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文档简介
2021年中考三轮几何专题突破数学训练:四边形综合(一)
1.如图,四边形48⑺中,AD//BC,N4=Ng90°,点£是朋的中点,连接班将国
沿南折叠后得到△G8E,且点G在四边形48切内部,延长仍交加于点尸,连接厌
(1)求证:△&?名△的';
(2)求证:B4CD;
(3)若点尸是勿的中点,BC=8,求切的长.
2.如图,在菱形中,对角线47,劭交于点0,4EL8C交。8延长线于£,CF/1AE交
4。延长线于点F.
(1)求证:四边形4&尸为矩形;
(2)连接如,若4£=4,47=5,求tanNOEC的值.
3.在矩形四中,AB=3,BC=4,E、尸是对角线4C上的两个动点,分别从4C同时出
发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒,其中0WtW5.
(1)若G,,分别是48,OC中点,则四边形&?/7/是(E、尸相遇时除外,写
出图形名称);
(2)在(1)条件下,若四边形£的/为矩形,求力的值;
(3)若G,〃分别是折线4-8-C,C-。-/上的动点,与E,厂相同的速度同时出发,
若四边形£的/为菱形,求才的值.
4c________________________,D
4.如图,已知正方形力瓦4>15=8,点〃为射线力上的动点,射线力〃交劭于£,交射线
BC于F,过点C作8_LC£,交4尸于点。.
(1)当8£=2处时,求。〃的长.
(2)当M在线段必上时,若而上3,求必■的长.
(3)①当ZW=2C〃时,作点。关于4%的对称点小求tanNMlb的值.
②若BE=4DE、直接写出与△戚的面积比.
A,__________D
5.阅读材料:
平面直角坐标系中点户(x,力的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝对值表示
为1“,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的折线距
离,记为㈤,即旧=|小一|,其中的“+”是四则运算中的加法,例如点为(1,2)的
折线距离[*=|1|+|2|=3.
【解决问题】
(1)已知点4(-2,4),8(旄+祈,遥-/7),直接写出48的折线距离[用,
㈣;
(2)若点"满足[网=2,
①当点"在x轴的上方时,且横坐标为整数,求点版的坐标;
②正方形&'G”的两个顶点坐标分别为£(&0),尸(方-1,0),当正方形&'附上存在
点"时,直接写出t的取值范围.
1111_____________1111.
•4-3-2-101234x
-1-
-2-
-3-
-4-
6.如图所示,已知正方形窕的顶点。为正方形4及步对角线力C,劭的交点,连接先,
DG.
(1)求证:侬8;
(2)若0G上80,正方形4成力的边长为2,线段4?与线段0G相交于点M,且N0MD=75:
求宏的长;
(3)在(2)的条件下,把正方形如飞绕点0旋转,直接写出点8到点尸的最短距离.
B
G
7.如图,在Rt4/I宓中,NU90°,AC=\G,N4=60°.点。从点8出发沿防方向以每
秒2个单位长度的速度向点A匀速运动,同时点。从点A出发沿/1C方向以每秒1个单位
长度的速度向点C匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设
点户、。运动的时间是十秒.过点尸作以入死于点〃,连接内、QM.
(1)请用含有t的式子填空:AQ^,AP=,P4;
(2)是否存在某一时刻使四边形用物为菱形?如果存在,求出相应的t值;如果不存
在,说明理由;
(3)当t为何值时,为直角三角形?请说明理由.
(备用图)
8.【基础巩固】(1)如图1,在中,〃是的中点,过8作曲〃/C,交酸的延长
线于点。.求证:AC^BD-,
【尝试应用】(2)在(1)的情况下,在线段或上取点E(如图2),已知BE=AC=734,
CE=2,曰/=4,求tan。;
【拓展提高】(3)如图3,菱形48⑺中,点户在对角线4c上,目CP=2AP,点、E为线
图1图2图3
9.【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.
