福建省三明一中高二下学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省三明一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上）1．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．"结论显然是错误的,是因为（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误2．a，b，c，d四个人各自对两个变量x，y进行相关性的测试试验,并用回归分析方法分别求得相关指数R2与残差平方和m（如表）,则这四位同学中，（）同学的试验结果体现两个变量x,y有更强的相关性．abcdr0。800。760.670。82m10011312199A．a B．b C．c D．d3．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子,得到如右的列联表，经计算，统计量K2的观测值k2≈5。762，参照附表，则所得到的统计学结论为:有（）把握认为“爱好该项运动与性别有关”．男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100A．0。25% B．2。5% C．97.5% D．99。75%4．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．115．已知集合，N=｛y｜y=3x2+1，x∈R｝，则M∩N等于(）A．∅ B．{x|x≥1} C．｛x|x＞1} D．{x|x≥1或x＜0｝6．已知x＞0，y＞0且2x+3y=8，则的最小值为（)A． B． C．25 D．7．现有四个推理:①在平面内“三角形的两边之和大于第三边"类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积"；②由“若数列｛an｝为等差数列，则有=成立"类比“若数列{bn}为等比数列，则有=成立”；③由实数运算中，（a•b）•c=a•（b•c），可以类比得到在向量中,（）•=•(），④在实数范围内“5﹣3=2＞0⇒5＞3"，类比在复数范围内，“5+2i﹣（3+2i）=2＞0⇒5+2i＞3+2i"；则得出的结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和（2,2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′,＜a′9．已知x＞0,由不等式x+≥2=2,x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N＊），则a=（）A．2n B．3n C．n2 D．nn10．设a，b，c∈(﹣∞,0)，则a+，b+，c+（）A．都不大于﹣4 B．都不小于﹣4C．至少有一个不大于﹣4 D．至少有一个不小于﹣411．下列结论不正确的是()①.②若｜a｜＜1，则｜a+b|﹣｜a﹣b｜＞2③lg9•lg11＜1④若x＞0,y＞0，则．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③12．定义A＊B，B＊C，C＊D，D＊A的运算分别对应下图中的（1)，(2），（3），（4）,那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B＊D,A*C C．B＊C，A＊D D．C*D，A＊D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷相应的位置上）13．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1﹣+﹣+…﹣=2(++…+）时，若已假设n=k（k≥2且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设再证n=时等式成立．14．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”，对于集合M={x｜ax2﹣1=0，a＞0｝,N={﹣，，1｝,若M与N“相交”，则a=．15．图(1）、（2）、（3)、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”．则f（6）=．16．已知函数f（x）=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题,共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．实数m分别取什么数值时，复数z=(m+2)+（3﹣2m）i(1）与复数12+17i互为共轭；（2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．18．某养猪厂建造一间背面靠墙的长方形猪圈，已知猪圈地面面积为18平方米，将猪圈分割成（如图所示）六个小猪圈，猪圈高度为1米，猪圈每平方米的造价为500元,且不计猪圈背面和地面的费用与猪圈的厚度，问怎样设计总造价最低，最低造价是多少？19．设a，b，c，d为正数,且a+b+c+d=1．证明：（1）；（2)．20．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720。60。782。350。81﹣19。316.2表中．（1)根据散点图判断,y=a+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?（不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据,建立y关于x的回归方程;（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比,那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（u3，v3），…，(un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．