2021-2022学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（）A． B． C． D．3．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3 B．x＜3 C．x＜3且x≠0 D．x≠34．（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的边相等 D．三个角分别相等的两个三角形全等5．（4分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝146．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则AB的长度为（）A．2 B． C．2 D．37．（4分）已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝45°，∠B＝105°，把△ABC沿水平向右方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是（）A．AD＝3 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DC＝410．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别为AB、BC边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接AE、CF，则CF长为（）A．4 B．2 C．5 D．311．（4分）如图，菱形ABCD中，∠D＝60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．若EF＝4，则△AEF的面积为（）A． B． C． D．12．（4分）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（）A．15 B．14 C．8 D．7二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（4分）“x与4的和不小于x的7倍”用不等式表示为．14．（4分）因式分解：3x2﹣12＝．15．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为．16．（4分）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和是．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是线段AB上的一点，DE⊥CE，将△BCE沿CE翻折，得到△FCE，若AD＝3，AB＝10，则点F到CD的距离为．18．（4分）重庆新晋网红打卡点光环购物公园一开业便受到市民热捧，连中央电视台都为它宣传．某奶茶店开业当天销售甲、乙、丙三款奶茶的数量之比为3：3：4，甲、乙、丙三款奶茶的单价之比为3：2：4．随着市民追捧热度的下降，端午节当天三款奶茶的销售数量与开业当天相比有所下降，甲奶茶下降的数量占端午节三款奶茶总销量的，甲、乙奶茶下降的销售数量之比为5：7，乙、丙奶茶的销售数量之比为4：11且甲奶茶的单价提高40%，甲奶茶下降的销售额占端午节三款奶茶总销售额的，则端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）（1）用公式法解方程：x2+2x﹣4＝0；（2）化简：÷（1﹣）．20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD．（1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为；（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）在坐标系中画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90度后所得△A3B3C3，则C3的坐标为．22．（10分）小融同学根据学习函数的经验，对函数y＝m|x﹣1|+x+n的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：x…﹣3﹣2﹣10123…y…210﹣1﹣2a4…请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为，a的值为；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数的图象，解决下列问题：①写出该函数的一条性质；②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象回答，当m|x﹣1|+x+n＜x﹣1时，自变量x的取值范围为．23．（10分）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？24．（10分）若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除：1635+4×4＝1651，165+1×4＝169，16+9×4＝52，52＝13×4．故16354能被13整除．（1）115366（填能或不能）被13整除，12909（填能或不能）被13整除．（2）已知一个五位正整数（0≤m≤9）能被13整除，求m的值；（3）已知一个五位正整数（0≤x≤9，0≤y≤9）既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数．25．（10分）如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.26．（8分）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接EC，连接BE交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2．①求证：∠BCE＝90°；②求AF的长．（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．