例1:求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
已知:如图,在中,AD=DB,BE=EC,AF=FC.
求证:4E、〃厂互相平分.
证明:连接。EEF.
请根据教材提示,结合图①,写出完整的解题过程.
【拓展】如图②,设图①中的〃与。尸的交点为G,连接3,分别交/£、EF干点、H、K.
⑴巩
CK-------------------------
(2)若四边形&淑的面积为3,则四边形力际的面积为
10.如图1,四边形4民》是矩形,点尸是对角线4C上的一个动点(不与4C重合),过
点、P作PELCD于点、E,连接必,已知4?=3,>45=4,设仍=以
(1)当m=1时,求您的长;
(2)连接比,试问点Q在运动的过程中,能否使得四△月£8?请说明理由;
(3)如图2,过点。作PF1PB交边于点F,设CF=n,试判断5祝4〃的值是否发生变
化,若不变,请求出它的值;若变化,请说明理由.
11.如图1,在矩形加第中,点£是边办的中点,点尸在边力。上,EFJ-BD,垂足为G.
(1)如图2,当矩形4成?。为正方形时,求黑的值;
GB
(2)如果黑=春,AF=x,AB^y,求y与x的函数关系式,并写出函数定义域;
GB5
(3)如果48=4的,以点4为圆心,3的长为半径的。4与以点8为圆心的。8外切.以
点尸为圆心的。尸与。A。8都内切.求黑的值.
GB
(1)[发现]:当正方形AEFG综点、A旋转,如图2,线段
是;位置关系是;
(2)[探究]:如图3,若四边形与四边形在尸G都为矩形,且朋=2力民AG=2AE,
猜想DG与的的数量关系与位置关系,并说明理由;
(3)[应用]:在⑵情况下,连接GE(点£在上方),若GE//AB,且AB=娓,
AE=\,求线段的长.
13.在△48C中,A8=6,AXBX5,将△/如绕点力按顺时针方向旋转得到△加£,旋转角
为a(0。<a<180°),点8的对应点为点。,点C的对应点为点£
(1)如图,当a=60°时,连接劭、班并延长交4。于点尸,则属=
(2)当a=90°时,请画出图形并求出能的长;
(3)在旋转过程中,过点。作OG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE.当4ACB、
且线段例?与线段力£无公共点时,请猜想四边形〃^的形状并说明理由.
c
cc
备用图备用图
D
14.(1)如图1,正方形48缈和正方形如尸G(其中48〉阳,连接由AG交于点、H,请
直接写出线段/G与宏的数量关系.,位置关系
(2)如图2,矩形48切和矩形〃乐现AX2DG,AB=2DE、AD^DE,将矩形绕点。
逆时针旋转a(0。<a<360°),连接4G,CE交于■点、H,(1)中线段关系还成立吗?
若成立,请写出理由;若不成立,请写出线段4G,g的数量关系和位置关系,并说明理
由;
(3)矩形加缈和矩形好仇AM2DG=6,AB=2DE=8、将矩形好'G绕点。逆时针旋转
a(0°<a<360°),直线力G,您交于点“,当点£与点〃重合时,请直接写出线段
的长.
图1图2
15.定义:有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”.
①②③
(1)如图①,四边形力仇?〃与四边形北FG都是正方形,135°<Z/£5<180°,求证:
四边形8EG0是“等垂四边形”;
(2)如图②,四边形48必是“等垂四边形”,加大做连接8。点£,F,G分别是做
BC,劭的中点,连接EG,FG,EF.试判定△£)%的形状,并证明;
(3)如图③,四边形是“等垂四边形”,加=4,BX6,试求边加长的最小值.
参考答案
1.(1)证明:•将△/庭沿房折叠后得到
:.△ABE9XGBE、
:./BGE=/A,AE^GE,
ZA=ZD=9QQ,
NEG尸=NA90°,
•:EA=ED,
:.EG=ED,
在RtZ\fG/7和RtZ\&尸中,
(EF=EF
1EG=ED'
;.Rt£EGF@Rt4.EDF(HD;
(2)证明:由折叠性质可得,AB=BG,
•:AD//BC,N4=N〃=90°,
•••四边形48缈是矩形,
CD,
BG=DC.
