材料力学：第八章-应力应变状态分析

第

8

章应力应变状态分析

平面应力\应变状态应力圆极值应力与主应力复杂应力状态的最大应力平面应变状态应变分析广义胡克定律本章主要研究内容§1

引言

实例

应力与应变状态

平面与空间应力状态微体A

应力与应变状态研究方法环绕研究点切取微体，因微体边长趋于零，微体趋于所研究的点，故通常通过微体，研究一点处的应力与应变状态研究目的研究一点处的应力、应变及其关系，目的是为构件的应力、变形与强度分析提供更广泛的理论基础构件内一点处所有微截面的应力总况或集合，称为该点处的应力状态应力状态应变状态构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合,称为该点处的应变状态

平面与空间应力状态仅在微体四侧面作用应力，且应力作用线均平行于微体的不受力表面－平面应力状态平面应力状态的一般形式微体各侧面均作用有应力－空间应力状态空间应力状态一般形式§2

平面应力状态应力分析

斜截面应力分析

例题

斜截面应力分析建立斜截面应力sa,

ta

与sx,

tx,sy,

ty

的关系问题：正负符号规定：

方位角a

－以x轴为始边、逆时针旋转为正

切应力t－使微体沿顺时针

旋转为正方位用a

表示；应力为

sa,

ta斜截面：//z

轴；斜截面应力公式推导设α斜截面面积为dA,则eb侧面和bf底面面积分别为dAcosα,dAsinα由于tx

与ty

数值相等，同时斜截面应力公式上述关系建立在静力学基础上，所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题斜截面应力公式任意两互相垂直截面的正应力之和为常数

例题例

2-1计算截面

m-m

上的应力解：正应力:拉正压负;切应力:使方块顺时针转动为正第

8

章应力应变状态分析

平面应力\应变状态应力圆极值应力与主应力复杂应力状态的最大应力平面应变状态应变分析广义胡克定律本章主要研究内容回顾

斜截面应力分析建立斜截面应力sa,

ta

与sx,

tx,sy,

ty

的关系问题：正负符号规定：

方位角a

－以x轴为始边、逆时针旋转为正

切应力t－使微体沿顺时针

旋转为正方位用a

表示；应力为

sa,

ta斜截面：//z

轴；回顾设α斜截面面积为dA,则eb侧面和bf底面面积分别为dAcosα,dAsinα回顾由于tx

与ty

数值相等，同时斜截面应力公式回顾上述关系建立在静力学基础上，所得结论既适用于各向同性与线弹性情况，也适用于各向异性、非线弹性与非弹性问题斜截面应力公式任意两互相垂直截面的正应力之和为常数回顾§3

应力圆

应力圆

应力圆的绘制与应用

应力圆应力圆移项圆心(),半径应力圆方程两等式两边平方后相加

应力圆方程的特点应力圆圆心(),半径应力圆方程应力圆方程仍成立(2)x,y截面的应力点连线过圆心(1)x,y截面是应力圆上的两点点和点的中点是,此2点之距是圆直径

应力圆方程的特点应力圆圆心(),半径应力圆方程(3)应力圆关于x轴对称,圆心在x轴上(切应力互等定理的体现)

利用直径端点确定应力圆方程圆心(),半径应力圆方程x截面和y截面的应力对应应力圆上D,E两点,D,E连线的中点为应力圆圆心,D,E两点距离即应力圆直径。x截面:y截面:圆心:

由应力圆反推斜面应力参数公式应力圆移项圆心(),半径应力圆方程两等式两边平方后相加由应力圆反推斜面应力参数公式

应力圆的绘制与应用:由x,y截面应力画应力圆已知sx,

tx,sy,画相应应力圆应力圆的绘制先确定D,E两点位置,过此二点画圆即为应力圆

应力圆的绘制方法(1):由x,y截面应力画应力圆应力圆绘制先确定D,E两点位置,过此二点画圆即为应力圆已知sx,

tx,sy,ty,画应力圆

应力圆的绘制方法(2):由垂直截面应力画应力圆应力圆绘制先确定D,E两点位置,过此二点画圆即为应力圆已知sa

,

ta,sa+90

,

ta+90

,画应力圆

应力圆的绘制方法(3):由主应力画应力圆应力圆绘制在水平轴上确定D,E两点位置,过此二点画圆即为应力圆已知主应力s1,

s2,画应力圆

应力圆的绘制方法(4):由2斜面应力画应力圆由|DC|=|CE|,可得sC值:应力圆绘制作D,E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心已知sa

,

ta,sb

,tb

,画应力圆点、面对应关系

转向相同，转角加倍

互垂截面，对应同一直径两端用应力圆求斜截面应力同理可证：

x截面法线(x轴)对应应力圆半径CD

左右两个平行截面相差180度，对应应力圆上同一点(2×180度)注意例

3-1利用应力圆求截面

m-m

上的应力解：1.画应力圆2.由应力圆求截面x:

点A(-100,-60);截面y:点B(50,60)由A点（截面x

）顺时针转60o至D点（截面m-m）

例题§4

极值应力与主应力

平面应力状态的极值应力

主平面与主应力

纯剪切与扭转破坏

主应力迹线

平面应力状态的极值应力极值应力的数值极值正应力:A,B点极值切应力:K,M点极值应力计算公式圆心半径半径极值应力的方位

最大正应力方位：

smax与smin所在截面正交

s极值与t极值所在截面,成夹角

主平面与主应力(类似单向应力状态)主平面－切应力为零的截面主应力－主平面上的正应力主应力符号与规定－相邻主平面相互垂直，构成一正六面形微体－主平面微体（按代数值,平面应力状态σ2=0）s1s2s3

