2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷（附答案详解）

2021年江苏省扬州市广陵区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列实数中，是无理数的为（）

A.0B.3.14C.-，D.V2

2.如图，数轴的单位长度为1,若点表示的数的绝对值相等，则点4表示的数是（）

-AB~x

A.4B.0C.—2D.—4

3.下列函数中，自变量的取值范围是x>3的是（）

A.y=x-3B-y=*C.y=y/x-3D.y=

4.如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名

D.

6.用直尺和圆规作已知角乙40B的平分线的作法如图，能得出乙IOC=4B0C的依据

是（）

7.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点4是栏杆转动的支点,

点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位

置,其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中481BC,EF//BC,^AEF=143°,

AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（）（参考数据:

sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75)

A

B

3图图

23

A.B⑥C.④④

8.如图，点力的坐标为（0,1）,点B是x轴正半轴上的一动点，以AB

为边作Rt△ABC,使=90°,匕ACB=30°,设点B的横

坐标为x,点C的纵坐标为y,能表示y与x的函数关系的图象

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二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.我国钓鱼诸岛面积约6344000平方米，数据6344000用科学记数法表示为.

10.一个长方形的面积为4a,宽为a-2,则长为.

11.请给出一元二次方程炉-4x+=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等

的实数根（填在横线上，填一个答案即可）.

12.函数）/=胃的图象与直线y=|x没有交点，则k的取值范围是.

13.甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表.如果从这四位同学中，选出

一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选同学.

甲乙丙T

平均数80858580

方差42425459

14.如图，把等腰直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则41+42=

15.如图，OP平分ZJWON,P4J.0N于点4,点Q是射线OM上

一个动点，若P4=3,则PQ的最小值为.

16.如图，力E是正八边形力BCDEFGH的一条对角线，则4B4E=

17.如图，在6X4方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格

点三角形乙，则其旋转中心是.

18.一种包装盒的设计方法如图1所示，4BCD是边长为80c/n的正方形硬纸片，切去阴

影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得4、B、C、D四点

重合于图2中的点0,形成一个底面为正方形的长方体包装盒，要使包装盒的侧面

积最大，则BE应取cm.

图1图2

三、计算题(本大题共1小题，共8.0分)

19.(1)计算：(》-2+俄一88560。一(兀+旧)°；

(2)己知a-b=&，求(a-2)2-b(2a-b)+4(a-1)的值.

四、解答题(本大题共9小题，共88.0分)

20.(1)解不等式：1一等N?；

(2)用配方法解方程：x2+4x-1=0.

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21.为了解市民对“垃圾分类知识”的知晓程度.某数学学习兴趣小组对市民进行随机

抽样的问卷调查.调查结果分为“4非常了解”“B.了解”“C.基本了解”，“。不

太了解”四个等级进行统计，并将统计结果检制成如下两幅不完整的统计图(图1,

图2),请根据图中的信息解答下列问题.

(1)这次调查的市民人数为人，图2中，n=

(2)补全图1中的条形统计图;

(3)在图2中的扇形统计图中，求“C.基本了解”所在扇形的圆心角度数;

(4)据统计，2019年该市约有市民800万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对

“垃圾分类知识”的知晓程度为“。.不太了解”的市民约有多少万人？

22.从南京站开往上海站的一辆和谐号动车，中途只停靠苏州站，甲、乙、丙3名互不

相识的旅客同时从南京站上车.

(1)求甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的概率；

(2)求甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在苏州站下车的概率.

23.如图，在Q4BCD中，E是4D边上的中点，连接BE,

并延长BE交CD的延长线于点尸.

(1)求证：^ABE=^DFEt

(2)连接BD、AF,当BE平分乙4BD时，求证：四边

形4BD尸是菱形.

24.某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：

信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加

到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；

信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.

根据以上信息，现在报名参加的学生有多少人？

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25.AB为。。直径，C为。。上的一点，过点C的切线与

4B的延长线相交于点D,CA=CD.

(1)连接BC,求证：BC=0B；

(2)E是前中点，连接CE,BE,若BE=2,求CE的

长.

