福建省三明一中高二下学期第一次月考数学文试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012—2013学年福建省三明一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．(5分）数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为(）A．28B．32C．33D．27考点：数列的概念及简单表示法．专题：计算题．分析：根据所给数列中相邻两项的差的规律性，即从第二项起,每一项与前一项的差依次是3的倍数，再进行求解．解答：解:由题意知,数列2,5，11，20，x，47，∴5﹣2=3，11﹣5=6，20﹣11=9,则x﹣20=12，解得x=32，故选B．点评：本题考查了数列的概念的应用，即需要找出数列各项之间的特定关系，考查了分析问题和解决问题的能力．2．（5分）设集合A={x｜x2﹣x﹣2＜0｝,B=｛x|x2﹣3x＜0}，则A∪B等于(）A．｛x|0＜x＜2}B．{x｜﹣1＜x＜2}C．｛x｜0＜x＜3}D．｛x|﹣1＜x＜3｝考点:一元二次不等式的解法；并集及其运算．专题:不等式的解法及应用．分析：分别求出A与B中两不等式的解集,找出既属于A又属于B的部分,即可确定出两集合的交集．解答：解:由A中的不等式变形得:(x﹣2）（x+1）＜0,解得：﹣1＜x＜2，即A=｛x｜﹣1＜x＜2｝；由B中的不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即B=｛x｜0＜x＜3｝，则A∪B={x|﹣1＜x＜3｝．故选D点评:此题以一元二次不等式的解法为平台，考查了并集及其运算，熟练掌握一元二次不等式的解法是解本题的关键．3．（5分）已知复数z=（1+i）i（i为虚数单位),则其共轭复数=（)A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析:利用复数代数形式的乘除运算可求得z=﹣1+i，从而可求得其共轭复数．解答:解：∵z=（1+i）i=﹣1+i，∴=﹣1﹣i．故选D．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．4．（5分）用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度考点:反证法与放缩法．专题：常规题型．分析:一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能"的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”;“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”;“是至多有n个"的否定:“至少有n+1个”；“任意的"的否定：“某个"；“任意两个"的否定：“某两个”;“所有的"的否定：“某些”．解答：解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．5．（5分）已知,其中i为虚数单位,则a+b=（）A．1B．2C．﹣1D．3考点：复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件．专题:计算题．分析：利用复数相等的充要条件即可求得a，b的值，从而可得答案．解答：解：∵=b+i，（a，b∈R)，∴=b+i，即﹣(ai﹣2）=b+i，∴，∴a+b=1．故选A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算及复数相等的充要条件，左端的分母实数化是关键,属于中档题．6．(5分）设a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．B．C．｜a｜＞﹣bD．考点：不等关系与不等式．分析：利用特殊值代入法进行求解，可以令a=﹣2，b=﹣1，分别代入A、B、C、D四个选项进行求解．解答:解：∵a＜b＜0，∴令a=﹣2，b=﹣1，A、﹣＞﹣1，正确；B、﹣1＜﹣，故B错误;C、2＞1，正确；D、＞1,正确;故选B．点评：此题主要考查不等关系与不等式之间的关系，利用特殊值代入法求解比较简单．7．（5分）设集合A=｛x｜|x﹣2｜＜1｝,,则“x∈A"是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题:计算题;不等式的解法及应用．分析:可求得集合A与集合B,再根据两集合之间的包含关系作出判断即可．解答:解:∵｜x﹣2|＜1，∴﹣1＜x﹣2＜1，∴1＜x＜3，即A=｛x｜1＜x＜3｝；又2x＞=2﹣1，∴x＞﹣1,∴B=｛x｜x＞﹣1};∴AB∴“x∈A”是“x∈B"的充分不必要条件．故选A．点评:本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，突出集合确定与集合间的关系判断，属于中档题．8．（5分)执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．14B．20C．30D．55考点:循环结构．专题:图表型．