相似三角形的性质【全国一等奖】

25.5相似三角形的性质复习相似三角形的识别方法相似三角形的识别方法有哪些？证二组对应角相等证三组对应边成比例证二组对应边成比例，且夹角相等相似三角形的特征1.你知道相似三角形的特征是什么吗？角：对应角相等边：对应边成比例2.什么是相似比？相似比=对应边的比值=

如右图，△ABC∽△A′B′C′如图25-5-1，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k.AD与A’D’,AE与A’E’分别为BC，B’C’边上的高和中线，AF与A’F’分别为<ABC和<A’B’C’的平分线.AD与A’D’的比与相似比之间有什么样的关系？请说明理由.AE与A’E’的比，AF与A’F’的比分别于相似比有什么关系？请说明理由.事实上，两个相似三角形的对应高、对应中线和对应角平分线的比都等于他们的相似比.下面，我们证明相似三角形对应高的比等于他们的相似比.那么D′C′DABCA′B′△ABC∽△A'B'C'AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，设相似比为k,则:┓┓那么相似三角形对应高的比等于相似比．你能有条理地表达理由吗？结论：相似三角形对应高的比等于相似比D'A'B'C'DABC那么△ABC∽△A'B'C'AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，设相似比为k,则:那么说明道理?结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比那么△ABC∽△A'B'C'AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，设相似比为k,则:那么DABCD'A'B'C'你能有条理地表达理由吗？结论：相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形周长的比等于相似比。已知：求证：∽△△证明：∽△△∵∴∴(相似三角形对应边成比例)(等比性质)ACBB′A′C′相似三角形面积的比等于相似比的平方。已知：求证：∽△△ABCA′B′C′DD′证明：分别过A、A′，作AD⊥BC于D，∴∵∽△△∴∴(相似三角形对应边成比例)

例1：已知：，它们的周长分别 为60cm和72cm，且AB=15cm，∽△△=24cm。求：BC、AC、、ABC解：∵∽△△∴（相似三角形周长的比等于相似比）∵AB=15cm，∴∴=18cm，BC=20cm∴AC=60－15－20=25cm=72－18－24=30cm

例2：如图所示，D、E分别是AC、AB上的点，ABCDE已知△ABC的面积为，求四边形BCDE的面积。解：∵，∠A=∠A∴∽△△∴（相似三角形面积的比等于相似比的平方）∴∵∴∴∴(两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似)例题1如图25-5-2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD与点E，F，G，AE/AB=3/5，AD=15.求AG的长.例题2如图25-5-4，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，求：△DEF的周长与△ABC的周长之比△DEF的面积与△ABC的面积之比课堂练习1.两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为

，对应边上的高之比为

，对应边上的中线比为

，对应角的角平分线比为

。2.两个相似三角形对应角的角平分线比为1:4，可直接得到对应边上的高之比为

，对应边上的中线比为

。3.△ABC的三边分别为3、4、5，△A′B′C′的三边长分别为12、16、x,则x=

。3:53:53:53:51:41:420

BACK4.两个相似三角形对应边比为3:5，那么相似比为

，周长比为

，面积比为

。3:59:253:55.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.相似相似比为2:1面积比为4:1

1.把一个三角形变成和它相似的三角形，则如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为原来的_____________倍；

如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的_______________倍。强化练习1000010BACK←→

2.已知△ABC∽△A′B′C′，AC:A′C′=4:3。

（1）若△ABC的周长为24cm，则△A′B′C′的周长为

cm；

（2）若△ABC的面积为32cm2

，则△A′B′C′的面积为

cm2。18183.三角形的一条中位线把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长之比等于________，面积之比等于________。1:21:44.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是，则较小三角形的周长为________cm,面积为____。1445、已知：如图△ABC中，DE∥BC，AF⊥DE垂足为F，AF交BC于G。若AF=5，FG=3，则AFEDBCGHNMFEDCBA6、如图在ABCD中，E是BC的中点，F是BE的中点，AE与DF交于点H，过点H作MN⊥AD，垂足为M，交BC于N，则NH:MH=______。585825641:4计算：已知：∽△△，它们的周长分别为144cm和120cm，且BC=48cm，1、ADCB△已知：如图，RtABC，CD为斜边AB上的高，求：2、思考题：ABDCE

在△ABC中，BC=m，DE∥