(3)解:由折叠可知48=G8,
由(1)知RSEG&Rt/\EDF,
:.GF=DF、
又NC=90°,AB=CD,FD=GF.
:.GB=2GF,BRGF=3GF,
YBF=BC+C户、
・•・(3G/02=64+G户,
•••GF=2啦,
:.CD=2GF=4近.
2.(1)证明:,••四边形48必是菱形,
:.AD//BC,
■:CF//AE,
..•四边形4&尸是平行四边形,
•:AELBC,
二.四边形力&>尸是矩形;
(2)连接0E,
•・•在菱开248微中,AD=AB=BC=5,AO=CO,
・•・NOEC=NOCE,
由(1)知,四边形尸为矩形;
:・NAEC=9G,
\'AE=4,
•■•^=VAB2-AE2=3'
・••优=3+5=8,
:.AB//CD.AB=CD,
:・NGAE=4HCF,
・・.G,〃分别是48,。。中点,
:.AG=CH,
YE、尸分别从4C同时出发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,
,AE=CF,
:.△AGEQRCHF(SAS,
:,GE=FH,NAEG=NCFH,
:・NGEF=NEFH,
.\GE//FH,
・•・四边形是平行四边形,
故答案为:平行四边形;
(2)连接G//,如图:
••,矩形48C0,G,,分别是0C中点,
,四边形G8C"是矩形,
...矩形483中,AB=3,BC=4,
"1-GH=BC=4,AC={AB2+BC2=5,
由①知四边形£的/是平行四边形,
当EF=GH=4时,四边形F的/是矩形,
-,-5-2t=4,解得t=\,
..•四边形EGFH为矩形,贝I]t=微;
(3)•••£、打分别从4C同时出发相向而行,速度均为每秒1个单位长度,
:.AE=CF,
二四边形£0力的对角线标的中点即是4C中点,
若四边形£的/为菱形,则对角线垂直,且G//必经过作中点,
过4C的中点。作G/a/IC交8c于G,交朋于“,如图:
A
B
AB^GB=AE=CF=C步DH=t,
:,CG=AH,
而由矩形48co可得AD//BC.
4FAH=4ECG,
•:AE=CF、
:.AF=CE、
:.△AHFQACGE(SAS,
:・GE=FH、4AFH=NCEG,
:.NHFE=NFEG,
:.GE//FH,
・・・四边形为平行四边形,
又GHLAC,
・•・四边形/为菱形,
此时,以8为原点,8c所在直线为x轴,建直角坐标系,
则4(0,3),G(4,0),
・.・直线4C解析式为y=-g/3,线段/k?的中点0(2,3),
42
YGH工AC,且GH过0(2,-1),
G//解析式为y—^-x—
36
7
令y=0得%=—,
O
•G(~»0),
8
31
:.AB^BG=—,
8
4.解:(1)...四边形力及刀是正方形,
:.AB//CD.
