自动控制原理：时域分析 PPT

一、时域法的特点

(1)直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；

(2)可以提供系统时间响应的全部信息；

(3)求解系统输出的解析解，比较烦琐。§3.1线性定常系统的时域响应

控制系统的时域分析二、时域法常用的典型输入信号

对于一单输入单输出n阶线性定常系统三、线性定常系统的微分方程

系统在输入r(t)作用下，输出c(t)随时间变化的规律，即式(3-1)微分方程的解，就是系统的时域响应。四、线性微分方程的解

微分方程的解为

c(t)=c1(t)+c2(t)1、齐次微分方程的通解

（3-1）式经拉氏变换后的特征根方程为

设P1、P2、…Pn为特征方程的n个不等的特征根，则

若Pi为重根，则

若Pi为共轭复根，则2、非齐次微分方程的特解§3.2控制系统时域响应的性能指标一、控制系统的时间响应1、动态过程（响应）

指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态达到稳态前的响应过程，又称暂态(过渡）过程。2、稳态过程（响应）

指系统在典型输入信号作用下，当t→∞时，系统输出量的表现形式。稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度。

稳：(基本要求)系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置准:(稳态要求）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小快:(动态要求)过渡过程要平稳，迅速二、控制系统的时域指标1、稳态性能指标

系统在典型输入信号作用下，当t→∞时，系统输出响应的期望值与实际值之差，即2、动态性能指标设2．上升时间tr：

单位阶跃响应曲线从t=0开始第一次上升到稳态值所需要的时间。1．延迟时间td：

单位阶跃响应曲线从t=0开始上升到稳态值的50%所需的时间。3.峰值时间tp

单位阶跃响应曲线从t=0开始上升到第一个峰值所需要的时间。4.调整时间ts：

单位阶跃响应曲线进入允许的误差带（一般取稳态值附近±5%或±2%）并不再超出该误差带的最小时间。5.最大超调量Mp：

单位阶跃响应曲线的最大峰值与稳态值的差与稳态值之比，即6.振荡次数：

在调整时间ts内响应曲线振荡的次数。返回一、稳定性的概念

定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。§3.3

线性定常系统的稳定性说明

（1）稳定性是控制系统自身的固有特性，它取决于系统本身的结构、参数，与输入信号无关。

（2）对纯线性系统，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动消除后，系统都能以足够的准确度恢复到原始平衡状态，这种系统称为大范围稳定的系统。

如果系统受到外界扰动作用后，只有当初始偏差小于某一范围时，系统才能在消除扰动后，恢复到原始平衡状态，这种系统称为小范围稳定的系统

（3）控制理论中的稳定性均为自由振荡下的稳定性。二、线性定常系统稳定的充分必要条件

系统的初始偏差（初始状态）：

若系统稳定，则必有

若系统不稳定，则必有

n阶线性定常系统的微分方程

显然，只有当系统所有特征根Pi的实部均为负值，即系统的特征根均在s复平面的左半平面时，才有，系统才是稳定的。

否则，若特征根Pi中有一个或多个根具有正实部，则必有，系统是不稳定的。对于线性定常系统，下列命题等价:（1）系统稳定；（2）系统的脉冲响应最终收敛到零；（3）系统的所有特征根都具有负实部（即位于s平面虚轴左边）。

系统稳定的充分必要条件

系统所有特征根Pi的实部均为负值，或系统的特征根均在s复平面的左半平面内。三、劳斯判据

设n阶系统的特征方程为

D(s)=a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

将上式的系数排成下面的行和列，即为劳斯阵列(劳斯表)：sna0a2

a4a6……sn-1a1a3a5a7

……sn-2b1b2b3b4……sn-3c1c2c3c4……………s2f1f2s1g1s0h1——不求特征值，就能判别系统稳定性1、劳斯判据：

线性定常系统稳定的充要条件是：

（1）特征方程的各项系数都存在，且均为正；（全为负可化为全为正）

（2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。sna0a2

a4a6…sn-1a1a3a5a7

…sn-2b1b2b3b4…sn-3c1c2c3c4…………s2f1f2s1g1s0h1例3-1已知三阶系统特征方程为故得出三阶系统稳定的充要条件为：

a0>0,

a1>0,

a2>0,

a3>0,a1a2>a0a3

试写出系统稳定的充要条件解：列写劳斯表例3-2已知系统特征方程

劳斯表中第一列元素大于零，所以该系统是稳定的。这时，系统所有的特征根均处于s平面的左半平面。（2）列劳斯表：解：（1）特征方程中的系数全为正。试判别该系统的稳定性。课程回顾(1)1、稳态性能指标2、动态性能指标(1)延迟时间td(2)上升时间tr(3)峰值时间tp(4)调整时间ts(5)最大超调量Mp(6)振荡次数N课程回顾(2)3、系统稳定的充分必要条件

