北师大版数学九年级上册 4.7 相似三角形中的对应线段之比

第四章图形的相似4.7

相似三角形的性质第1课时

相似三角形中的对应线段之比ACBA1C1B1问题1：△ABC与

△A1B1C1相似吗？ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成比例.△ABC∽△A1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何元素？高、角平分线、中线，周长、面积等高角平分线中线量一量猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟△ABC∽△A1B1C1CD和

C1D1分别是它们的高，你知道

等于多少吗？

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，它们对应边上的高的比各是多少？ABCA'B'C'合作探究相似三角形对应高的比等于相似比∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B'.解：如图，分别作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D'．

则∠ADB=∠A'D'B'=90°.

∴△ABD∽△A'B'D'.ABCA'B'C'D'D由此得到：相似三角形对应边上的高的比等于相似比．类似的，我们可以得到其余两组对应边上高的比也等于相似比．归纳总结1.△ABC∽

△A1B1C1，BD和

B1D1

是它们的中线，已知

，B1D1=4cm，则

BD=

cm.62.△ABC∽

△A1B1C1，AD和

A1D1

是

BC和

B1C1边上的高，已知

AB

=8cm，

A1B1=3cm，则

△ABC与

△A1B1C1

的对应高之比为

.8:3练一练3.如图、电灯

P

在横杆

AB的正上方，AB

在灯光下的影子为

CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点

P

到

CD

的距离是3m，则

P

到

AB

的距离是

m.PADBC241.5例1如图，AD是

△ABC的高，点

P，Q在

BC边上，点

R在

AC边上，点

S在

AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形

PQRS是正方形.(1)AE是

△ASR的高吗？为什么？(2)

△ASR与

△ABC相似吗？为什么？(3)求正方形

PQRS的边长.SRQPEDCBA典例精析解：

AE是

△ASR的高.

理由：∵AD是

△ABC的高，∴∠ADC=90°.∵四边形

PQRS是正方形，∴SR∥BC.∴∠AER=∠ADC=90°.

∴

AE是

△ASR的高.SRQPEDCBA(1)AE是

△ASR的高吗？为什么？是方程思想哦！解：∵△ASR∽△ABC，AE、AD分别是

△ASR和

△ABC对应边上的高，∴.设

PQ=

xcm，则

SR=DE=PQ=xcm，AE=(40-

x)cm.∴.解得：x=24.∴正方形

PQRS的边长为24cm.SRQPEDCBA(3)求正方形

PQRS的边长.BC=60cm，AD=40cm，四边形

PQRS是正方形.变式：如图，AD

是

△ABC

的高，点

P，Q

在

BC

边上，点

R

在

AC

边上，点

S

在

AB

边上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形

PQRS

的长是宽的2倍，你能求出这个矩形的面积吗？SRQPEDCBA如图，AD是

△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.设

SP=xcm，则

SR=2xcm.

得：

.

所以x=2，2x=4.

S矩形PQRS

=2×4=8cm2.解：情况一：SR=2SPSRQPEDCBA设

SR=xcm，则

SP=2xcm.

得：

.

所以x=2.5，2x=5.S矩形PQRS

=2.5×5=12.5cm2.原来是分类思想呀！情况二：SP=2SR如图，AD是

△ABC的高，BC=5cm，AD=10cm.SRQPEDCBA相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比问题：把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？

图中

△ABC和

△A′B′C′

相似，AD、A′D′

分别为对应边上的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ABCDEA'B'D'C'E'ABCDEA'B'D'C'E'验证猜想1已知

△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，

求证：证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴

∠A′B′C′

=∠ABC，

．又∵AD，AD′分别为对应边的中线，∴BC=2BD.

∴△ABD∽△A′B′D′.由此得到：

相似三角形对应边上的中线的比也等于相似比．同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应角的角平分线的比等于相似比．归纳总结证明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A′B′C′

=∠ABC，∠B′A′C′

=∠BAC．又∵AD、AD′分别为对应角的角平方线，∴∠ABE

=∠A′B′E′.

