福建省三明一中高一下学期第一次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省三明一中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题(每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．）1．直线y+2=k（x+1)恒过点（）A．（2，1） B．（﹣2,﹣1） C．(﹣1，﹣2） D．（1,2）2．下列命题正确的是（）A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面C．两两平行的三条直线一定确定三个平面D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线3．若a，b,c都大于0，则直线ax+by+c=0的图象大致是图中的（）A． B． C． D．4．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9π B．10π C．11π D．12π5．如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′=6，O′C′=2,则原图形是（）A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形6．设l为直线，α,β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（)A．若l∥α,l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥β D．若α⊥β,l∥α,则l⊥β7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD,且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A． B． C． D．9．已知两点A（﹣3，4），B（3，2），过点P(1，0）的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1)∪（1，+∞） C．［﹣1，1] D．(﹣∞,﹣1］∪［1，+∞）10．如图，在四形边ABCD中,AD∥BC，AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD,构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是(）A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC11．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（）A．96 B．16 C．24 D．4812．如右图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（)A．120° B．60° C．75° D．90°二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的位置上）．13．直线的倾斜角为．14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为．15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨"题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）16．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC，CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤)17．三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7),C（0，3）．（1）求AC边所在的直线方程;（2）求AC边上的高所在的直线方程；（3）求经过两边AB和BC中点的直线的方程．18．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体，如图所示，设这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，底面的面积为A．（1）求面积A以x为自变量的函数式；(2）求截得长方体的体积的最大值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．(1）证明：PB∥平面ACM；(2）证明:AD⊥平面PAC．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1）平面EFG∥平面ABC；（2)BC⊥SA．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．(Ⅰ）证明：平面EAC⊥平面PBD;（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱锥P﹣EAD的体积．22．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（1）求二面角A﹣BE﹣F的大小；（2）当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?

2016—2017学年福建省三明一中高一（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的．)1．直线y+2=k（x+1）恒过点（）A．（2，1） B．（﹣2，﹣1) C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）【考点】恒过定点的直线．【分析】直接由直线的点斜式方程可得．【解答】解：∵直线y+2=k(x+1），∴由直线的点斜式方程可知直线恒过点（﹣1，﹣2)．故选：C．2．下列命题正确的是（）A．四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形B．一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面C．两两平行的三条直线一定确定三个平面D．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线【考点】平面的基本性质及推论．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A,四条线段顺次首尾连接,可以是空间四边形，不正确;对于B，一条直线和两条平行直线都相交，则三条直线共面，根据公理3的推理,可知正确;对于C，两两平行的三条直线一定确定一个或三个平面，不正确；对于D，和两条异面直线都相交的直线是异面直线或相交直线，不正确，故选B．3．若a,b,c都大于0，则直线ax+by+c=0的图象大致是图中的（)A． B． C． D．【考点】直线的一般式方程．【分析】直线ax+by+c=0化为：y=﹣x﹣．可得a，b，c都大于0,可得﹣＜0，﹣＜0．即可得出．【解答】解：直线ax+by+c=0化为：y=﹣x﹣．∵a，b,c都大于0,∴﹣＜0，﹣＜0．∴直线ax+by+c=0的图象大致是图中的D．故选：D．4．如图是一个几何体的三视图,根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9π B．10π C．11π D．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，依次求表面积即可．【解答】解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面为S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故选D．5．