第七讲-弗赖登塔尔的数学教育理论

弗赖登塔尔的数学教育理论

生平及贡献弗赖登塔尔（HansFreudenthal，1905-1990年）,荷兰籍数学家和数学教育家,生于德国，是著名数学家布劳威尔的学生，

被称为“二十世纪数学教育之父”，曾任荷兰数学会的两届主席．1930年获柏林大学数学博士学位；1946年起任荷兰Utrecht大学教授；1951年起为荷兰皇家科学院院士；1967年当选为国际数学教育委员会主席；1971-1976年任数学教育研究所所长；1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国.主要工作1967年当选为国际数学教育委员会(ICMI)主席；

1969年召开了第一届国际数学教育大会（ICME）；提倡数学教育的科学研究；创办《数学教育研究》理论刊（EducationalStudiesinMathematics).主要数学教育论著：《作为教育任务的数学》；《除草与播种———数学教育学的序言》；《数学结构的教学法现象》；《数学教育再探———在中国的三次讲学》弗赖登塔尔的数学教育观情境问题是教学的平台数学化是数学教育的目标学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分“互动”是主要的学习方式学科交织是数学教育内容的呈现方式概括为：现实、数学化、再创造(1)何谓数学教育中的“现实”？数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.运用“现实的数学”进行教学时，必须明确数学的概念、数学的运算法则以及数学的命题，归根结底都是来自于世界的实际需要，是现实世界的抽象反映和人类经验的总结。数学研究的对象，是现实世界同一类事物或现象抽象而成的量化模式。社会需要的人才是多方面的，不同层次、不同专业所需要的数学知识不尽相同。如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？每个人的“数学现实”是一样的吗？

数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”。从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”。大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等。

数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。数学教学的本质就是培养学生从已有的“数学现实”发展到更高层次的“数学现实”。例：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等。

由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：

第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题。在这里，具体的现实问题起着核心作用。

(数学知识的简单应用)

第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题。这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用。

(生活数学的数学化)

第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来。

(数学问题的模型化)

综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。

(2)什么是“数学化”？

弗赖登塔尔认为，人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。数学化的对象：

数学本身——深化数学知识，或者使数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。现实客观事物——形成了数学概念、运算法则等。事实上，各门科学的发展都有数学化的功劳，正如苏联数学家格涅坚科所说，当今的世“不仅仅是科学在数学化，而且绝大多数实践活动也在数学化”，“我们的时代是数学化的时代”。

正如弗赖登塔尔所说：“数学教学必须通过数学化来进行”。在现实数学教育者的眼里，学习者从一个具体的情境问题开始到得出一个抽象数学概念的教育全过程就是数学化的过程，学生对数学的“再发现”就是“数学化”。需要强调的是，数学化是一个过程。在现代教育中，把数学化作为数学课本内容一部分，是使课本成为学生自己去“发现”一些已有数学结果的辅导书。比如：高等院校数学学院开设的数学建模等课程，将现实问题转化为数学问题进行思考，从而解决实际问题，以此来体现数学化。现实数学教育的数学化有两种形式：一是实际问题转化为数学问题的数学化，即发现实际问题中的数学成分，并对这些成分作符号化处理；二是从符号到概念的数学化，即在数学范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理。实际问题转化为数学问题的基本流程是：确定一个具体问题中包含的数学成分；建立这些数学成分与学生已知的数学模型之间的联系；通过不同方法使这些数学成分形象化、符号化和公式化；找出蕴含其中的关系和规则；考虑相同数学成分在其他数学知识领域方面的体现；作出形式化表述。从符号到概念的数学化的基本流程是：用数学公式表示关系；对有关规则作出证明；尝试建立和使用不同的数学模型；对得出的数学模型进行调整和加工；综合不同数学模型的共性，形成功能更强的新模型；用已知数学公式和语言尽量准确地描述得到的新概念和新方法；作一般化的处理、推广。(3)什么是“再创造”？学生“再创造”过程学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程，这是目前数学教育的一个重要的观点。特点：弗赖登塔尔的“再创造”强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并以为“做数学”是学生理解数学的重要条件。日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。他的著作多数根据自己研究上数学体会，以及观察儿童学习数学经历而写成，思辨性论述比较多。弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心是数学过程再现。这就要求老师设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些成果的；或者设想一个学生学习得到指导时，他是怎样发现的。教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学+数学例子”式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“再创造”、“思辨数学”等诸多特有的概念.每一个概念以及他的每一个想法，都值得我们去思考、去领悟、去实践……也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多.伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。

提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：

(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。

(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。

(3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。

弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实按照弗赖登塔尔“数学现实”思想,数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达到这个目的，作为老师，要加强数学史的学习，从这出发能更好的把握数学的逻辑；引入生活中的新鲜例子，了解他学科知识背景，并能从中抽象数学问题。数学教学中运用“数学现实”的关键点：要立足于学生现有的水平，并以超越学生现有水平为目的，使学生感觉到数学的有用之处(2)注重学生的数学化过程，提倡探究教学学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识的观点。那么数学课堂应以探究为主要任务，最终达到自主发现。(3)强调反思，提升学生思维能力