26.在平面直角坐标系xOy中，将任意两点P(无i，y。与、(外心)之间的“直距”定义为:

dPQ=\xr-x2\+|yx-y2|.

例如：点M(l,-2),点N(3,-5),则d“N=|1-3|+|-2—(-5)|=5.

⑴已知两点4(-1,3)、5(2,1),则服-=；

(2)已知点M在反比例函数y=:第一象限的图象上，若线段0M=4,求d。”；

(3)已知两点4(1,0)、8(-1,4),如果直线4B上存在点C,使得在。=2,请直接写出

点C的坐标.

27.已知：如图①，矩形ABCD中，AB=4,40=6,点P是4。的中点，点F是48上的

动点，PE1PF交所在直线于点E,连接EF.

(1)EF的最小值是为；

(2)点尸从4点向B点运动的过程中，NPFE的大小是否改变？请说明理由;

(3)如图②延长FP交CD延长线于点M,连接EM、Q点是EM的中点.

①当4F=1时，求PQ的长；

②请直接写出点F从4点运动到B点时，Q点经过的路径长为.

28.已知，如图，二次函数y=-必+bx+c的图象经过点4(一1,0),B(3,0),点E为二

次函数第一象限内抛物线上一动点，EH_L无轴于点交直线BC于点F,以EF为直

径的圆OM与BC交于点R.

(l)b=；c=；

(2)当AEFR周长最大时.

①求此时点E点坐标及4EFR周长；

②点P为QM上一动点，连接BP,点Q为BP的中点，连接HQ,直接写出HQ的最大

值为:

(3)连接CE、BE,当△ERCsABRE时，求出点E点坐标.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：40是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

8.3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C.-?是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

D鱼是无理数，故本选项符合题意.

故选：D.

无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理

数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无

理数.由此即可判定选择项.

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：兀，2兀等；开方开不

尽的数；以及像0.1010010001...,等有这样规律的数.

2.【答案】C

【解析】解：：力、B两点间的距离是4,点力，B表示的数的绝对值相等，

二=|B|=4+2=2,

•・•点4表示的数是负数，

二点4表示的数是一2.

故选：C.

根据图示，可得力、B两点间的距离是4,再根据点力，B表示的数的绝对值相等，可得

|川=田|=4+2=2,据此求出点4表示的数是多少即可.

此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法.

3.【答案】D

【解析】解：4、自变量的取值范围是全体实数，故本选项错误；

B、自变量的取值范围是x73,故本选项错误；

C、自变量的取值范围是比23,故本选项错误；

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D、自变量的取值范围是x>3,故本选项正确.

故选：D.

根据被开方数大于等于0,分母不等于0对各选项分析判断利用排除法求解.

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

4.【答案】B

【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；

而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数，由中位数的定义可知，

这组数据的中位数是9；

故选：B.

根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数，由图可知锻炼时间超过8小

时的有14+7=21人.

考查了中位数、众数的概念.本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一

组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，

叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就

会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数.

5.【答案】A

【解析】解：正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正

六边形.

故选：A.

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中.

6.【答案】B

【解析】解：由作图可知，OD=0E,PD=PE,

在^OPDffiAOPE中,

OD=0E

PD=PE,

OP=OP

OPD三△OPE(SSS),

■1•Z.AOC=Z.BOC,

故选：B.

根据SSS证明三角形全等即可.

本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解

决问题.

7.【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中.关键是通过作辅助线,

构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算.

过点4作BC的平行线4G,过点E作EH1AG于H,则NEHG=4HEF=90。，.先求出

AAEH=53°,则N瓦4"=37。，然后在AEAH中，利用正弦函数的定义得出EH=4E•

sin^EAH,则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH,代入数值计算即可.

【解答】解：如图，过点4作BC的平行线4G,过点E作EH14G于H,

则"HG=乙HEF=90°,

•••Z.AEF=143°,

•••AAEH=AAEF-乙HEF=53°,

/.EAH=37°,

在4中，乙EHA=90°,/.EAH=37°,AE=1.2米,

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EH=AE-sm/.EAH=1.2x0.60=0.72(米),

"AB=1.2米，

AB+EH1.2+0.72=1.92«1.9米.

