抛物线及其标准方程+课件【知识专讲精研】高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.1抛物线及其标准方程理解并掌握抛物线的定义，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次。掌握抛物线的标准方程，达到逻辑推理和直观想象核心素养学业质量水平二的层次。能根据抛物线的标准方程写出焦点坐标、准线方程，并会画出图形，达到数学运算和直观想象核心素养学业质量水平二的层次。温故知新1、求曲线方程的步骤建系——设点——列式——化简2、椭圆的定义3、椭圆的基本方程到平面上两定点F1，F2的距离之和（大于|F1F2|）为常数的点的轨迹

温故知新4、双曲线的定义5、双曲线的基本方程

环节一抛物线的定义思考1：椭圆和双曲线都是到两个定点的距离之间的关系，如果现在有一个定点和一条直线，如一个点到这个定点和这条直线的距离相等，会形成什么图形吗?1、抛物线的定义如图，在黑板上固定直尺，然后找一根跟三角板直角边相同长度的拉链，将一边固定贴紧直角边，另一边的一端固定在定点上，在拉链头处放一只笔，拉动拉链，观察拉链头形成的轨迹。思考2：这个图形跟我们之前学的哪个函数图像比较像?1、抛物线的定义二次函数的抛物线思考3：在上面的作图过程中，你发现什么是固定不变的？点到定点和到直线的距离一直都相等思考4：你认为可以怎样定义抛物线呢？抛物线：设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线1、抛物线的定义思考5：为什么要求定直线经过定点呢？形成的图像为过定点F且垂直定直线的直线。1、抛物线的定义思考6：如图D、E、F、G分别为四个圆的圆心，这四个点的轨迹是个什么图形呢?抛物线。在平面内，到直线x＝－2与到定点P（2，0）的距离相等的点的轨迹是什么？例1抛物线例2解析：若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线.故应为必要条件但不是充分条件.在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的（B）A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件B

环节二抛物线的方程思考1：如何求曲线的标准方程呢?2、抛物线的方程建系——设点——列式——化简思考2：椭圆、双曲线如何建系的，抛物线可以这样建立坐标系吗?利用对称性建立坐标系追问1：抛物线一个轴对称图形吗？对称轴是什么呢？抛物线是关于经过定点且垂直于定直线的直线对称的轴对称图形。追问2：抛物线是一个中心对称图形吗？对称中心是什么呢？抛物线不是中心对称图形。思考3：利用抛物线的对称性进行建系，应该怎么建系？2、抛物线的方程思考4：如果我把定点到定直线的距离定义为p,以下图为例，你能写出定点的坐标和定直线的方程？

思考5：取抛物线上任意一点为P，定点为F，作P到定直线的垂线，垂足为C，你能列出等量关系吗？PF=PC2、抛物线的方程2、抛物线的方程

两边同时平方后化简为y²=2px(p>0)思考7：那么其他三种建系方法，抛物线的方程是什么呢？思考6：如何表示出上述的式子？2、抛物线的方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px（p＞0）y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）

思考7：如何确定图像的开口？y2＝2px（p＞0）2、抛物线的方程思考7：如何确定图像的开口？焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．例：写出下列图像的开口（1）y2=4x（2）y=4x2（3）-y=4x2（4）y2=-4x

x正

y正

y负

x负2、抛物线的方程思考8：一次项系数和焦点非零坐标之间有什么关系？一次项系数是准线方程中数字的-4倍思考9：一次项系数和准线方程中数字之间有什么关系？一次项系数是焦点坐标的4倍思考10：椭圆和双曲线都有统一格式，抛物线有统一格式吗？y2＝－2px（p＞0）x2＝2py（p＞0）x2＝－2py（p＞0）y2＝2px（p＞0）y2＝mxx2＝ny标准方程标准方程焦点坐标准线方程x2＝4yx2＝－6y

y2＝

4xy2＝－2x例1抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是（C）A.1B.2C.4D.8解析：由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.故选C.抛物线x＝4y2的准线方程是（C）A.y＝B.y＝－1C.x＝－D.x＝

CC例2环节三求抛物线的方程例

1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为（－2，0）；（2）准线为y＝－1；

例

1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（3）过点A（2，3）；

例

1

解析：（5）令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为（0，－5）或（－15，0）.故所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

例

2环节四抛物线的轨迹方程

平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.解答

方法一（直接法）设点P的坐标为（x，y），

∴动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.例

1

平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程.例

1方法二（定义法）由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点都符合题意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）的距离与点P到直线x＝－1的距离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）.抛物线的定义抛物线的标准方程抛物线的统一格式抛物线：设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等