分析：首先分析程序框图,循环体为“直到型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．解答：解：根据题意,本程序框图为求S的和循环体为“直到型“循环结构第1次循环：S=0+12=1i=1+1=2第2次循环：S=1+22=5i=2+1=3第3次循环：S=5+32=14i=3+1=4第4次循环:S=14+42=30i=4+1=5规律为第n次循环时，S=12+22+…+n2∴第4次循环：S=30，此时i=5，不满足条件，跳出循环，输出S=30．故选C．点评：本题为程序框图题,考查对循环结构的理解和认识,按照循环结构运算后得出结果．属于基础题．9．（5分）已知点(﹣2，1）和点（1，1）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8）∪(1，+∞)B．（﹣1，8)C．（﹣8，1）D．(﹣∞，﹣1）∪（8，+∞）考点：二元一次不等式（组)与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：题目给出的两点在给出的直线两侧，把给出点的坐标代入代数式3x﹣2y﹣a中，两式的乘积小于0．解答：解：因为点（﹣2，1）和（1，1)在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以［3×（﹣2）﹣2×1﹣a]（3×1﹣2×1﹣a]＜0，即（a+8）（a﹣1）＜0，解得：﹣8＜a＜1．故选C．点评：本题考查了二元一次不等式与平面区域，平面中的直线把平面分成三部分，直线两侧的点的坐标代入直线方程左侧的代数式所得的值异号．10．（5分）已知实数x，y满足，若z=y﹣ax取得最大值时的最优解(x,y）有无数个，则a的值为（）A．0B．2C．﹣1D．﹣考点：简单线性规划的应用．专题：计算题;不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=y﹣ax对应的直线l进行平移，分a的正负进行讨论并观察直线l在y轴上的截距,可得当a＜0且直线l与BC所在直线平行时，目标函数的最优解有无数个，由此加以计算即可得到本题答案．解答：解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A（1，1），B（1，），C（5，2）设z=F（x，y）=z=y﹣ax,将直线l：z=2x+y进行平移，发现当a≥0时，直线l经过点B（1，)时目标函数z有最大值，并且这个最大值是唯一的而当a＜0时，直线l经过点B（1，)或点C(5,2)时，目标函数z有最大值∵z=y﹣ax取得最大值时的最优解（x，y）有无数个，∴直线l与BC所在直线平行，可得l的斜率a=kBC==﹣故选：D点评：本题给出二元一次不等式组,当目标函数z达到最大值时最优解有无数时求参数a的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．11．（5分）若a＞0，b＞0且ln(a+b）=0，则的最小值是(）A．B．1C．4D．8考点:基本不等式．专题:计算题;不等式的解法及应用．分析:依题意，可求得a+b=1，利用基本不等式即可求得答案．解答：解：∵a＞0，b＞0且ln（a+b）=0，∴a+b=1，∴+=（a+b）(+)=1+1++≥4(当且仅当a=b=时取“=")．∴则的最小值是4．故选C．点评:本题考查基本不等式，求得a+b=1是关键，考查运算能力，属于基础题．12．（5分）设集合A={1，2，3，4，5｝，B=｛3，4，5,6，7}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（）A．32B．28C．24D．8考点：子集与交集、并集运算的转换；交集及其运算．专题：计算题．分析:由题意分析可知，集合s中的元素需要从1，2中一个不取或取一个或取两个，但必须从3,4,5中至少取一个,由此可以得到正确答案．解答:解：由集合A={1，2，3，4,5｝，B={3,4，5，6，7｝,再由s满足S⊆A且S∩B≠∅，说明集合s中的元素仅在集合A中取，且至少含有3，4，5中的一个，至于元素1,2，可以一个不取，可以取其中任意一个,也可以都取．因此，满足S⊆A且S∩B≠∅的集合s有如下情况：｛3｝，{4}，{5｝，｛3,4｝,｛3，5}，{4，5}，｛3，4，5｝{1,3｝，{1，4},{1，5}，{1，3，4｝,{1,3，5｝,{1,4,5｝,｛1，3,4，5｝｛2,3｝，｛2,4}，{2，5｝，{2,3，4｝，{2,3，5}，｛2,4,5｝，{2，3,4，5}{1,2，3}，{1,2，4，}，{1，2，5}，｛1，2,3，4｝，｛1，2，3，5｝，｛1，2,4，5｝，｛1，2，3，4,5｝．共28个．故选B．点评：本题考查了子集与交集运算的转换，考查了交集及其运算，解答此题的关键是写集合s时做到不重不漏，是基础题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．（4分）命题“对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0”的否定是存在x∈R，使得x2+2x+5=0．考点：命题的否定．专题：常规题型．