故选：A.

8.【答案】C

【解析】解：如图所示：过点C作COly轴于点D,

v乙BAC=90°,

•••Z.DAC+/.OAB=90°,

・・・Z,DCA+Z-DAC=90°,

：•Z-DCA=Z.OAB,

又・••Z.CDA=Z.AOB=90°,

・•.△CDAfAOB,

OBOAAB〃re。

—=—=—=tan300

DADCACf

则直咛

故y=V3x+1(%>0)»

则选项C符合题意.

故选：C.

利用相似三角形的性质与判定得出y与x之间的函数关系式进而得出答案.

此题主要考查了动点问题的函数图象，正确利用相似得出函数关系式是解题关键.

9.【答案】6.344X106

【解析】解：6344000=6.344X106.

故答案为：6.344x106.

科学记数法的表示形式为axKT1的形式，其中1＜同＜10,n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原

数绝对值〉1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中

|a|＜10,n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及Ji的值.

10.【答案】a(a+2)

【解析】解:根据题意得:(a3-4a)+(a-2)=a(a+2)(a一2)+(a-2)=a(a+2),

故答案为：a(a+2)

由长方形面积除以宽求出长即可.

此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键.

11.【答案】3

【解析】解：设这个常数项为a,则这个一元二次方程为程％2-4x+a=0,

,••此方程有两个不相等的实数根，

•••△>0,

...42—4a>0.即a<4,

所以这个常数项为小于4的任意一个数即可，可为3,

故答案为：3.

设这个常数项为a,则这个一元二次方程为程/-4x+a=0,根据方程有两个不相等

的根，求出a的取值范围即可.

本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个不相等

根，则4>0,此题难度不大.

12.【答案】k>2

【解析】解：•.・函数y=子的图象与直线y=|x没有交点，

：.4-2k<0,即k>2,

故答案为：k>2.

根据反比例函数与一次函数图象的特征，得到4-2k小于0,即可确定出k的范围.

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两函数的性质是解本题的关键.

13.【答案】乙

【解析】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙.

故答案为：乙.

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此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定.于是应选平均数大、方差小的运动员参

赛.

本题考查平均数和方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表

明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组

数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

14.【答案】135°

【解析】解：如图：作

・・・△4CB是等腰直角三角形，

4ACB=90°,4BAC=NB=45°,

•••EF//MN,

•••AH//EF//MN

：■41=43,Z.BAC+43+42=180°

•••41+N2+ABAC=180°

A41+42+45°=180°

•••Z1+Z2=180°-45°=135°

故答案为：135。.

本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形，平行公理及推论，作根据等腰

直角三角形得出乙4cB=90。，ABAC=NB=45°,根据平行公理和平行线性质求解

15.【答案】3

【解析】

【分析】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性

质是解题的关键.

根据垂线段最短可知当PQ10M时，PQ的值最小，再根据角平分线上的点到角的两边

的距离相等可得PQ=PA.

【解答】

解：根据垂线段最短，PQ10M时，PQ的值最小，

•••OP^-^^MON,PA1ON,

：.PQ=PA=3.

故答案为：3.

16.【答案】67.5

【解析】解：••・图中是正八边形，

各内角度数和=(8-2)x180°=1080°,

Z.HAB=-=135°,

8

4BAE=—=67.5°.

2

故答案为：67.5.

先根据多边形内角和定理求出正八边形的内角和，再求出各内角的度数，根据正八边形

的特点即可得出结论.

本题考查的是正多边形和圆，熟知正八边形的各内角都相等是解答此题的关键.

17.【答案】点N

【解析】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；

发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N

就是所求的旋转中心；

故答案为点N.

此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心.

本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连

线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.熟练掌握旋转的性质是确定旋转

中心的关键所在.

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18.【答案】20

【解析】解：如图，

由题意得，BE=CF,

设BE=CF-xcm,

:.EF=(80-2x)cm,

­.•△后?”和4CFN都是等腰直角三角形，

•••MF*EF=(40V2-V2x)cm,FN=

y/2FC=V2x(cm)»

BEFC

•••包装盒的侧面积=4MF・FN=4・

V2x(40V2-V2x)

=一8(%-20y+3200,

当x=20c?n时，包装盒的侧面积最大.