2021-2022学年重庆110中九年级（上）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．（4分）将不等式x﹣3≥0的解集表示在数轴上，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：不等式x﹣3≥0，解得：x≥3，表示在数轴上，如图所示：．故选：D．3．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3 B．x＜3 C．x＜3且x≠0 D．x≠3【解答】解：由题意得：3﹣x≠0，解得：x≠3，故选：D．4．（4分）下列命题中，是真命题的是（）A．同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的边相等 D．三个角分别相等的两个三角形全等【解答】解：A．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；B．对顶角相等，是真命题；C．全等三角形的对应边相等，原命题是假命题；D．三个角分别相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；故选：B．5．（4分）一元二次方程x2+6x﹣5＝0配方后可化为（）A．（x+3）2＝5 B．（x+3）2＝14 C．（x﹣3）2＝5 D．（x﹣3）2＝14【解答】解：∵x2+6x﹣5＝0，∴x2+6x＝5，∴x2+6x+9＝14，∴（x+3）2＝14．故选：B．6．（4分）如图，在正方形ABCD的外侧作等边△CDE，对角线AC与BD相交于点O，连接AE交BD于点F，若OF＝1，则AB的长度为（）A．2 B． C．2 D．3【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△CDE是等边三角形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，DC＝DE，∠CDE＝∠DEC＝60°，∠DAC＝45°，AC⊥BD，∴AD＝DE，∠ADE＝90°+60°＝150°，∠AOD＝90°，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣150°）＝15°，∠OAF＝45°﹣15°＝30°，∴AF＝2OF＝2，∴OA＝，∴AB＝，故选：B．7．（4分）已知ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值是（）A．6 B．﹣6 C．1 D．﹣1【解答】解：因为ab＝﹣2，a+b＝3，所以a2b+ab2＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6，故选：B．8．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（）A．100° B．105° C．110° D．120°【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ACB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝20°，∵AD是BC边上的中线，∴∠ADC＝90°，∴∠CFA＝90°+20°＝110°．故选：C．9．（4分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝45°，∠B＝105°，把△ABC沿水平向右方向平移到△DEF的位置，若CF＝3，则下列结论中错误的是（）A．AD＝3 B．∠F＝30° C．AB∥DE D．DC＝4【解答】解：∵把△ABC沿BC的方向平移到△DEF的位置，AC＝5，∠A＝45°，∠B＝105°，∴CF＝AD＝3，∠F＝∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣105°＝30°，AB∥DE，DC＝AC﹣AD＝8﹣3＝5，∴A、B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意，故选：D．10．（4分）在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D、E分别为AB、BC边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接AE、CF，则CF长为（）A．4 B．2 C．5 D．3【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，E为BC边上的中点，∴AE⊥BC，BE＝EC＝3，在Rt△AEC中，AE＝＝＝4，∵D、E分别为AB、BC边上的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∵EF＝2ED，∴EF＝AC，∴四边形EACF为平行四边形，∴CF＝AE＝4，故选：A．11．（4分）如图，菱形ABCD中，∠D＝60°．点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．若EF＝4，则△AEF的面积为（）A． B． C． D．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD＝DC，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC、△ADC都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACF＝60°，∴∠B＝∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∴∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，即∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝4，过点A作AH⊥EF于H，如图所示：则EH＝FH＝EF＝2，在Rt△AEH中，由勾股定理得：AH＝＝＝2，∴S△AEF＝EF•AH＝×4×2＝4，故选：D．12．（4分）若数a使关于x的不等式组至少有五个整数解，关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是（）A．15 B．14 C．8 D．