21．已知数列｛an｝满足a1=a,an+1=（n∈N*）．（1）求a2，a3,a4；(2）猜测数列｛an｝的通项公式，并用数学归纳法证明．[选修4-4坐标系与参数方程］22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点,当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1,C2是什么曲线，并求a与b的值;（Ⅱ）设当α=时，l与C1,C2的交点分别为A1，B1,当α=﹣时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1A2、B1B2的极坐标方程．［选修4-5不等式选讲]23．设函数f(x）=｜x﹣a｜，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f(x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．

2016—2017学年福建省三明一中高二（下)期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上)1．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解:∵大前提的形式：“鹅吃白菜”，不是全称命题,大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜"本身也正确,但是不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选：C．2．a，b,c，d四个人各自对两个变量x，y进行相关性的测试试验，并用回归分析方法分别求得相关指数R2与残差平方和m（如表），则这四位同学中，（）同学的试验结果体现两个变量x,y有更强的相关性．abcdr0.800。760.670。82m10011312199A．a B．b C．c D．d【考点】BP：回归分析．【分析】根据题意，由相关指数R2的统计意义进行判定：当相关指数R2越接近于1，相关程度越强,相关指数R2越接近于0，相关程度越弱，比较4个同学的相关指数R2的值,即可得答案．【解答】解：根据题意，利用相关指数R2进行判断：当相关指数R2越接近于1，相关程度越强，相关指数R2越接近于0，相关程度越弱，比较可得:d同学的相关指数R2最大,则d同学的试验结果体现两个变量x，y有更强的相关性；故选:D．3．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子，得到如右的列联表,经计算，统计量K2的观测值k2≈5.762，参照附表，则所得到的统计学结论为：有（）把握认为“爱好该项运动与性别有关”．男女总计爱好104050不爱好203050总计3070100A．0.25% B．2。5％ C．97.5% D．99.75％【考点】BL：独立性检验．【分析】根据题意，由所给的观测值同参照临界值对照表比较，即可得答案．【解答】解：根据题意，统计量K2的观测值k2≈5.762＞5.024，参照临界值对照表，P（k2＞5。024)≈0.025,可得有97。5%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．7 B．9 C．10 D．11【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：,否；，否；,否;，否；，是，输出i=9，故选：B．5．已知集合，N=｛y｜y=3x2+1，x∈R｝，则M∩N等于（)A．∅ B．｛x|x≥1｝ C．{x｜x＞1} D．｛x|x≥1或x＜0｝【考点】7E：其他不等式的解法；1E：交集及其运算．【分析】求出集合M，N的元素，利用集合的基本运算求交集．【解答】解:由得x＞1或x≤0，即M=｛x|x＞1或x≤0},N=｛y|y=3x2+1，x∈R｝={y｜y≥1｝，∴M∩N=｛x｜x＞1或x≤0}∩｛y|y≥1｝=｛x|x＞1}，故选:C．6．已知x＞0,y＞0且2x+3y=8,则的最小值为（)A． B． C．25 D．【考点】7F：基本不等式．【分析】=（2x+3y）（），展开后利用基本不等式求最值【解答】解：=（2x+3y）（）=(4+9++)≥(13+2）=，当且仅当x=y时取等号，故的最小值为，故选：A7．现有四个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边"类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”;②由“若数列{an｝为等差数列，则有=成立”类比“若数列｛bn}为等比数列，则有=成立”；③由实数运算中，（a•b）•c=a•(b•c）,可以类比得到在向量中，（）•=•（），④在实数范围内“5﹣3=2＞0⇒5＞3”，类比在复数范围内,“5+2i﹣（3+2i）=2＞0⇒5+2i＞3+2i”;则得出的结论正确的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由三角形对应四面体，边类比面，即可判断①；由等差数列和等比数列的类比特点：和与积对应，除数对应根指数,即可判断②；由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断③；由复数范围内，两数均为实数，才好比较，虚数不能比较，即可判断④．【解答】解：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边"，由边类比面,类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”,故正确；②由“若数列｛an｝为等差数列，则有=成立”，由类比规则:和与积对应，除数对应根指数，类比“若数列{bn｝为等比数列,则有=成立"，故正确;③由实数运算中，（a•b）•c=a•（b•c)，在向量中，(）•与共线，•（）与共线，故不正确；④在实数范围内“5﹣3=2＞0⇒5＞3”,由在复数范围内，虚数不能比较大小，类比在复数范围内,“5+2i﹣(3+2i）=2＞0⇒5+2i＞3+2i"，故不正确．