系统所有特征根Pi的实部均为负值，或系统的特征根均在s复平面的左半平面内。4、劳斯判据：

线性定常系统稳定的充要条件是：

（1）特征方程的各项系数都存在，且均为正；（全为负可化为全为正）

（2）劳斯表中第一列所有元素均大于零。说明

（1）若劳斯表中第一列各元素（系数）的符号有改变，则劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于该系统闭环极点（特征根）在s平面的右半平面上的数目，相应的系统是不稳定的。例题1已知系统特征方程试判别该系统的稳定性。解：（1）特征方程中的系数全为正。（2）列劳斯表：

劳斯表中第一列的元素符号改变了两次，因此该系统有两个具有正实部的特征根在s平面的右半平面上，系统是不稳定的。例3-3已知系统特征方程试判别该系统的稳定性。解：（1）特征方程中的系数全为正。（2）列劳斯表：

劳斯表中第一列各元素符号不全为正，系统不稳定。由于符号改变了两次，所以该系统有2个处于s右半平面的根。(2)为了简化计算，可用一个正数去除或乘某一整行，不会改变稳定性结论。

例如，在例1中，为了简化后面的计算劳斯表的第三行乘以2，第五行乘以9，劳斯表变为所得结论不变2、劳斯稳定判据的特殊情况(1)劳斯表中某一行的第一个元素（系数）为零，而该行其它元不为零。

——计算下一行第一个元素时将出现无穷大，以至劳斯表的计算无法进行。——解决办法：将0换成无穷小正数ε，继续计算…试判别该系统的稳定性。例3-5已知系统特征方程系统是不稳定的(2)劳斯表中某一行的元素全为零。

——这时系统在s平面上存在一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。

——解决办法：利用全零行的上一行中的各元素构造一个辅助方程，式中S均为偶数。将该辅助方程对S求导，用求导得到的方程中的各系数替代全零行中的各元素，然后继续列写劳斯表中其余各行。

——大小相等符号相反的实根或共轭虚根，可以由辅助方程求得。当某一行的第一个元素（系数）为零时，可采用（1）的方法列写其余各行。例2已知试判别该系统的稳定性。解：（1）特征方程中的系数全为正。（2）列劳斯表：S3行的各个元素都为零，为求出以后各行，可用s4行的各元素构造辅助方程（整行除2）用4和12替代s3行的各元素

劳斯表中第一列的各元素（系数）符号没有改变，故可以确定该系统在S右半平面没有根。但由于s3行全为零，系统有共轭虚根，系统处于临界状态——属于不稳定状态由辅助方程可求得共轭虚根：例3-7系统的特征方程为列劳斯表：

劳斯表中第一列元素符号改变一次，系统不稳定，且有一个S右半平面的根，由P(s)=0得四、赫尔维茨判据

设系统的特征方程式为

以特征方程式的各项系数组成如下行列式

赫尔维茨判据:系统稳定的充分必要条件是在a0>0的情况下，上述行列式的各阶主子式Δi均大于零，即

当系统特征方程的次数较高时，应用赫氏判据的计算工作量较大。对于n≤4的线性系统，其稳定的充分必要条件可简述为：n=2:特征方程的各项系数为正；n=3:特征方程的各项系数为正，△2=a1a2-a0a3〉0。n=4:特征方程的各项系数为正，△2〉0，以及△2〉a12a4/a3例3-8系统的特征方程为列出行列式Δ

由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：a0>0a1>0a2>0a3>0a1a2-a0a3>0或写成：例3-9二阶系统的特征方程为列出行列式Δ

由Hurwitz判据，系统稳定的充分必要条件为

a0>0a1>0a1a2>0

即二阶系统稳定的充分必要条件是特征方程式的所有系数均大于零。五、系统参数对稳定性的影响

按劳斯判据，要使系统稳定应有K>0，且30-K>0故其取值范围为

0<K<30例3-10确定使系统稳定的K值范围。解：系统的闭环传递函数为

列劳斯表：例3-11系统结构图如图所示，试分析参数K1，K2，K3和T对系统稳定性的影响。解:系统的闭环传递函数系统的特征方程为：

由于特征方程缺项，由劳斯判据知，不论K1，K2，K3和T取何值系统总是不稳定的，称为结构不稳定系统。

变结构后系统的闭环传递函数为

系统的特征方程为

列劳斯表：

系统稳定的充分必要条件为

即对于结构不稳定系统，改变系统结构后，只要适当选配参数就可使系统稳定六、相对稳定性和稳定裕量

闭环极点（特征根）处在S左半平面，系统是稳定的，否则不稳定

但是，如果特征根虽然处在S左半平面但很靠近虚轴，由于干扰存在，使得很靠近虚轴的根跑到右半平面，系统变得不稳定。

为保证系统稳定，且有良好的动态特性，系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离δ，δ称之为稳定裕量

虚轴左移一个距离δ，得新的复平面s1，即令s1=s+

δ或s=s1-

δ得到以s1为变量的新特征方程式D(s1)=0，利用代数判据判别新特征方程式的稳定性若新特征方程式的所有根均在s1平面的左半平面，则说明原系统不但稳定，而且所有特征根均位于-δ的左侧。例3-12

检验特征方程式是否有根在s右半平面，以及有几个根在