:・XABEs[\MDE、
.AB=BE
"DM-DE5
,:BE=2DE,48=8,
,AB=BE=9
"DM-DE-'
:.DM=—AB=^
2^
(2)..•四边形48缈是正方形,
:.AD=CD=AB=8,/ADC=/BCD=9G,NADE=4CDE=45°,AD//BC,
・•・4EAD=ZF,
又・:DE=DE,
:.^ADE^/\CDE{SAS'),
EAD=/ECM,
・・,CQ.LCE,
/.ZECQ=9Q°=4BCD,
:・/ECM=/QCF、
:・/F=4QCF、
:・CQ=FQ、
又■:NR/CMQ=/OCR/MCQ=9G,
:・NCMQ=/MCQ,
:.CQ=MQ,
:.CQ=MQ=FQ=—MF=3,
2
:.MF=6;
(3)①a、当点〃在正方形内部时,延长AN交BC于点、G,如图1所示:
\'DM=2CM,CD=8,
••CM="■CD=—■,
33
.・.四边形力伙力是正方形,
:.BC=AB=8,AB//CD,AD//BC,
:.2DAF=乙匕XMCFS{\ABF,
.CF=CM=1
"BF-AB-y
CF=
.-.CF=—AB=A,
2
:.BF=ANCF=、2,
由对称的性质得:NGAF=NDAF,
:./GAF=ZF'
:.AG=FG,
设贝Ij4G=FG=12-x,
在中,由勾股定理得:Ag+B6=AG,
即8?+/=(12-x)2,
解得:x-,
0
3
.,.tanZAM5=—=3=—;
AB4-12
o
b、当点〃在正方形外部时,连接力从MN,延长48交椒于点G,如图2所示:
由得出的性质得:4N=4ADC=90°,AN=AD=8,NAMN=NAMD,
同上得:NBAkNAMD=NNMA,
:.AG=MG,
设M7=x,贝I]47=3=16-x,
在Rta/WG中,由勾股定理得:Alt+NG=AG,
即8?+必=(16-x)I
解得:x=6,
:.N26,
3
:.tan^NAB=—=—
AN84
综上所述,tanNMIS的值为之或旦;
124
②过£作上于凡如图3所示:
则£户〃BC,
MXDEPsRDBC、
.DP=EP=DE
"DC-BC-BD
•:BE=4DE、
:,BD=5DE,
.DP=EP=DE=1
"DC-BC-BD"?
:.DP=EP=—BC=—.
55
':AB//CD.
:、XMDEsXABE、
.DM=ME=DE=1
"AB-AE-BE-!'
4AH5
CQCD-DM^Q-2=6,AM^{AD2+DM'=V8^+22=2VTz>
.••^4小李,
-:AB//CD.
:.XMCFsXABF、
.姓=典=2=3
"AF-AB-8-7
;.MF=3A46K,
同(2)得:CQ=MO=FQ=
:.EQ~E聃MQ~组立+3行=生叵
55
.•.△C0E与△晰的面积比=旦乌=
MF同亍301
B
图3
图1
5.解:⑴•点4(-2,4),8(泥+赤,泥-夜),
[/0=1-2|+|4|=2+4=6,[5]=|加+V7I+I脏-771=遍+忏V7-V5=2V7:
(2)①•••点附在x轴的上方,其横坐标为整数,且[例=2,
「•*=±1时,y=1或x=0时,y=2,
・・・点)的坐标为(-1,1)或(1,1)或(0,2);
②:正方形行'G”的两个顶点坐标分别为0),0),
A£F=1,
若〃(-1,1)在正方形炉上时,
-Kt^O,
若明(1,1)在正方形斤'劭上时,
・•・t-1W1WG
・・・1W代2,
若"(2,0)在正方形斤G"上时,
At-1^2^t,
.・.2WtW3,
若〃(-2,0)在正方形&G/7上时,
t-1~2Wt,
-2WtW-1,
综上所述:2的取值范围为-2WtW0或1WW3.
6.解:(1);正方形A8C0与正方形OEFG,对角线为力C、BD,
**-D0=0C、
':DBS-AC,
:・NDOA=ND0C=9C,
ZGOE=90°,
:・4G0>/DOE=NDO曰■/C0E=9G0,
・•・NGOD=NCOE,
,:GO=OE,
・•・在△〃0G和△£*如中,00=CO,ZGOD=ZCOE.GD=OE,
侬△建(弘S);
(2)♦.・四边形718切为正方形,故N0M=45°,故勿=&,
•:40MD=15°,
ZD0G=6Q°,
■:DGS-BD,故N勿G=90°,
:.40GD=3O°,
:.OG=2OD=2五,
22
DG=VOG-OD=V8<=近,
•:MD。皓XCOEqSAS,
:.CE=DG=捉;
(3)正方形OEFG绕点、0旋转,当点0、B、尸共线且点8在0尸之间时,点8到点尸的距
离最短,
由(2)知,在正方形婀Z?中,。6=2加,则0尸=&%=4,
而OB—OD—y[2,
故OF-08=4--\y2,
故8到点尸的最短距离为4-V2.