分析：命题“对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0"是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．解答：解：命题“对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为存在实数x,再将不等号≠变为=即可．故答案为：存在x∈R,使得x2+2x+5=0．点评：本题考查命题的否定,全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化．14．（4分)不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪[1,+∞）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析:通过同解变形将不等式化为，通过解二次不等式组,求出解集．解答：解：不等式同解于：解得x≥1或x＜﹣2，所以不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪［1,+∞)．故答案为（﹣∞，﹣2）∪[1,+∞）．点评：解决分式不等式，一般先通过同解变形化为熟悉的整式不等式，然后再解决，属于基础题．15．(4分)(2011•陕西）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4．考点:充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题:计算题；压轴题；分类讨论．分析：由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．解答：解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根⇔（﹣4）2﹣4n≥0⇔n≤4;又n∈N+,则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2;n=3时，方程x2﹣4x+3=0,有整数根1,3；n=2时，方程x2﹣4x+2=0,无整数根;n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．所以n=3或n=4．故答案为：3或4．点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略．16．（4分）（2011•海珠区一模）在平面内,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形按图1所标边长，由勾股定理有：c2=a2+b2．设想正方形换成正方体，把截线换成如图2所示的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O﹣LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积,那么你类比得到的结论是S42=S12+S22+S32．考点：类比推理．专题:方案型;演绎法．分析：从平面图形到空间图形，同时模型不变．解答:解：建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S42=S12+S22+S32故答案为：S42=S12+S22+S32点评：本题主要考查学生的知识量和知识迁移、类比的基本能力．三、解答题:（本大题共6小题，共74分。解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）17．（12分）（1)已知2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，求x+y、x﹣y、xy的取值范围；（2）设x＜y＜0,试比较（x2+y2）(x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小．考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：（1)直接利用不等式的基本性质，通过2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，求x+y、x﹣y、xy的取值范围；(2）利用作差法直接比较两个表达式的大小即可．解答：解:(1）因为2＜x＜3，﹣2＜y＜﹣1，所以0＜x+y＜2；1＜﹣y＜2，3＜x﹣y＜5；∴2＜﹣xy＜6,∴﹣6＜xy＜﹣2;所以x+y、x﹣y、xy的取值范围分别是(0，2），（3,5），（﹣6，﹣2）．（2）（x2+y2）（x﹣y)﹣（x2﹣y2)(x+y）=x3﹣x2y+xy2﹣y3﹣x3﹣x2y+xy2+y3=2xy2﹣2x2y=2xy（y﹣x)∵x＜y＜0∴xy＞0,y﹣x＞0,∴2xy（y﹣x）＞0,∴（x2+y2）(x﹣y)＞(x2﹣y2）(x+y）点评:本题考查不等式的基本性质的应用，作差法比较大小的方法的应用，考查计算能力．18．（12分）已知复数z=(1+2m）+（3+m）i，（m∈R）．（1）若复数z在复平面上所对应的点在第二象限，求m的取值范围；（2）求当m为何值时，|z|最小，并求|z|的最小值．