两个计数原理经典案例（共9张）

1.1.2两个计数原理(二)-----------经典案例联系：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题；区别：分类要做到“不重不漏”，各种方法是相互独立的，用任何一种方法都能完成这件事；分步要做到“步骤完整”，各个步骤都完成才能完成这修的事情．复习回顾题型一主客体须分清例1.有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，且每人参加的项数不限,有多少种不同结果？(3)每项竞赛只许一位学生参加，且每人至多参加一项,有多少种不同结果？解析:(1)学生可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于学生无条件限制，所以每位学生均有3个不同的机会．要完成这件事必须是每位学生参加的竞赛全部确定下来才行，因此需分四步．而每位学生均有3个不同机会，所以用分步乘法计数原理．故3×3×3×3＝34＝81(种)．题型一主客体须分清例1.有四位同学参加三项不同的竞赛．(1)每位学生必须参加且只能参加一项竞赛，有多少种不同结果？(2)每项竞赛只许一位学生参加，且每人参加的项数不限,有多少种不同结果？(3)每项竞赛只许一位学生参加，且每人至多参加一项,有多少种不同结果？(2)竞赛项目可挑选学生，而学生无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同学生中的一个．要完成这件事必须是每项竞赛所参加的学生全部确定下来才行，因此需分三步，用分步乘法计数原理．故4×4×4＝43＝64(种)．(3)竞赛项目可挑选学生,分成三步:4×3×2＝12(种)巩固练习解:(1)分三步,每位旅客有4种不同的住宿方法,由分步计数原理得共有4×4×4＝43(2)分四步,每封信有3种不同的投递法,由分步计数原理得共有3×3×3×3＝34

变式:将4封信投入3个邮筒,每个邮筒至少一封信,共有多少不同的投法?答案：36练设A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},从A到B共有多少种不同的映射?题型二染色问题例2

用5种不同颜色给下列图中四个区域涂色,每个区域涂一种颜色,若要求相邻(有公共边)的区域不同色,那么共有多少种不同的涂色方法?1234(1)(2)ABCD(3)共180种涂法共260种涂法共320种涂法(4)3412共320种涂法巩固练习ABCD1.A、B、C、D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2.如图所示,一环形花坛分成A,B,C,D四个区域,现有4种不同的花可供选种,要求在每个区域里种1种花,且相邻的2个区域种不同的花,问有多少种不同的种法?共48种共84种题型三错位问题

例3

同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方案有()(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种分析：不妨让甲乙丙丁四人写的卡片分别标上号码1，2，3，4，完成这件事情需要四个步骤：（1)不妨让甲先拿，有3种方法；（2）让甲拿的编号的人去拿，有3种方法；(3)(4)让剩下两个去拿各有1种方法，所以3×3×1×1=9种巩固练习将1，2，3，4填入标有1，2，3，4的四个方格里内(1)每格填一个数，共有多少种不同的填法？(2)每格填一个数,且每个方格所填入的数字与方格的标号都不同的填法有多少种？(1)4×3×2×1=24种(2)3×3×1×1=9种1234五、综合问题:1

若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?2、乘积展开后共有几项？3、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:由于75600=24×33×52×775600的每个约数都可以写成的形式,其中,

,

,

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,

第一类,m1=1×2=2条第二类,m2=1×2=2条第三类,m3=1×2=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？5、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（）对A.12B.24C.36D.48B

6.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,

第一类,由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=