2023学年完整公开课版正弦和余弦

4.1正弦与余弦（1）分析由题意，△ABC是直角三角形，其中∠B=90º，∠A=65º，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？北东上述问题就是：知道直角三角形的一个为65º的锐角和这个锐角的对边长度，想求斜边长度，为此，可以去探究直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值有什么规律？65ºABC

一艘帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，探究帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m）每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65º，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算：的值，结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91．做一做与同桌和邻近桌的同学交流，计算出的比值是否相等（精确到0.01）？结论证明已知：任意两个直角三角形△DEF和△D'E'F'，∠D=∠D'=65º，∠E=∠E'=90º求证：DEFD'E'F'∵∠E=∠E'

=90º，∠D=∠D'=65º，∴△DEF∽

△D'E'F'

．∴证明：因此在有一个锐角为65º的所有直角三角形中，65º角的对边与斜边的比值是一个常数．于是EF·

D'

F'＝E

F

·D'F

'．∴解决问题现在解决帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题．解

在直角三角形ABC中，BC=2000m

，∠A=65º，解得

在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作:类似地可以证明：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值为一个常数．即:定义1．在直角三角形ABC中，∠C=90º，BC=3，AB=5．（１）求∠A的正弦；（２）求∠B的正弦．（１）∠A的对边BC=3，斜边

AB=5．于是（２）∠B的对边是AC．根据勾股定理，得于是

AC=4．因此CAB35例题解动脑筋如何求sin45°的值？如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.于是∠B=45°.从而AC=BC．根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是AB=BC.因此动脑筋如何求sin60°的值？如图所示，构造一个Rt△ABC

，使∠B=60°，则∠A=30°，从而.根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此举例例2计算：sin230°-sin45°+sin260°sin230°-sin45°+sin260°解sin230°.我们把（sin30°）2简记为在直角三角形中，小结在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有什么关系？说一说4.1正弦与余弦（2）△ABC和

△DEF都是直角三角形，它们都有一个锐角等于α，即∠D=∠A=α．在Rt△ABC中，∠A的相邻的直角边（简称邻边）为AC，斜边为AB；在Rt△DEF中，∠D的邻边为DF，斜边为DE．问成立吗？FEDαBCAα∠B=90°－α＝∠E，AC是∠B的对边，DF是∠E的对边，依据正弦定理结论成立探究分析在直角三角形中，锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦，记作这证明了：在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值等于角90°－α的对边与斜边的比值．根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有定义3．求，，的值．例题举例解例4计算：1．在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=5，AB=7．求，的值．2．在Rt△ABC中，∠C=90º，AC=，AB=3．求，，的值．3．对于任意锐角α，都有你能说出道理吗？0＜＜1BCABCA∵AC＜AB∴0＜＜1．练习答案：答案：答案：4．求下列各式的值（１）（３）（２）（１）（２）（３）解考虑对于任意角α是不是总有1．在Rt△ABC中，∠C=90º，BC=5，AB=6．求，