《高等数学与工程数学》课件第八章　典型习题解答与提示

第八章多元函数积分学典型习题解答与提示习题8-11．（1）；（2）。2．提示：利用。3．（1）小于零；（2）零；（3）大于零；（4）大于零。4．（1）利用估值不等式易于发现，当在边界时，函数取得最小值和最大值，已知，故，即，，所以；（2）提示，，，故。5．（1）0；（2）0；（3）。习题8-21．（1）；（2）9；（3）；（4）0。2．（1）；（2）；（3）令，，令，则，；（4）；（5）。3．。4．（1）；（2）；（3）；5（4）区域D用不等式组表示，，所以；（5）提示：区域D用不等式组表示，，故原式；（6）区域D用不等式组表示，，其中，因此。5．图略（1）；（2）；（3）；（4）。6．（1）；（2）；（3）。7．（1）；（2）；（3）化为极坐标形式，，注意到，则；（4）变换成极坐标，，；（5）变换成极坐标，，；（6）变换成极坐标，，。习题8-31．（1）两个曲面的交线在面的投影曲线，就是区域D的边界曲线，因此，可以从上面两个方程中消去而得到，即。所以立体体积可以看作两个有同底的曲顶柱体体积之差，一个是以抛物柱面为顶的曲顶柱体，一个是以椭圆抛物面为顶的曲顶柱体，所以；（2）所求体积V是以区域D的圆为底，以为顶的曲顶柱体体积，即；（3）所求体积V是以区域D的圆为底，以旋转抛物面为顶的曲顶柱体的体积，即；（4）所求体积V是以区域D的圆与圆所围平面区域为底，以旋转抛物面为顶的曲顶柱体体积，即。2．（1）因为，所以的面积A为（设），，，故重心为；（2）D的面积（设），根据对称性，有，故所求重心为；（3）设密度函数（为比例常数）则D的质量M为，，根据对称性，，故重心坐标为。（4）设，则的面积A为（设），由于D是关于直线对称的，故，故重心为；（5）取坐标系如图8-11，设面密度为，由于重心落在圆心上，图8图8-11习题2(5)示意即有，所以。习题8-4略习题8-51．（1）；（2）；（3）6；（4）；（5）设扇形中圆弧在轴上的端点为B，另一个为A，圆心为原点O，；（6）。2．（1）；（2）为，，为，；（3）；（4）该段直线方程为，，；（5）矩形四边方程依次为为，；为，；为，；为，。。3．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）设B在轴上的投影为A，，，所包围的区域为D，取又因为，所以。4．（1）；（2）。5．（1）积分与路径无关，原式；（2）积分与路径无关，原式；（3）积分与路径无关，原式。习题8-61．（1）D[x^3*y–y^3*x,x]D[x^3*y–y^3*x,y]（2）D[(1+x*y)^y,x]D[(1+x*y)^y,y]2．（1）D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,x]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,y,y]D[x^4+y^4–4x^2*y^2,x,y]（2）D[y^x,x,x]D[y^x,y,y]D[y^x,x,y]3．（1）Integrate[x*y^(1/2),{x,0,1},{y,x^2,x^(1/2)}]（2）Integrate[x^2/y^2,{x,1,2},{y,1/x,x}]（3）Integrate[x^2+y^2–x,{y,0,2},{x,y/2,y}]复习题八1．（1）；（2）；（3）；（4）。图8-12图8-12复习题2(1)积分区域，则。若，其中；则；（2），则若，其中，；则；（3）求交点解得，若，则若，其中，；图8-13图8-13复习题3(1)积分区域3．（1）已知由，所围，如图8-13所示，故有，则；图8-14图8-14复习题3(4)积分区域（3）；（4）已知。即有，如图8-14所示，其中；。故。4．（1）9；（2）；（3）解得交点与，，图8-15图8-15复习题4(4)积分区域（4），如图8-15所示。；（5），；（6），即，，。5．（1）立体在面上之投影区域D为，曲顶为，；（2）立体在平面上的投影区域，。6．略。7．（1），由0到1，，；（