7.解:(1).••点。从点4出发沿4C方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动,
.'.AQ=t,
VZ6*=90o,>46^=10,N4=60°,
・・.N8=30°,
:,AB=2AC=20,
:,AP=AB-BP=20-2t,
•:PMLBC、
/.Z/W=90°,
故答案为:t,20-2t,t;
(2)存在,理由如下:
由(1)知:AgPM,
•:ACA.BC,PMS-BC,
:.AO//PM,
四边形九版是平行四边形,
当4公力。时,平行四边形力斯是菱形,
即20-2t=t,
解得力=学,
O
则存在力=学,使得平行四边形X版成为菱形.
O
(3)当海为直角三角形时,有三种可能:
①当NAR?=90°时,此时四边形切也为矩形,
在RtZ\2l。中,Z/l=60o,
・•・/仍2=90°-ZA=30°,
:,AP=2AO,即20-2%=2&
解得:七=5;
②当N肮W=90°时,由(2)知MQ〃AP,
:,乙APO=4MQP=90°,
・・・N460°,
:.ZAQP=90°-ZA=30°,
:.AQ=2AP,
即t=2(20-2t),
解得:t=8.
③当N在的=90°时,此种情况不存在.
综上所述:当1为5或8时,△户。的为直角三角形.
8.解:(1)..,"是形的中点,则4f=8M,
-:BD//AC,
:.NABD=N4
•:乙AMg/BMD、
:.XAMgXBMD(A4S),
AC=BD;
(2)过点8作8/A1切于点”,
图2
由(1)得,CM^DM^CE^EM^b,
BE=AC=BD=5/34,
贝I]E4HD=5,
22
在中,BH=7BD2_DH2=7(A/34)-5=3,
BH^3
.'.tan/?=DH"5
(3)连接笫,延长如交州的延长线于点尸,交命于点G,
D.C
•:AG//CD,
:.△CPD^AAPG、
.PCCD_c即AG=^CD=^AB,
APAG
即点G是四的中点,
由(1)知,△AGMABGF(AAS),
:.AD=BF,PD=2PG=]+2=3,GD=GF,
:.BE=BF=BC,
ZCfif=90°,
设菱形力员?〃的边长为x,
在RtZXAEC中,C^=CF-E&=六一\,
•:PD^2PG^\+2=3,则户6=1.5,贝I]小。44.5,贝I]。尸=2〃G=9,
:.EF=PD-PF=9-1=8,
在RtZkCfF中,C户=H-E户'BPx-1=4x-82,
解得x=&](负值已舍去),
故菱形力脑的边长为:V21.
9.【教材呈现】证明:连接〃6M
则庄是△/18C的中位线,故DE//AG,且DE=^AC=AF,
故四边形以生为平行四边形,
:,AE、站互相平分;
【拓展】(1)解:同理可得,四边形如宠为平行四边形,则但KC,DF=EC=BE,
•:DG=^BE,FG=^EC,
:.DG=FG=^EC,
':DF//BC,
:.△DHGs^CHE,
:.—=^-=—,即DH=—HC,
ECHC22
设DH=x,则〃C=2x,GD=DH^HC=3x,则以="|■a)=
故地=4
CK3
故答案为;
o
(2)解:设的面积为a,
•:DH=x,HK=^x,则△力正的面积为2a,
:G是相的中点,
,•/吸+电*=S四边形GFK#S丛EHK、
即2/显丽=3+石,故S△刖=3-a,
.・.《是平行四边形勿7笫的对角线的交点,故片是炉的中点,
向理SaMf+S"”产S四边形GFK#S△DGH、
即3石=6-3解得
Q
故S"F产/3=
.・.四边形力叱为平行四边形,
故四边形4际的面积=4S△四G=18,
故答案为18.
