江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省抚州市七校联考2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知复数，则在复平面内z所对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，假设正确的是（

）A．a，b中至少有一个为0 B．a，b中至多有一个不为0C．a，b都不为0 D．a，b都为03．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（

）mm/min.A． B． C．20 D．4004．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（

）A．8 B．10 C．15 D．165．将4个a和2个b随机排成一行，则2个b不相邻的排法种数为（

）A．10 B．15 C．20 D．246．利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到，左边增加了（

）A．1项 B．k项 C．项 D．项7．某小朋友按如图规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，7中指，8食指，9大拇指，10食指，…，一直数到2022时，对应的指头是（

）A．小指 B．中指 C．食指 D．无名指8．由曲线围成的封闭图形的面积为（

）A． B． C． D．9．2021年4月22日是第52个世界地球日，某学校开展了主题为“珍爱地球，人与自然和谐共生”的活动.该校5名学生到，，三个社区做宣传，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区宣传，则不同的安排方案共有（

）A．60种 B．90种 C．150种 D．300种10．已知在区间上有极值点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．11．在中，角的对边分别为．若，则三角形的面积，因为这个公式最早出现在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中，故称之为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)中，即“设凸四边形的四条边长分别为，凸四边形的一对对角和的一半为，凸四边形的面积为，现有凸四边形，则四边形的面积的最大值为（