单向应力状态：仅一个主应力不为零的应力状态

二向应力状态：两个主应力不为零的应力状态

三向应力状态：三个主应力均不为零的应力状态二向与三向应力状态，统称为复杂应力状态应力状态分类

纯剪切与扭转破坏纯剪切状态的最大应力滑移与剪断发生在tmax的作用面断裂发生在smax

作用面圆轴扭转破坏分析

例题解：1.解析法例4-1

用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位已知:2.图解法先画出应力圆,在圆上找出主应力大小与方位,并标在截面图上

主应力迹线－

主拉应力迹线－主压应力迹线钢筋主要沿主拉应力迹线排列梁截面上各点x截面和y截面应力σx=σ,σy=0,τx=τ,代入应力极值公式可得§5

复杂应力状态的最大应力

三向应力圆

最大应力

三向应力圆与任一截面相对应的点，位于应力圆上，或由应力圆所构成的阴影区域内主平面微体平面应力状态:

与主应力σ3平行的斜截面上的应力，位于σ1和σ2所确定的应力圆上三向应力状态:与主应力均不平行的斜截面上的应力，位于三圆所构成的阴影区域内(三向应力状态,所有斜截面的应力)

最大应力最大切应力位于与s1及s3均成45

的截面上xz面的应力点:C(sx,

0)

,

D(sz,0)

例题例

5-1已知

sx=80MPa，tx=35MPa，sy=20MPa，sz=－40MPa，求主应力、最大正应力与最大切应力解：画三向应力圆szsz三截面的应力点:(sx,

tx)

,

(sy,

-tx)

，(sz,0)§6

平面应变状态应变分析

平面应变状态

任意方位的应变

应变圆

最大应变与主应变

平面应变状态构件内一点处的变形均发生在同一平面内时的应变状态，称为平面应变状态定义：

任意方位的应变要求：已知应变ex,ey与gxy，求a方位的应变ea与ga

使左下直角增大之

g为正规定：

方位角

a

以x轴为始边，

为正方法：先分析ex,ey与gxy分别引起的变形,然后相叠加问题应变与位移分析(1)ex引起的斜对角线的线应变和角应变B''B'OB转角α角度的线段可能不在矩形对角线上,可将矩形上边下降使其成为新矩形的对角线,此时y方向的线应变仍保持原值不变(因其为比例值)(2)ey引起的斜对角线的线应变和角应变应变与位移分析B''B'OB转角(3)gxy引起的斜对角线的线应变和角应变应变与位移分析B''B'OB转角(1)(2)(3)应变与位移分析α方位线应变ea的参数方程(1)(2)(3)应变与位移分析OB转角(切应变)OD转角(切应变)α方位切应变ga的参数方程上述分析建立在几何关系基础上，所得各公式适用于任何小变形问题，而与材料的力学特性无关

一点处任意方位应变：

一点处互垂方位的应变：(类似剪应力互等定理,应力圆上关于水平轴上下对称)(应变圆上直径两端点连线中点为圆心)应变圆是否应力也有类似关系？

应变圆

最大应变与主应变所在方位切应变为零的正应变－主应变主应变位于互垂方位,主应变表示：e1

e2

e3§7

广义胡克定律

广义胡克定律（平面应力状态）（三向应力状态）

主应力与主应变的关系胡克定律（应力应变关系）回顾:

广义胡克定律（平面应力状态）适用范围：各向同性材料，线弹性范围内x方向y方向引起的正应变x方向y方向引起的正应变平面应变=正应力引起的正应变之和(切应力不引起正应变)适用范围：各向同性材料，线弹性范围内

广义胡克定律（三向应力状态）因切应力不引起正应变,故只考虑正应力引起的正应变之和

主应力与主应变的关系

主应变与主应力的方位重合

最大、最小主应变分别发生在最大、最小主应力方位

最大拉应变发生在最大拉应力方位如果s10，且因m<1/2，则

广义胡克定律平面应力状态三向应力状态主应力与主应变的关系小结

广义胡克定律平面应力状态三向应力状态主应力与主应变的关系小结

例题例

8-1已知如图x,y截面上的应力,及E

=

70

GPa,m=

0.33,求

e45。解：1.应力分析2.e45。计算思路:(1)用斜面应变参数公式或应变圆；(2)用胡克定律求斜面应变例

8-2

对于各向同性材料，试证明：证：1.据纯剪切斜截面应变公式求e45。2.据广义胡克定律求e45。3.比较纯剪切时主应力在45度方向,例

8-3边长a

=10

mm正方形钢块，置槽形刚体内，F

=

8

kN，m

=

0.3，求钢块的主应力

解：因二者均为压应力,故§8

电测应力与应变花

应力分析电测方法

应变花

应力分析电测方法构件表层应力一般情况(无表面外力时)要确定三未知应力，需贴三电阻应变

应变花三轴直角应变花三轴等角应变花§9

复杂应力状态下的应变能

应变能密度一般表达式

体应变

畸变能密度

应变能密度一般表达式单位体积内的应变能－应变能密度

体应变微体的体积变化率－体应变

畸变能