7【解答】解：，解不等式①，得：x≤11，解不等式②，得x＞a，∵不等式组至少有五个整数解，∴a＜7；，a﹣3+2＝2（y﹣1），a﹣1＝2y﹣2，2y＝a+1，y＝，∵y﹣1≠0，∴y≠1，∴≠1，∴a≠1，∵y≥0，∴≥0，∴a≥﹣1，∴﹣1≤a＜7，且a≠1，a为整数，又∵为整数，∴a可以取﹣1，3，5，∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7．故选：D．二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．（4分）“x与4的和不小于x的7倍”用不等式表示为x+4≥7x．【解答】解：“x与4的和不小于x的7倍”用不等式表示为x+4≥7x，故答案为：x+4≥7x．14．（4分）因式分解：3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2）．【解答】解：原式＝3（x2﹣4）＝3（x+2）（x﹣2）．故答案为：3（x+2）（x﹣2）．15．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为4．【解答】解：去分母，得：2x＝m+（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：m＝4．故答案为：4．16．（4分）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形的内角和是540°．【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数为：360÷72＝5，∴这个多边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°．故答案为：540°．17．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是线段AB上的一点，DE⊥CE，将△BCE沿CE翻折，得到△FCE，若AD＝3，AB＝10，则点F到CD的距离为．【解答】解：设EF交CD于点H，作FG⊥DC于点G，如图所示，∵DE⊥CE，∴∠DEA+∠CEB＝90°，又∠EDA+∠DEA＝90°，∴∠CEB＝∠EDA，又∠DAE＝∠EBC＝90°，∴△DAE∽△EBC，∴，即，解得：AE＝1或9（9不合题意，舍去）．设DH＝x，则CH＝10﹣x，∵DC∥AB，∴∠HCE＝∠CEB，由折叠可得∠CEB＝∠HEC，EF＝EB＝9，FC＝BC＝AD＝3，∴∠HCE＝∠HEC，∴EH＝HC＝10﹣x，∴FH＝9﹣（10﹣x）＝x﹣1，在直角三角形FHC中，由勾股定理有：（x﹣1）2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝5，∴CH＝10﹣5＝5，FH＝5﹣1＝4，又CF•HF＝FG•HC，∴FG＝＝＝．故答案为：．18．（4分）重庆新晋网红打卡点光环购物公园一开业便受到市民热捧，连中央电视台都为它宣传．某奶茶店开业当天销售甲、乙、丙三款奶茶的数量之比为3：3：4，甲、乙、丙三款奶茶的单价之比为3：2：4．随着市民追捧热度的下降，端午节当天三款奶茶的销售数量与开业当天相比有所下降，甲奶茶下降的数量占端午节三款奶茶总销量的，甲、乙奶茶下降的销售数量之比为5：7，乙、丙奶茶的销售数量之比为4：11且甲奶茶的单价提高40%，甲奶茶下降的销售额占端午节三款奶茶总销售额的，则端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为7：25．【解答】解：设开业当天甲、乙、丙三款奶茶的销售数量分别为3x、3x、4x，单价分别为3y、2y、4y，端午节当天甲、乙奶茶下降的销售数量分别为5z、7z，则端午节三款奶茶总销量为40z，∴端午节当天丙奶茶的销售数量为40z﹣（3x﹣5z）﹣（（3x﹣7z）＝52z﹣6x，∵乙、丙奶茶的销售数量之比为4：11，∴（3x﹣7z）：（52z﹣6x）＝4：11，解得x＝5z，∴甲奶茶下降的销售额为3x×3y﹣（1+40%）×3y×（3x﹣5z）＝3yz，∴端午节三款奶茶总销售额为150yz，∴端午节期间甲奶茶的销售额与三款奶茶的总销售额之比为（1+40%）×3y×（3x﹣5z）：150yz＝7：25，故答案为：7：25．三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.19．（10分）（1）用公式法解方程：x2+2x﹣4＝0；（2）化简：÷（1﹣）．【解答】解：（1）这里a＝1，b＝2，c＝﹣4，∵Δ＝b2﹣4ac＝4+16＝20＞0，∴x＝＝＝﹣1±，解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）原式＝÷＝•＝a+2．20．（10分）如图，已知平行四边形ABCD．（1）用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．【解答】（1）解：如图，DE、BF为所作；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，∵CE＝CD，∴CE＝AB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵AF∥BC，∴∠CBF＝∠F，∴∠ABF＝∠F，∴AB＝AF，∴CE＝AF，即CB+BE＝AD+DF，∴BE＝DF，∵BE∥DF，∴四边形BEDF为平行四边形．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）．（1）将△ABC经过平移得到△A1B1C1，若点C的应点C1的坐标为（2，5），则点A，B的对应点A1，B1的坐标分别为（﹣1，2）、（3，2）；（2）在如图的坐标系中画出△A1B1C1，并画出与△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2；（3）在坐标系中画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90度后所得△A3B3C3，则C3的坐标为（﹣5，2）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（﹣1，2）、B1（3，2）；故答案为（﹣1，2）、（3，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，△A3B3C3为所作，C3（﹣5，2）．故答案为（﹣5，2）．22．（10分）小融同学根据学习函数的经验，对函数y＝m|x﹣1|+x+n的图象与性质进行了探究．