）A． B．C． D．12．已知，则（

）A． B．4 C． D．6第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．已知函数的导函数满足，则___________．14．已知复数z满足为z的共轭复数，则的最大值为___________．15．已知曲线的一条切线为直线，则的最小值为________．16．北京冬奥会不仅带动了3亿人参与冰雪运动，更为全民健身的顺利推进以及建设体育强国奠定了坚实基础.某市于2022年10月份举行大学生冰雪运动会，该市M大学派出甲、乙、丙、丁四名大学生运动员参加跳台滑雪、越野滑雪、单板滑雪和北欧两项共4个项目的比赛，其中每个人只参加了一个项目的比赛，且参加项目各不相同，以下是A，B，C三名同学分别猜测这四名运动员参加的项目：A说：乙参加的是跳台滑雪，丁参加的是单板滑雪；B说：甲参加的是北欧两项，丙参加的是越野滑雪；C说：丙参加的是单板滑雪，丁参加的是跳台滑雪．已知每个人都猜对了一半，则丁参赛的项目是___________．评卷人得分三、解答题17．已知复数．(1)若的实部与的模相等，求a的值；(2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．18．（1）若，求正整数n的值；（2）已知，求正整数n的值．19．已知a，b都是正数．(1)若，证明：；(2)当时，证明：．20．已知A，B两地相距，某船从A地逆水到B地，水速为，船在静水中的速度为．若船每小时的燃料费与其在静水中速度的平方成正比，比例系数为k，当，每小时的燃料费为720元．(1)求比例系数；(2)当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？(3)设，当时，为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为多少？21．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．22．已知函数．(1)若在上单调递减，求实数a的取值范围．(2)若是方程的两个不相等的实数根，证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A【解析】【分析】根据复数的除法运算结合复数的几何意义求解即可【详解】，在复平面内z对应的点为，在第一象限故选：A2．D【解析】【分析】将结论a，b中至少有一个不为0否定即可【详解】用反证法证明命题“若，则a，b中至少有一个不为0”成立时，应假设a，b都为0．故选：D3．B【解析】【分析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.【详解】由题设，，则，所以在时的瞬时降雨强度为mm/min.故选：B4．A【解析】【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，由分类加法计数原理得共有8种方法，所以表示不同整数的个数为8.故选：A5．A【解析】【分析】利用插空法，再根据组合知识，即可得到答案；【详解】先排4个a有1种排法，再从5个空格中选2个位置放b，共有，故选：A6．D【解析】【分析】分别分析当与时等号左边的项，再分析增加项即可【详解】由题意知当时，左边为，当时，左边为，增加的部分为，共项．故选：D7．D【解析】【分析】将题目看成归纳推理的问题，可归纳看出其满足等差数列，从而解出答案.【详解】由题意得，大拇指对应的数是，其中，因为，所以数到2022时，对应的指头是无名指.故选：D.8．C【解析】【分析】画出图形，根据对称性，可利用定积分求间的面积，再根据扇形面积减去三角形面积求解间的面积再求和即可【详解】如图所示，所求面积即为阴影部分的面积．联立解得或即，．连接．由对称性知所求面积．故选：C9．C【解析】【分析】把5人按113或122分成三组然后安排到三个社区即可得．【详解】由题意不同的安排方案数为．故选：C．10．D【解析】【分析】函数在某区间有极值点，即是导数在那个区间上有解.求出，令，然后分离出参数，构造新函数，再由导函数分析其单调性，求函数在区间的值域，但当时，在仅有一根，且在其左右两边同号，此时无极值点，故应舍去.【详解】由题知，因为在区间上有极值点，所以在区间上有解，则，解得，令，，令得，则在单调递增，单调递减，且，则当时，，当时，在仅有一根，且在其左右两边，此时无极值点，故应舍去.即.故选：D.【点睛】易错点点睛：本题易错点有两个，一是函数在区间有零点与区间端点函数值异号不等价，不知道是几个解，容易错选B选项；二是函数在区间上有极值点与导函数在上有解并不等价，还应考虑是变号的解，容易错选C选项.11．D【解析】【分析】根据所给公式计算即可，然后由正弦函数性质得最大值．【详解】由得又则，所以当时，凸四边形面积的最大值为．故选：D．12．A【解析】【分析】根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，从而可到，再构造函数分析可得，从而得到，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可【详解】由题意得，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，令，则，当，，单调递增；当时，单调递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以，所以，所以．故选：A13．【解析】【分析】求导后代入可得，再求即可【详解】由题得，得，所以，所以．故答案为：14．9【解析】【分析】设，再根据可得z所对应的点的轨迹，再根据数形结合分析即可【详解】设，则，由，得，即，所以z所对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，因为为z的共轭复数，所以，即，而可看作该圆上的点到原点的距离的平方，所以．故答案为：915．【解析】【分析】根据导数的几何意义，设切点为列式，可得，再表达出，根据二次函数的最值求解即可【详解】设切点为，由题得．由切线方程，可得消去得，所以，所以当，即时，有最小值，最小值为．故答案为：16．越野滑雪【解析】【分析】分别分析甲乙丙丁四人参加的是跳台滑雪时是否满足题意分析即可【详解】若甲参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的是单板滑雪，又C说对了一半，则丙参加的是单板滑雪，不符合题意；若乙参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的不是单板滑雪，又C说对了一半，则丙参加的是单板滑雪，又B说对了一半，则甲参加的是北欧两项，丁参加的是越野滑雪；若丙参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则丁参加的是单板滑雪，又C说对了一半，丙参加的是单板滑雪，不符合题意；若丁参加的是跳台滑雪，A说对了一半，则乙参加的是跳台滑雪，不符合题意．综上，丁参赛的项目是越野滑雪．故答案为：越野滑雪17．(1)或(2)【解析】【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值；（2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围(1)依题意，，因为的实部与的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．(2)因为，又在复平面上的对应点在第四象限，所以解得，所以a的取值范围是．18．（1）8；（2）4.【解析】【分析】（1）根据排列数的运算求解即可；（2）根据组合数与排列数的公式列式约分求解即可【详解】（1）由得，，又，所以，解得，所以正整数n为8．（2）由，得，整理得，因为，所以，所以，，整理得，解得或（舍去），即19．(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由，得，即，当且仅当时“=”成立．所以．(2)要证，只需证，即证，即证，因为，所以上式成立，所以成立．20．(1)5(2)(3)答案见解析【解析】【分析】（1）由题意设每小时的燃料费为，则，然后根据当，每小时的燃料费为720元，可求出比例系数，（2）设全程燃料费为y，根据题意可得，然后利用导数可求出其最小值，（2）分和两种情况分析计算即可(1)设每小时的燃料费为，则，当，每小时的燃料费为720元，代入得．(2)由（1）得．设全程燃料费为y，则，所以，令，解得（舍去）或，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以当时，y取得最小值，故为了使全程燃料费最省，船的实际前进速度应为．(3)由（2）得当时，则y在区间上单调递减，所以当时，y取得最小值；若时，则y在区间内单调递减，在区间上单调递增，则当时，y取得最小值．综上，当时，船的实际前进速度为，全程燃料费最省；当时，船的实际前进速度应为，全程燃料费最省．21．(1)的单调递减区间为，单调递增区间为(2)【解析】【分析】（1）求导分析导函数的正负区间求解即可；（2）时，原不等式成立，当时，参变分离可得，构造函数，再求导分析单调性，求得最小值即可(1)当时，，所以，可知在R上单调递增，且，所以当时，单调递减；当时，单调递增．即的单调递减区间为，单调递增区间为．(2)由题得对任意恒成立，所以，当时，则，原不等式成立，则；当时，则，令，其中，则，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．所以，所以，所以只需，解得，综上，实数a的取值范围是．22．(1)；(2)详见解析【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，结合函数的导数与函数单调性的关系，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得实数的取值范围；（2）将方程的实数根代入方程，再变形得到，利用分析法，转化为证明，通过换元，构造函数，转