如图所示,矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图,其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形是（）A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二测画法的原则：平行于坐标轴的线段依然平行于坐标轴,平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的线段长度减半可判断原图形的形状．【解答】解：∵矩形O’A'B'C’是一个平面图形的直观图，其中O'A’=6，O’C'=2，又∠D′O′C′=45°,∴O′D′=，在直观图中OA∥BC,OC∥AB,高为OD=4，CD=2,∴OC==6．∴原图形是菱形．故选C．6．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α,l∥β,则α∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可判断A；根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征，可判断B；根据线面平行的性质定理，线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C；根据面面垂直及线面平行的几何特征，可判断D．【解答】解：若l∥α,l∥β,则平面α，β可能相交，此时交线与l平行，故A错误；若l⊥α，l⊥β，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得B正确；若l⊥α，l∥β，则存在直线m⊂β，使l∥m，则m⊥α，故此时α⊥β,故C错误；若α⊥β，l∥α,则l与β可能相交，可能平行，也可能线在面内，故D错误;故选B7．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD，且PA=，则PC与平面ABCD所成角的大小为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】直线与平面所成的角．【分析】连接AC,则∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．求出AC即可得出tan∠PCA,从而得出答案．【解答】解:连接AC，∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角．∵底面ABCD是边长为1的正方形，∴AC=．∴tan∠PCA==．∴∠PCA=60°．故选：C．8．半径为R的半圆卷成一个圆锥,圆锥的体积为（）A． B． C． D．【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台）．【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥,则圆锥的母线长为R，底面半径r=,求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥,则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR,即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选:C9．已知两点A（﹣3,4），B（3，2），过点P（1,0）的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．（﹣1，1） B．(﹣∞，﹣1）∪（1，+∞) C．[﹣1，1］ D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞)【考点】直线的斜率．【分析】根据两点间的斜率公式,利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【解答】解:∵点A(﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0)的直线L与线段AB有公共点,∴直线l的斜率k≥kPB或k≤kPA,∵PA的斜率为=﹣1，PB的斜率为=1，∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1,故选：D10．如图,在四形边ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°,∠BAD=90°．将△ADB沿BD折起,使CD⊥平面ABD，构成三棱锥A﹣BCD．则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论正确的是（）A．AD⊥平面BCD B．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABC D．平面ADC⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】由题意推出CD⊥AB,AD⊥AB，推出AB⊥平面ADC，可得平面ABC⊥平面ADC．【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD又平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB故AB⊥平面ADC,所以平面ABC⊥平面ADC．故选D．11．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是（)A．96 B．16 C．24 D．48【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】关键题意,球的直径等于棱柱的高，球的大圆是正三棱柱底面三角形的内切圆,由此求出边长与棱柱的体积．【解答】解:由球的体积公式，得πr3=，∴r=2，∴正三棱柱的高为h=2r=4；设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为:r=OD=AD=×a=2,如图所示解得a=4；∴该正三棱柱的体积为：V=S底•h=•a•a•sin60°•h=•(4)2•4=48．故答案为：D．12．如右图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于（)A．120° B．60° C．75° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题,建立空间坐标系，给出有关点的坐标，求出直线的GF、C1E与AB的方向向量，利用夹角公式求线线角的余弦值即可．【解答】解:建立坐标系如图，B（2，0，0)，A（2，2，0），G（0，0，1），F(1，1，0），C1(0，0，2），E（1，2，1）．则=（0，2,0），=（1，1，﹣1），=（1，2,﹣1），∴cos＜，＞=,cos＜，＞=，∴cosα=，cosβ=，sinβ=,∴α+β=90°,故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请把答案填在答题卷相应的位置上)．13．直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线的倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，π)，即可得出．【解答】解：设直线的倾斜角为α，则tanα=，α∈[0，π），∴α=．故答案为．14．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为48．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，长方体的长宽高分别为3,4，4，即可求出长方体的体积．【解答】解：由题意，长方体的长宽高分别为3,4，4，所以长方体的体积为3×4×4=48．故答案为4：8．