10.解:(1)连接
由已知:在Rt△ADC中,AC={AD?+DC232+42=5,
当4—勿=1时,PC=AC-AP=5-]=4,
,:PE,CD,
:・NPEC=/ADC=90°,
':£ACD=/PCE、
:・XACD^XPCE、
.AD_AC
"PE"PC5
□n35
即市w
5
(2)如图1,当△〃四△户£8时,
图1
:.PA=PE,
•:AP^m,则%=5-m,
由(1)得:XACMIXPCE、
,J_5
"PE-5-m'
..〃=3(5-m)
5
由21=%即1m)=皿
5
解得:/n=与~,
O
.3Vpc2-PE2=^(5-^-)2-(-y-)2=11
,BE=VEC2+BC2=-J(y)2+32二尊产AB.
与△柱8不全等,
・•・不能使得△以四△他;
图2
YBP工PF,
AZBPF=90°,
:・/EPR/BPG=9G,
':EGLAB,
:.ZPGB=90°,
:・/BP3NPBG=9G,
—PBG=/EPF、
■:/PEF=/PGB=9N,
:.△BPGSXPFE、
.BG_PG
**PE=EE1
由(1)得:APCESXACD、&•=芈也=
.ECPC
■,DC'AC'
即或至马,
45
Afg=4(5-m)
5
BG=EC=幺5二④.
3(5-m)
5=4(5-m)=4
4(5-np-=3(5-m)而
-5--n
.0.5/77*-4/7=16.
11.解:(D如图,延长笈交8c的延长线于点K
设正方形483的边长为k,
贝I]AB=BC=CD=AD=k,
,:E为切中点,
:.DE=CE=Lk,
N加仁。,
;正方形脑〃中,90NBDC=gNADC,
J.N8〃C=45°,
■:EF1BD,
:./DEF=45",
:.NDFE=45°,
:.DF=DE=—k,
•.•正方形脑〃中,AD//BC,
.DFDE,
■----=--------1,
CMEC
•••CM=DF=yk.
•:AD//BC,
..DG=DF=2=1
GBBMNk3
(2)如图,延长生交8c的延长线于K
设DF=a,则CM=a,
..DG_DFDGJ,
'GB'BM'GBV
:・BM=5a,BC=4a、
.\AF=x=z3a,
,_1
••3---T,
3
DF=x,
3
'■AB^y,
:.DE^—2y,,
•:NADX90°,EFLBD,
:.NADB=NDEF,
:.tanNADB=tanNDEF,
.ABDF
"AD=DE1
1
x
.x_V3
,,「n-,
Tx7y
.282
•-yfX.
