

4BAD=4EAG,

4BAE=4DAG,

YAD=2AB,AG=2AE,

.AB=AE=1

"AD-AG--21

:.XABEsXADG、

.BE=—,4ABE=NADG,

,DG"AD2

：,DG=2BE,

•：/AKa/ABE=9G,

:・NAK济4ADG=90°,

NAKB=NDKH,

・•・NMAN4?G=90°,

・・・N力见=90°,

:・BE1DG，

（3）如图4,（为了说明点8,E,厂在同一条线上，特意画的图形）

设4与47的交点为K

•:EG//AB,

:・/DME=4DAB=9N,

在中，AE=\,

：.AG=2AE=2,

根据勾股定理得：EG=M2-2=®

,:AB=,后、

:.EG=AB,

'：EG//AB,

・•・四边形力阳?是平行四边形,

:、AG〃BE,

•：AG//EF,

...点8,E,尸在同一条直线上，如图5,

:.NAEB=QQ°,

在Rta/l维中，根据勾股定理得，BE=VAB2-AE2=7（V5）2-l2=2

由（2）知，"ABE》/\ADG、

.BE=AB=1

'DG-AD_7'

即看=4

."G=4.

图3

13.解:（1）•.•△/瓦7绕点力顺时针方向旋转60°得到

:,AB=AD,ZBAD=60°.

•••△4劭是等边三角形，

:・AB=BD.

•・,△力仍绕点A顺时针方向旋转60°得到△儿?£

：.AC=AE,BC=DE.

又,[AC=BC,

:・EA=ED.

・••点8、E在4?的中垂线上.

，BE是47的中垂线.

.・.点尸在鸵的延长线上，

:・BF1AD、AF=DF]

:.AF=DF=3,

•：AE=AC=5,

22=22=4

EF=VAE-AFVB-3>

在等边三角形/能中，BF=ABFnNBAF=6X三

i

:.BE=BF-£尸=3相-4,

故答案为：3^^-4；

过点£作&?，/8于点G,过点C作小裕于点H,

■:CA=CB,CHA.AB,

：.AH=—AB=—X6=3,

22

在RtZ\4。/中，\aAC=5,AH=3,

-CH=7AC2-AH2=452.32=4,

・：4CAE=9N,

：.4CA卡4EAG=qN,

,:CH工AB,

：・4CA*/ACH=9G°,

，EAG=/ACH、

,「△力宓围绕点川II页时针方向旋转得到△儿?£

.\AC=AE,

'：EGA-AB,CHIAB,

：.NEGA=/AHC=9G,

在△4/C和△曲中，

<ZEAG=ZACH

,ZEGA=ZAHC,

AC=AE

.\/\AHC^^EGA(44S),

:.GA=CH=A、EG=AH=3、

：.BG=AB-AG=6-4=2,

•:BG=2,EG=3,

22=

则BE=VEG+BGV22+32=VI3；

(3)如图2所示,

,:4DAG=4ACB、/DAE=4BAC、

，NAC田■NBA%NABC=N"侪NDgNA8C=W,

又TN%分N%AN仍5=180°,

.,.2BAE=KABC、

'：AG=BC=AE,

/.NBAC=NABC,

：.NBAE=4BAC,

：.ABA.CE,且CH=HE=^CE,

•：AC=BC,

：.AH=BH=^AB,

•：CH=HE,AH=BH,

..•四边形。为平行四边形，

•：AC=BC,

四边形4砥?为菱形.

14.解：(