下表是小融探究过程中的部分信息：x…﹣3﹣2﹣10123…y…210﹣1﹣2a4…请按要求完成下列各小题：（1）该函数的解析式为y＝2|x﹣1|+x﹣3，a的值为1；（2）在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数的图象，解决下列问题：①写出该函数的一条性质；②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝x﹣1的图象，根据图象回答，当m|x﹣1|+x+n＜x﹣1时，自变量x的取值范围为0＜x＜2．【解答】解：（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1）代入y＝m|x﹣1|+x+n得，解得，∴该函数的解析式为y＝2|x﹣1|+x﹣3，把x＝2代入y＝2|x﹣1|+x﹣3得，y＝2+2﹣3＝1，∴a＝1，故答案为y＝2|x﹣1|+x﹣3，1；（2）描点、连线画出函数图象如图：（3）结合函数的图象，①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣2；故答案为函数有最小值﹣2；②根据图象可知，m|x﹣1|+x+n＜x﹣1时，自变量x的取值范围为0＜x＜2，故答案为0＜x＜2．23．（10分）今年，“广汉三星堆”又有新的文物出土，景区游客大幅度增长．为了应对暑期旅游旺季，方便更多的游客在园区内休息，景区管理委员会决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知条形椅的单价是弧形椅单价的0.75倍，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张．（1）弧形椅和条形椅的单价分别是多少元？（2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进300张休闲椅，并保证至少增加1200个座位．请问：应如何安排购买方案最节省费用？最低费用是多少元？【解答】解：（1）设弧形椅的单价为x元，则条形椅的单价为0.75x元，根据题意得：，解得x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，∴0.75x＝120，答：弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元；（2）设购进弧形椅m张，则购进条形椅（300﹣m）张，由题意得：5m+3（300﹣m）≥1200，解得m≥150；设购买休闲椅所需的费用为W元，则W＝160m+120（300﹣m），即W＝40m+36000，∵40＞0，∴W随m的增大而增大，∴当m＝150时，W有最小值，W最小＝40×150+36000＝42000，300﹣m＝300﹣150＝150；答：购进150张弧形椅，150张条形椅最节省费用，最低费用是42000元．24．（10分）若将一个整数的个位数字截去，再用余下的数加上原个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除．如果和太大或心算不易看出是否是13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、检验”的过程，直到能清楚判断为止．如判断16354能否被13整除：1635+4×4＝1651，165+1×4＝169，16+9×4＝52，52＝13×4．故16354能被13整除．（1）115366不能（填能或不能）被13整除，12909能（填能或不能）被13整除．（2）已知一个五位正整数（0≤m≤9）能被13整除，求m的值；（3）已知一个五位正整数（0≤x≤9，0≤y≤9）既能被13整除，又能被3整除，求这个五位数．【解答】解：（1）11536+6×4＝11560，1156+0×4＝1156，115+6×4＝139，13+9×4＝49，∵49不是13的倍数，∴115366不能被13整除，1290+9×4＝1326，132+6×4＝156，15+6×4＝39，39÷13＝3，∵39是13的倍数，∴12909能被13整除，故答案为：不能，能；（2）由题意知：+4×5＝1300+24+10m＝1326+10m﹣2，∴10m﹣2能被13整除，∴5m﹣1能被13整除，∵0≤m≤9，∴﹣1≤5m﹣1≤44，∴5m﹣1＝0或13或26或39，∵m为整数，∴m的值为8；（3）∵既能被13整除，又能被3整除，∴+4y能被13整除，5×3+x+y能被3整除，∴5055+100x+4y＝389×13﹣2+13×8x﹣4x+4y＝13×（389+8x）+4（y﹣x）﹣2，∴4（y﹣x）﹣2能被13整除，x+y能被3整除，∵0≤x≤9，0≤y≤9，∴﹣38≤4（y﹣x）﹣2≤34，∴4（y﹣x）﹣2＝﹣26或﹣13或0或13或26，∵y﹣x为整数，∴y﹣x＝﹣6或7，∵x+y能被3整除，∴或或，∴这个五位数为59553或56550或51558．25．（10分）如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，7）．点D，E分别在OC，CB边上，且CE：EB＝5：3．将矩形OABC沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处．（1）求F点的坐标；（2）点P在第二象限，若四边形PEFD是矩形，求P点的坐标；（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点M和点N的坐标．【解答】解：（1）如图1，∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，且B（4，7），∴A（4，0），C（0，7），∵BC＝4，且CE：EB＝5：3，∴CE＝BC＝×4＝，BE＝BC＝×4＝，由折叠得，FE＝CE＝，∵∠B＝90°，∴BF＝＝＝2，∴AF＝7﹣2＝5，∴F（4，5）．（2）如图2，连结CF、PF分别交DE于点Q、G，由折叠得，DE垂直平分CF，∴Q为CF的中点，∴Q（2，6）；由（1）得，E（，7），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），∵四边形PEFD是矩形，∴点G分别为DE、PF的中点，∴G（，），设P（m，n），则4﹣＝﹣m，5﹣＝﹣n，∴m＝﹣，n＝4，∴P（﹣，4）．（3）由（1）得，F（4，5），由（2）得，D（0，2），由折叠得，DF＝CD＝7﹣2＝5＝AF，∵以点M、N、D、F为顶点的四边形是菱形，∴FM∥DN，