,.,x>0,y>0,
••.y与x的函数关系式为J^2x,
,3
函数定义域为:x>0;
(3)设。尸的半径为rem,则根据题意得:
。8的半径为1cm,
AF=|r-@cm,BF=\r-1|COT,
:矩形483中,N4=90°,
:.A户+Ag=B户、
(r-3)2+42=(—I)*
/.r=6,
即。尸的半径为6cm,
:・AF=3cm,
'.,tanNADB=tar\NDEF,
.4_AD-3
"AD=21
.,.^-3/P-8=0,
二.他上部或他三孝1(舍去),
DGDF=2=41-3西
GBBM3+\J413+>/4182
12.解:(1)DG=BE、DGLBE,理由如下:
...四边形力打切和四边形力日方是正方形,
:.AE=AG,AB=AD,NBAD=NEAG=90°,
NBAE=NDAG,
:・RABE94ADG(SAS),
:・BE=DG:
如图2,延长能交47于0,交。G于小
Y△ABEQXDAG、
/.NABE=/ADG,
•:NAQ讣/ABE=9G,
:・NAQ济/ADGaQ3,
•:NAQB=NDQH,
DQ*/ADG=9N,
/.ZDHB=9Q0,
:・BE1DG、
故答案为:DG=BE,DGLBEy
(2)DG=2BE,BELDG,理由如下:
如图3,延长BE交AO于K,交。G于小
.・.四边形力员力与四边形都为矩形,
4BAD=4EAG,
4BAE=4DAG,
YAD=2AB,AG=2AE,
.AB=AE=1
"AD-AG--21
:.XABEsXADG、
.BE=—,4ABE=NADG,
,DG"AD2
:,DG=2BE,
•:/AKa/ABE=9G,
:・NAK济4ADG=90°,
NAKB=NDKH,
・•・NMAN4?G=90°,
・・・N力见=90°,
:・BE1DG,
(3)如图4,(为了说明点8,E,厂在同一条线上,特意画的图形)
设4与47的交点为K
•:EG//AB,
:・/DME=4DAB=9N,
在中,AE=\,
:.AG=2AE=2,
根据勾股定理得:EG=M2-2=®
,:AB=,后、
:.EG=AB,
':EG//AB,
・•・四边形力阳?是平行四边形,
:、AG〃BE,
•:AG//EF,
...点8,E,尸在同一条直线上,如图5,
:.NAEB=QQ°,
在Rta/l维中,根据勾股定理得,BE=VAB2-AE2=7(V5)2-l2=2
由(2)知,"ABE》/\ADG、
.BE=AB=1
'DG-AD_7'
即看=4
."G=4.
图3
13.解:(1)•.•△/瓦7绕点力顺时针方向旋转60°得到
:,AB=AD,ZBAD=60°.
•••△4劭是等边三角形,
:・AB=BD.
•・,△力仍绕点A顺时针方向旋转60°得到△儿?£
:.AC=AE,BC=DE.
又,[AC=BC,
:・EA=ED.
・••点8、E在4?的中垂线上.
,BE是47的中垂线.
.・.点尸在鸵的延长线上,
:・BF1AD、AF=DF]
:.AF=DF=3,
•:AE=AC=5,
22=22=4
EF=VAE-AFVB-3>
在等边三角形/能中,BF=ABFnNBAF=6X三
i
:.BE=BF-£尸=3相-4,
故答案为:3^^-4;
过点£作&?,/8于点G,过点C作小裕于点H,
■:CA=CB,CHA.AB,
:.AH=—AB=—X6=3,
22
在RtZ\4。/中,\aAC=5,AH=3,
-CH=7AC2-AH2=452.32=4,
・:4CAE=9N,
:.4CA卡4EAG=qN,
,:CH工AB,
:・4CA*/ACH=9G°,
,EAG=/ACH、
,「△力宓围绕点川II页时针方向旋转得到△儿?£
.\AC=AE,
':EGA-AB,CHIAB,
:.NEGA=/AHC=9G,
在△4/C和△曲中,
<ZEAG=ZACH
,ZEGA=ZAHC,
AC=AE
.\/\AHC^^EGA(44S),
:.GA=CH=A、EG=AH=3、
:.BG=AB-AG=6-4=2,
•:BG=2,EG=3,
22=
则BE=VEG+BGV22+32=VI3;
(3)如图2所示,
,:4DAG=4ACB、/DAE=4BAC、
,NAC田■NBA%NABC=N"侪NDgNA8C=W,
又TN%分N%AN仍5=180°,
.,.2BAE=KABC、
':AG=BC=AE,
/.NBAC=NABC,
:.NBAE=4BAC,
:.ABA.CE,且CH=HE=^CE,
•:AC=BC,
:.AH=BH=^AB,
•:CH=HE,AH=BH,
..•四边形。为平行四边形,
•:AC=BC,
四边形4砥?为菱形.
14.解:(
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