15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸,高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．16．如图,在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC,CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是[］．．【考点】直线与平面平行的性质．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N,连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF,又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF,又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF,∵P是侧面BCC1B1内一点,且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理,在Rt△A1B1N中,求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN,此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[］．故答案为：[］．三、解答题(本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）17．三角形的三个顶点是A(4,0)，B（6，7），C（0，3）．（1）求AC边所在的直线方程；（2）求AC边上的高所在的直线方程；（3）求经过两边AB和BC中点的直线的方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】(1）根据截距式求解或求解出斜率，利用点斜式求解即可．（2）根据高所在的直线方程的斜率与AC乘积为﹣1，利用点斜式求解即可．(3）因为经过两边AB和BC中点的直线平行于AC,故可设所求直线方程，利用中点坐标求解即可．【解答】解:法一：(1）由A（4，0），C（0，3）．可得AC边所在的直线方程是：即3x+4y﹣12=0．(2）由（1)可设AC边上的高所在的直线方程为4x﹣3y+C=0又∵AC边上的高经过点B(6,7），∴4×6﹣3×7+C=0解得：C=﹣3，故AC边上的高所在的直线方程是4x﹣3y﹣3=0（3）∵经过两边AB和BC中点的直线平行于AC，∴可设所求直线方程为3x+4y+m=0．由已知线段AB的中点为(5,)∴3×5+4×+m=0．解得：m=﹣29故经过两边AB和BC中点的直线方程为3x+4y﹣29=0．法二：（1）由已知又直线AC过C（0，3），故所求直线方程为：y=即3x+4y﹣12=0．（2）因为AC边上的高垂直于AC，（1)由已知∴高所在的直线方程斜率为又AC边上的高过点B（6，7），故所求直线方程为y﹣7=(x﹣6)故AC边上的高所在的直线方程是4x﹣3y﹣3=0（3）因为经过两边AB和BC中点的直线平行于AC，由(1）得∴所求直线的斜率为．由B（6,7)，C(0，3），可得线段BC的中点为(3，5）故所求直线方程为y﹣5=（x﹣3）故经过两边AB和BC中点的直线方程为3x+4y﹣29=0．18．将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体,如图所示，设这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，底面的面积为A．(1)求面积A以x为自变量的函数式；（2）求截得长方体的体积的最大值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;基本不等式．【分析】(1）作出横截面，由这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，能求出底面的面积A．(2)长方体的体积V=x••1，由此利用配方法能求出截得长方体的体积的最大值．【解答】解:（1）将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体，横截面如图,设这个长方体底面的一条边长为x、对角线长为2，底面的面积为A．由题意得A=x•(0＜x＜2）．…（未写x的范围扣1分）（2）长方体的体积V=x••1=，…由（1）知0＜x＜2，∴当x2=2，即x=时，Vmax=2．…故截得长方体的体积的最大值为2．…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1)证明：PB∥平面ACM；（2)证明：AD⊥平面PAC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】(1）连接BD、OM,由M，O分别为PD和AC中点，得OM∥PB，从而证明PB∥平面ACM；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC,得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．【解答】证明：（1)连接BD和OM∵底面ABCD为平行四边形且O为AC的中点∴BD经过O点在△PBD中,O为BD的中点，M为PD的中点所以OM为△PBD的中位线故OM∥PB∵OM∥PB,OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM∴由直线和平面平行的判定定理知PB∥平面ACM．(2）∵PO⊥平面ABCD,且AD⊂平面ABCD∴PO⊥AD∵∠ADC=45°且AD=AC=1∴∠ACD=45°∴∠DAC=90°∴AD⊥AC∵AC⊂平面PAC,PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O∴由直线和平面垂直的判定定理知AD⊥平面PAC．20．如图,在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB,过A作AF⊥SB,垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC;（2)BC⊥SA．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（1)根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中,EF∥AB且EG∥AC,利用线面平行的判定定理，证出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因为EF、EG是平面EFG内的相交直线,所以平面EFG∥平面ABC;（2）由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC．结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB,从而证出BC⊥SA．【解答】解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB,∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点,∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG∥平面ABC；（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB,AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC,∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°,AB=2,PD=，O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点．(Ⅰ)证明：平面EAC⊥平面PBD;（Ⅱ)若