（信号与系统课程）第七章 离散系统的时域分析：第2讲

第七章第2讲1系统模拟延时器模拟单元：一阶系统D或：

D-a第七章第2讲2系统模拟举例可写为：

D-3差分方程为：D-23D第七章第2讲3移位算子及其应用算子q

表示将序列向前(左)移一个时间间隔的运算

qf

(k)=f

(k+1),q2f

(k)=f

(k+2),…..算子q-1

表示将序列向后(右)移一个时间间隔的运算

q-1f

(k)=f

(k-1),q-2f

(k)=f

(k-2),…..差分方程的算子形式或：转移算子对于因果系统，只能有m

n，其中D(q)=0为差分方程的特征方程，其根称为差分方程的特征根，也称系统的自然频率或固有频率。第七章第2讲4系统模拟举例（用算子方法）用算子表示为：

D-3差分方程为：D-23令：

显然，此模拟图只用了两个延时器。第七章第2讲5§3差分方程的经典解法全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。用初始值确定系数Ci。一般情况下，n阶方程有n个常数，可用n个初始值确定。第七章第2讲6例1描述某线性非移变系统的差分方程为试求：当初始状态为y(-1)=0,y(-2)=½时，求全响应。解：(1)求齐次解，特征根为：(2)求特解：设特解为：将yp(k)代入原差分方程，得：解得：第七章第2讲7例1(3)用初始值求常数：全响应为：将初始条件代入上式，得：解得：故，全响应为：自由响应强迫响应差分方程的经典解法与微分方程的经典解法类似！第七章第2讲8全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应的求法与齐次解一样。

i---特征根，Ci由初始值确定。零状态响应的求法与解非齐次方程一样。零输入响应的一般形式：设系统为零输入时f(k)=0，即D(q)y(k)=0特征方程为：D(q)=0第七章第2讲9零输入响应的一般形式若无重根：若有d

阶重根，即特征根为复根：返回第七章第2讲10重新计算例1描述某线性非移变系统的差分方程为试求：当初始状态为y(-1)=0,y(-2)=½时，求全响应。解：(1)零输入响应：(2)零状态响应：已求出特解已知：，代入原方程可求得：C1=1，C2=-2已知，代入原方程可求得：(3)全响应：零输入响应零状态响应第七章第2讲11例2求差分方程所描述的离散时间系统的零输入响应。解：特征根为：查公式故代入初始值：代入初始值：解得：C1=0，C2=1第七章第2讲12离散系统的初始状态离散系统初始状态的概念正如连续系统中0+和0-初始值不同一样，离散系统的初始值也有两个，即零输入初始值yzi(0)和系统的初始值y(0)。yzi(0)表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，它与系统的激励信号无关。是系统的初始储能、历史的记忆。是系统真正的初始状态。y(0)表示系统在有了激励信号之后系统的初始条件，它既有零输入时初始状态（初始储能），又有激励信号的贡献。在离散系统中，几个初始值的关系为：

y(0)=yzi(0)+yzs(0),

yzs(0)表示零状态的初始值，它仅由激励信号产生。第七章第2讲13后向差分方程的初始状态对于后向差分方程，如当f

(k)在k=0时刻作用于系统时，系统的初始状态为而当f

(k)在k=-1时刻作用于系统时，系统的初始状态为而k=-1,-2时激励为零，两个初始值相同。k=0时激励已加入系统，两个初始值显然不相同。第七章第2讲14前向差分方程的初始状态对于前向差分方程，如当f

(k)在k=0时刻作用于系统时，令k=-1,0,则分别有而这说明y(1),y(0),y(-1)与激励无关。系统的初始状态为而当f

(k)在k=-1时刻作用于系统时，令k=-2,-1,则分别有这说明y(0),y(-1),y(-2)与激励无关。系统的初始状态为第七章第2讲15初始状态的应用在求零输入响应时，应采用零输入初始值yzi(0)。若系统给出的初始值是y(0)，要判断并找出yzi(0)。在求零状态响应时，所谓零状态是指系统的初始储能为零，即yzi(0)=0，而不是y(0)=0。在求全响应时，用初始条件确定常数，采用y(0)。若系统给出的初始值是yzi(0)，要先求出yzs(0)，再根据y(0)=yzi(0)+yzs(0)计算。第七章第2讲16例3求差分方程所描述的离散时间系统的零输入响应。查公式故题中所给的f

(k)是在k=2时刻作用于系统，故系统的初始状态应为y(0),y(1)，即初始值为yzi(0)=y(0)＝15，yzi(1)=y(1)＝9代入初始值：C1+C2=15½C1+C2/3=9解得：C1=24,C2=-9解：特征根为：第七章第2讲17例4求差分方程所描述的离散系统的零输入响应。查公式故题中所给的f

(k)是在k=0时刻作用于系统，故系统的初始状态应为y(-1),y(-2)，令原方程的k=1:y(1)+3y(0)+2y(-1)=f

(1)+f

(0),故有：y(-1)=-½令原方程的k=0:y(0)+3y(-1)+2y(-2)=f

(0)+f

(-1),故有：y(-2)=5/4即初始值为yzi(-1)=y(-1)＝-1/2，yzi(-2)=y(-2)＝5/4代入初始值：-C1-C2/2=-1/2C1+C2/4=5/4解得：C1=2,C2=-3解：特征根为：第七章第2讲18这说明y(3)值与外加激励有关，是由激励与零输入初始条件共同引起的，不能用它来确定零输入响应。例5求差分方程所描述的离散时间系统的零输入响应。解：特征根为：-2（三重根）查公式故令原方程中k=-1，得:y(2)+6y(1)+12y(0)+8y(-1)=(-1)=0代入初始值：C1=0-2C1-2C2-2C3=14C1+8C2+16C3=2解得：C1=0,C2=-5/4,C3=3/4这说明y(2),y(1),y(0),y(-1)与外加激励无关，是零输入初始值。令原方程中k=0,得:y(3)+6y(2)+12y(1)+8y(0)=1,可得：y(0)=0题中所给的初始值是由外加