2022-2023学年江苏省徐州市邳州第四中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年江苏省徐州市邳州第四中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，则下列结论错误的是（）A．平面ACB′∥平面A′C′D B．B′C⊥BD′C．B′C⊥DC′ D．BD′⊥平面A′C′D参考答案：C【考点】棱柱的结构特征．【分析】在A中，由AC∥A'C′，AB′∥DC′，得平面ACB′∥平面A′C′D；在B中，由B′C⊥D′C′，B′C⊥BC′，得到B′C⊥平面BD′C′，从而B′C⊥BD′；在C中，由DC′∥AB′，△AB′C是等边三角形，知B′C与DC′所成角为60°；在D中，由BD′⊥A′C′，BD′⊥A′D，知BD′⊥平面A′C′D．【解答】解：由ABCD﹣A′B′C′D′为正方体，知：在A中，∵AC∥A'C′，AB′∥DC′，且AC∩AB′=A，A′C′∩DC′=C′，∴平面ACB′∥平面A′C′D，故A正确；在B中，∵B′C⊥D′C′，B′C⊥BC′，D′C′∩BC′=C′，∴B′C⊥平面BD′C′，∵BD′?平面BD′C′，∴B′C⊥BD′，故B正确；在C中，∵DC′∥AB′，△AB′C是等边三角形，∴B′C与DC′所成角为60°，故C错误；在D中，与B同理，能证明BD′⊥A′C′，BD′⊥A′D，∴BD′⊥平面A′C′D，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2.若，，则 （

） A． B．

C．

D．参考答案：D略3.若，则

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.已知约束条件，若目标函数恰好在点处取得最大值，则的取值范围为

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0?或，?0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．6.“a≤-2”是“函数在[-1,+∞)上单调递增”的

（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A7.已知集合，，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知函数在区间2，+上是增函数，则的取值范围是（

）A．（

B．（

C．（

D．（参考答案：C9.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是(

)A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分析法；函数的性质及应用．【分析】由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可【解答】解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．【点评】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是(

)10.设函数（

） A．0 B．1 C． D．5参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数_________________参考答案：。。12.函数的单调递减区间是

．参考答案：（或）略13.（几何证明选讲）如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上一点，AC是半圆O的切线BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则AE=

．参考答案：14.若随机变量～，且＝0.1587，则__________.参考答案：0.8413略15.若，则

．参考答案：16.已知两点，向量，若，则实数k的值为______.参考答案：略17.若是幂函数，且满足=3，则=

；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为,且通过各次测试的事件相互独立．(1)若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；(2)若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

参考答案：(2)依题意，ξ的所有可能取值为1、2、3.P(ξ＝1)＝p1，P(ξ＝2)＝(1－p1)p2，P(ξ＝3)＝(1－p1)(1－p2)p3.故ξ的分布列为ξ123Pp1(1－p1)p2(1－p1)(1－p2)p3(8分)Eξ＝p1＋2(1－p1)p2＋3(1－p1)(1－p2)p3(10分)分别计算当甲选手按C→B→A，C→A→B，B→A→C，B→C→A，A→B→C，A→C→B的顺序参加测试时，Eξ的值，得甲选手按C→B→A的顺序参加测试时，Eξ最小，因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛，故该选手选择将自己的优势项目放在前面，即按C→B→A的顺序参加测试更有利于进入正赛．(12分)【答案】略19.（本小题满分13分）已知椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点的直线（不经过点）与椭圆交于两点，当的平分线为时，求直线的斜率．参考答案：（Ⅰ）把点代入，可得．故椭圆的方程为，椭圆的离心率为．……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：．当的平分线为时，由和知：轴．记的斜率分别为．所以，的斜率满足……6分设直线方程为，代入椭圆方程并整理可得，．

设，则又，则，．……8分所以=

…………11分即．

．

……………13分20.（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列的前项和为,且.（1）求(2)求数列的通项；(3)若,，求证：＜参考答案：（1）令，得，………2分(2)又………①有…………②……3分②-①得…4分

∴

……6分

∴…………8分(3)n=1时=1＜符合………9分时，因为,………………11分所以………….13分∴＜…………14分第二问方法不唯一，请酌情给分21.（本小题12分）函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有成立．已知当时，．（1）求时，函数的表达式；（2）若函数的最大值为，在区间上，解关于x的不等式．参考答案：（1）∵，且是R上的偶函数，∴，．

（2）由于函数是以2为周期，故只需考查区间．若时，由函数的最大值为知，即，当时，则当时，有最大值，即，舍去，综上可得，．当时，若，则，∴，若，则，∴，∴此时满足不等式的解集为．∵是以2为周期的周期函数，当时，的解集为，22.（2013?兰州一模）选修4﹣5：《不等式选讲》已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（I）证明：﹣3≤f（x）≤3；（Ⅱ）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．参考答案：解：（I）证明：当x≤2时，f（x）=2﹣x﹣（5﹣x）=﹣3；当2＜x＜5时，f（x）=x﹣2﹣（5﹣x）=2x﹣7，所以﹣3＜f（x）＜3；当x≥5时，f（x）=x﹣2﹣（x﹣5）=3．所以﹣3≤f（x）≤3．…（5分）（II）由（I）可知，当x≤2时，f（x））≥x2﹣8x﹣8x+15，等价于﹣