∴△ABE∽△A′B′E′.ABCDEA'B'D'C'E'验证猜想2已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，即

求证：

相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比．归纳总结例2两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm和8cm，如果它们对应的两条角平分线的和为42cm，那么这两条角平分线的长分别是多少？解：设较短的角平分线长为

xcm，则由相似性质有解得

x＝18.较长的角平分线长为24cm.故这两条角平分线的长分别为18cm，24cm.3.两个相似三角形对应中线的比为

，则对应高的比为______.2.相似三角形对应边的比为2:3，那么对应角的角平分线的比为______.2:31.两个相似三角形的相似比为，则对应高的比为________，则对应中线的比为_________.解：∵△ABC∽△DEF，

解得

EH

＝3.2cm.答：EH

的长为

3.2cm.AGBCDEFH4.已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是∠ABC和∠DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求

EH的长.5.如图，AD是

△ABC的高，AD=h，点

R在

AC边上，点

S在

AB边上，SR⊥AD，垂足为

E.当时，求

DE的长.如果

呢？∴△ASR∽△ABC.

解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，

∴SR∥BC.

∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.

BAERCDS当时，即

解得：当时，选做题：6.一块直角三角形木板的一条直角边

AB长为1.5m，面积为1.5m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！7.AD是

△ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.相似三角形的性质相似三角形对应边上高的比等于相似比相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比相似三角形对应边上的中线的比等于相似比优质教学资源合集

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相似三角形的性质第2课时

相似三角形的周长和面积之比问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ABCA1B1C1问题引入相似三角形周长比等于相似比问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，它们都相似吗？（都相似）(1)(2)(3)123(1)与(2)的相似比=______,(1)与(2)的周长比=______，(1)与(3)的相似比=______,(1)与(3)的周长比=______.有什么规律吗？结论：相似三角形的周长比等于______．相似比1:21:21:31:3证明：设△ABC∽

△A1B1C1，相似比为

k，求证：相似三角形的周长比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么证明这一结论呢？相似三角形周长的比等于相似比.归纳总结相似三角形的面积比等于相似比的平方问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形，回答以下问题：123（1）（2）（3）(1)与(2)的相似比=______，(1)与(2)的面积比=______，(1)与(3)的相似比=______，(1)与(3)的面积比=______，1:21:41:31:9结论：相似三角形的面积比等于____________．相似比的平方ABCDA′B′C′D′想一想：怎么证明这一结论呢？证明：设

△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，如图，分别作出

△ABC和

△A′B′C′

的高AD和A′D′.∵△ABD和

△A′B′D′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.∵△ABC∽△A′B′C′.相似三角形的面积比等于相似比的平方.归纳总结1.已知

△ABC与

△A′B′C′的相似比为2:3，则对应边上中线之比

，面积之比为

.

2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为______.1:32:34:9练一练例1将△ABC

沿

BC

方向平移得到△DEF，△ABC

与

△DEF

重叠部分的面积是△ABC

的面积的一半.已知

BC

=2，求

△ABC

平移的距离.

ABCDEF解：根据题意，可知

EG∥AB.

∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC.

即，△ABC平移的距离为GABCDEF例2

如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为，求△DEF的面积和△DEF边EF上的高.解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比为1:2.∴∵△ABC的边BC上的高为6，△ABC的面积为，∴△DEF的边EF上的高为×6=3，△DEF的面积为ABCDEF

如果两个相似三角形的面积之比为2:7，较大三角形一边上的高为7，则较小三角形对应边上的高为______.

练一练例3

如图，D，E分别是

AC，AB上的点，已知

△ABC的面积为

100cm2，且

，求四边形BCDE的面积.

BCADE∴△ADE∽△ABC.∵它们的相似比为3:5，∴面积比为9:25.解：∵∠BAC=∠DAE，且

又∵△ABC的面积为100

cm2，∴△ADE的面积为36cm2.∴四边形BCDE的面积为

100－36=64(cm2).

如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，EF∥AB.当D点为AB中点时，求S四边形BFED

:S△ABC的值.ABCDFE练一练解：∵DE∥BC，D为AB中点，∴△ADE∽△ABC

.

∵相似比为1:2，∴面积比为1:4.

∴ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比为1:2，面积比为1:4.设S△ABC

=4，则S△ADE=1，S△EFC

=1.S四边形BFED

=S△ABC－S△ADE－S△EFC

=4－1－1=2.∴S四边形BFED

:S△ABC=2:4=1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍()√×3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ

的值为

()A．2B．4C．1D.C4.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长____cm，面积为cm2.14____5.如图，这是圆桌正上方的灯泡(点

A)发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，