其中正确的个数为2．故选：C．8．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+中的前两组数据（1，0）和(2，2）求得的直线方程为y=b′x+a′，则以下结论正确的是（）A．＞b′，＞a′ B．＞b′，＜a′ C．＜b′，＞a′ D．＜b′，＜a′【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表格总的数据可得n，，,进而可得，和,代入可得,进而可得，再由直线方程的求法可得b′和a′，比较可得答案．【解答】解：由题意可知n=6，===,==,故=91﹣6×=22，=58﹣6××=，故可得==,==﹣×=，而由直线方程的求解可得b′==2,把（1，0）代入可得a′=﹣2，比较可得＜b′，＞a′，故选C9．已知x＞0,由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3,…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N＊），则a=（）A．2n B．3n C．n2 D．nn【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，分析给出的等式，类比对x+变形，先将其变形为x+=++…++,再结合不等式的性质,可得××…××为定值,解可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给等式的变形过程可得，先对左式变形，再利用基本不等式化简．消去根号，得到右式;对于给出的等式，x+≥n+1，要先将左式x+变形为x+=++…++，在++…++中，前n个分式分母都是n，要用基本不等式,必有××…××为定值，可得a=nn，故选D．10．设a，b，c∈(﹣∞，0），则a+，b+，c+（)A．都不大于﹣4 B．都不小于﹣4C．至少有一个不大于﹣4 D．至少有一个不小于﹣4【考点】R9:反证法与放缩法．【分析】假设a+，b+，c+都大于﹣4,三式相加，得a++b++c+＞﹣12，再结合基本不等式，即可得出结论．【解答】解：假设a+，b+,c+都大于﹣4，即a+＞﹣4，b+＞﹣4，c+＞﹣4，将三式相加，得a++b++c+＞﹣12,又因为a+≤﹣4，b+≤﹣4，c+≤﹣4,三式相加,得a++b++c+≤﹣12，所以假设不成立，∴a+,b+，c+至少有一个不大于﹣4．故选C．11．下列结论不正确的是（）①。②若｜a｜＜1，则｜a+b|﹣｜a﹣b｜＞2③lg9•lg11＜1④若x＞0,y＞0，则．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】由不等式的左边由210项，且小于,即可判断①；运用绝对值不等式的性质,即可判断②；运用基本不等式，即可判断③；运用不等式的放缩法，即可判断④．【解答】解：对于①，+++…+＜++…+=1，故①不正确；对于②若|a|＜1,则｜a+b|﹣｜a﹣b｜≤｜（b+a）﹣（b﹣a）|=2|a|＜2，故②不正确；对于③，lg9•lg11＜（）2＜=1，故③正确；对于④，若x＞0，y＞0，由＞，＞，可得,故④正确．故选:A．12．定义A＊B,B＊C，C＊D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2）,（3）,(4）,那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B＊D,A＊C C．B*C,A*D D．C＊D，A＊D【考点】F4:进行简单的合情推理．【分析】根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律,猜想未知的图象与运算的关系．【解答】解：通过观察可知：A表示“﹣”，B表示“□”,C表示“｜”，D表示“○",图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是B＊D，A＊C,故选B．二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．请把答案填在答题卷相应的位置上）13．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1﹣+﹣+…﹣=2（++…+）时，若已假设n=k（k≥2且k为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设再证n=k+2时等式成立．【考点】RG：数学归纳法．【分析】首先分析题目因为n为正偶数,用数学归纳法证明的时候,若已假设n=k(k≥2,k为偶数）时命题为真时,因为n取偶数,则n=k+1代入无意义，故还需要证明n=k+2成立．【解答】解：用数学归纳法证明1﹣+﹣+…﹣=2(++…+)时若已假设n=k（k≥2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立．故答案为：k+2．14．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”，对于集合M={x｜ax2﹣1=0，a＞0}，N=｛﹣，，1｝，若M与N“相交"，则a=1．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据M与N“相交”，即可求出a的值．【解答】解:若a＞0，则M=｛x|x2=,a＞0｝=｛，﹣｝，若M与N“相交”,则=1或=，解得a=1或a=4（舍去）．故答案为:1．15．图（1）、(2)、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎",按同样的方式构造图形，设第n个图形包含f（n）个“福娃迎迎”．则f(6)=61．【考点】F1:归纳推理．【分析】由题意，考察相邻两项的关系可得出f（n）﹣f(n﹣1）=4×（n﹣1），由累加法可求得f（n）=2n(n﹣1)+1，由此可求出答案．