考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数求模．专题：计算题．分析:（1）复数z在复平面上所对应的点在第二象限,应实部小于0，虚部大于0．（2)根据复数模的计算公式，得出关于m的函数求出最小值．解答：解：（1）由解得﹣3＜m＜﹣．（2)｜z｜2=（1+2m）2+（3+m）2=5m2+10m+10=5（m+1）2+5所以当m=﹣1时，即|m｜2min=5．｜z|的最小值为：．点评：本题考查复数的分类、几何意义、模的计算、函数思想与考查计算能力．19．（12分)设全集I=R，已知集合M={x｜x2﹣10x+24＜0}，N=｛x｜x2﹣2x﹣15≤0}．（1）求（∁IM）∩N；（2）记集合A=(∁IM）∩N，已知集合B={x｜a﹣1≤x≤5﹣a，a∈R}，若A∪B=A,求实数a的取值范围．考点:交、并、补集的混合运算．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）先将M，N化简,求出∁IM，再计算得出最后结果．（2）由A∪B=A，得出集合B是集合A的子集，然后根据集合端点值的关系列式求出a的范围．解答：解：（1）M={x|x2﹣10x+24＜0｝=｛x|4＜x＜6｝,N={x｜x2﹣2x﹣15≤0｝=｛x|﹣3≤x≤5}．∵全集I=R,∴∁IM=｛x|x≤4或x≥6}．∴（∁IM）∩N={x｜﹣3≤x≤4｝．（2）因为A∪B=A，所以B⊆A,又A=｛x｜﹣3≤x≤4｝，B=｛x|a﹣1≤x≤5﹣a}，∴解得a≥1,符合题意,符合条件的a的取值范围为[1，+∞)．点评:本题考查集合的混合运算，解一元二次不等式等．解答此题的关键是由A∪B=A得出集合A和B的关系，此题是基础题．20．（12分）已知实数x,y满足．（1)求z=2x+y的最小值和最大值;（2）求的取值范围；（3）求z=x2+y2的最小值;（4）求z=|x+y+1|最小值．考点：简单线性规划．专题:计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部．再作出直线l：z=2x+y，并将l进行平移，可得当x=y=1时，z达到最小值3；当x=5且y=2时，z达到最大值12；（2)目标函数表示可行域内一点（x,y)与定点D（﹣1,﹣1）连线的斜率，结合图形加以观察，可得z的最小值为,最大值为,由此即可得到的取值范围；（3）根据两点间的距离公式，可得z=x2+y2表示可行域内一点(x,y)与原点距离的平方．结合图形加以观察，可得z=x2+y2的最小值为｜BO｜2=2；（4）根据点到直线的距离公式，设d==表示可行域内一点（x，y）到直线x+y+1=0的距离．观察图形可得当可行域内点与B重合时，d达到最小值,由此即可算出z=|x+y+1|最小值为3．解答:解：∵实数x，y满足∴作出可行域，得到△ABC及其内部．其中A（1，），B（1，1)，C（5，2）,如图所示（1）作出直线l：z=2x+y,并将l进行平移，可得当l经过点B时,z达到最小值；当l经过点C时,z达到最大值；∴Zmin=2×1+1=3，Zmax=2×5+2=12即z=2x+y的最小值和最大值分别为3，12．…(3分）(2）∵=表示可行域内一点(x,y）与定点D（﹣1，﹣1）连线的斜率∴由图可知kCD≤z≤kAD∵=，=∴的取值范围是[,]．…(6分)（3）∵z=x2+y2表示可行域内一点(x，y）与原点距离的平方∴由图可知当点（x，y）与B重合时，到原点的距离最小，z=x2+y2同时取到最小值∵｜BO|==∴z=x2+y2的最小值为|BO|2=2；．…(9分）(4）∵z=｜x+y+1｜，∴d==表示可行域内一点(x，y）到直线x+y+1=0的距离因此作出直线x+y+1=0，由图可知可行域内的点B到该直线的距离最小∴点B到直线x+y+1=0的距离d0==,可得可行域内的点到直线x+y+1=0的距离最小值为因此，zmin=d0=3,即z=|x+y+1｜最小值为3．…（12分)点评:本题给出二元一次不等式组表示的平面区域,求几个目标函数的最值和取值范围．着重考查了平面内两点的距离公式、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识点，属于中档题．21．(12分）(1）设0＜x＜，求函数y=4x（3﹣2x)的最大值；（2）已知x，y都是正实数，且x+y﹣3xy+5=0，求xy的最小值．考点:基本不等式；函数最值的应用．专题:计算题．分析：（1）先根据x的范围确定3﹣2x的符号，再由y=4x•(3﹣2x）=2[2x（3﹣2x)］结合基本不等式的内容可得到函数的最大值．(2）先根据x+y﹣3xy+5=0得到x+y+5=3xy,进而可根据基本不等式得到2+5≤x+y+5=3xy，根据一元二次不等式的解法得到的范围，进而可得到xy的范围，即可求出xy的最小值．解答：解：（1）∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0．∴y=4x•（3﹣2x）=2[2x(3﹣2x)]≤2［]2=．当且仅当2x=3﹣2x,即x=时，等号成立．∵∈（0，），∴函数y=4x(3﹣2x）（0＜x＜）的最大值为．(2）由x+y﹣3xy+5=0得x+y+5=3xy．∴2+5≤x+y+5