【解答】解：由题意,因为f（1）=1，f（2）=5，f（3)=13，f（4）=25所以f(2）﹣f（1）=4,f（3）﹣f（2)=8=4×2，f（4）﹣f（3)=12=4×3，由此可归纳出f（n）﹣f（n﹣1)=4×(n﹣1)，把上述等式依次相加可得f（n）﹣f（1）=4×[1+2+3+…+（n﹣1)］=2n（n﹣1）∴f（n）=2n(n﹣1）+1∴f（6）=61，故答案为：6116．已知函数f（x）=若｜f（x)｜≥ax,则a的取值范围是[﹣2,0］．【考点】R5:绝对值不等式的解法；3O:函数的图象．【分析】①当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，求得a≤0．②当x≤0时，可得x2﹣2x≥ax，求得a的范围．再把这两个a的取值范围取交集，可得答案．【解答】解：当x＞0时，根据ln（x+1）＞0恒成立，则此时a≤0．当x≤0时，根据﹣x2+2x的取值为（﹣∞，0］，｜f（x）|=x2﹣2x≥ax，x=0时左边=右边，a取任意值．x＜0时，有a≥x﹣2，即a≥﹣2．综上可得，a的取值为［﹣2,0］，故答案为[﹣2，0]．三、解答题（本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．实数m分别取什么数值时，复数z=（m+2)+（3﹣2m)i(1)与复数12+17i互为共轭；(2）复数的模取得最小值，求出此时的最小值．【考点】A2:复数的基本概念．【分析】(1)根据共轭复数的定义得到关于m的方程组,解出即可;（2）根据二次函数的性质求出｜z|的最小值即可．【解答】解：（1）根据共轭复数的定义得:，解得：m=10；(2）｜z｜==，当m=时，复数的模取最小值．18．某养猪厂建造一间背面靠墙的长方形猪圈，已知猪圈地面面积为18平方米，将猪圈分割成（如图所示）六个小猪圈，猪圈高度为1米,猪圈每平方米的造价为500元，且不计猪圈背面和地面的费用与猪圈的厚度，问怎样设计总造价最低，最低造价是多少？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用已知条件列出造价的函数关系式,利用基本不等式求解最值即可．【解答】解：设猪圈的长AB为x米，宽AD为y米，则xy=18…造价…当且仅当即x=6时,等号成立…答：猪圈的长为12米,宽为3米时，造价最低为12000元．…19．设a，b，c,d为正数,且a+b+c+d=1．证明:(1）；（2）．【考点】R6:不等式的证明．【分析】（1）利用柯西不等式直接证明即可．（2）法一:利用分析法，不妨设a≥b≥c≥d，直接证明即可．法二：利用，，，，然后求和证明即可．【解答】证明:（1）∵（a2+b2+c2+d2）•（1+1+1+1）≥（a+b+c+d）2=1,∴当且仅当时，等号成立…（2）(法一）不妨设a≥b≥c≥d，则a2≥b2≥c2≥d2，,，当且仅当时，等号成立…（法二)∵,，，，以上各式相加得，，即,当且仅当时，等号成立…20．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）．1.4720.60。782。350。81﹣19。316。2表中．（1）根据散点图判断，y=a+bx与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型？(不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）若旋转的弧度数x与单位时间内煤气输出量t成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据（u1,v1），（u2，v2），（u3，v3)，…，（un，vn），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据散点图是否按直线型分布作答;（2）根据回归系数公式得出y关于ω的线性回归方程,再得出y关于x的回归方程；(3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．【解答】解：（1)更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型．…(2）由公式可得：，…，…所以所求回归方程为．…（3）设t=kx，则煤气用量,…当且仅当时取“="，即x=2时,煤气用量最小．…答：x为2时，烧开一壶水最省煤气．…21．已知数列｛an}满足a1=a，an+1=(n∈N＊）．(1）求a2，a3，a4；（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法;8H：数列递推式．【分析】（1）由an+1=，可求a2，a3,a4；（2）猜测an=（n∈N*），再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由an+1=，可得a2==，a3===,a4===．（2）猜测an=(n∈N*）．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，左边=a1=a，右边==a,猜测成立．②假设当n=k（k∈N*）时猜测成立，即ak=．则当n=k+1时，ak+1====．故当n=k+1时,猜测也成立．由①，②可知，对任意n∈N*都有an=成立．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数），曲线C2的参数方程为(a＞b＞0,φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l：θ=α与C1,C2各有一个交点,当α=0时,这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合．（Ⅰ）分别说明C1,C2是什么曲线，并求a与b的值；（Ⅱ)设当α=时,l与C1，C2的交点分别为A1,B1，当α=﹣时，l与C1,C2的交点分别为A2，B2，求直线A1A2、B1B2的极坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=1，C1是以（0，0）为圆心，以1为半径的圆，曲线C2的直角坐标方程为=1，C2是焦点在x轴上的椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），当