故BE应取20cm,

故答案为：20.

如图，设BE=CF=xcm,则EF=(80-2x)cm,利用△EFM和△CFN都是等腰直角三

角形，所以MF=与EF=(40V2-V2x)cm,FN=正FC=y/2xcm,利用矩形的面积

公式得到包装盒的侧面积=4.V2x(40V2-V2x)，然后根据二次函数的性质解决问题.

本题考查了二次函数的应用：解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式,

然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函

数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围.

19.【答案】解：(1)原式=4+2再—8x]-1

=4+273-4-1

=2V3-1;

(2)原式=a2—4a+4—2ab+b2+4a—4

=a2-2ab+b2

=(a—b)2,

a-b=y[2<

原式=(鱼了=2.

【解析】(1)利用负整数指数幕的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和零指

数累的意义化简计算即可；

(2)将多项式利用完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则化简合并后因式分解，利

用整体代入的方法解答即可.

本题主要考查了实数的运算，负整数指数幕的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函

数值和零指数辱的意义，整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，准确使用上述法

则与公式进行运算是解题的关键.

20.【答案】解：(1)去分母，得6-2(2x+1)23(1-x)

去括号，得6-4x-223-3x

移项，得—4x+3x>3—6+2

合并同类项，得一

系数化为1,得，x<l；

(2)x2+4x—1=0,

x2+4x+4=1+4,

(x+2)2=5,

x+2=+V5»

=y/5—2>x2=-痘—2.

【解析】(1)利用①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1的步骤

解出不等式；

(2)根据完全平方公式和配方法解出方程即可.

本题考查的是一元一次不等式的解法、配方法解一元二次方程，掌握解一元一次不等式

的一般步骤、配方法的一般步骤是解题的关键.

21.【答案】100035

【解析】解：(1)200+20%=1000人，280+1000=28%,1-28%-20%-17%=

35%,

故答案为：1000,35,

(2)1000x35%=350人，补全条形统计图如图所示：

(3)360°x20%=72°,

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答：“C.基本了解”所在扇形的圆心角度数为72。；

(4)800x17%=136万人，

答：知晓程度为“D.不太了解”的市民约有136万人.

(1)从两个统计图中可得，C类的有200人，占调查人数的20%,可求出调查人数，

(2)先求出4类的百分比，再求出B类的百分比，进而确定n的值，

(3)C类占20%,因此所对应的圆心角的度数就占360。的20%,

(4)样本估计总体，样本中。类“不太了解”的占17%,估计800万人的17%处在。类.

考查条形统计图、扇形统计图的特点及制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间

的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法.

22.【答案】解：(1)画树状图得:

丙苏州站上海站苏州站上海站苏州站上海站苏州站上海站

,••共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三名旅客在同一个站下车的有2种情况,

.理、乙、丙三名旅客在同一个站下车的概率为：I.

(2)、•甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在苏州站下车的有7种情况；

•••甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在苏州站下车的概率为：(

【解析】此题考查了树状图法与列表法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

(1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三名

旅客在同一个站下车的情况，再利用概率公式即可求得答案；

(2)由(1)可求得甲、乙、丙三名旅客中至少有一人在苏州站下车的有7种情况，然后利

用概率公式求解即可求得答案.

23.【答案】(1)证明：♦.•四边形ABCD为平行四边形,

AB//CD.

•・•点F在CD的延长线上，

・•.FD//AB.

:.乙ABE=乙DFE.

•••E是4。中点，

・•・AE=DE.

Z.ABE=Z.DFE

在△4BE和△。尸E中，=,

AE=DE

・••△/BE*DFE(44S)；

(2)证明：•••△/BEwaDFE,

:・AB=DF.

・・・AB//DF,AB=DF,

・•・四边形4BDF是平行四边形.

・・•BF平分44BD,

:.Z-ABF=乙DBF.

•・•AB//DF,

・•・乙ABF=乙DFB,

・•・乙DBF=乙DFB.

・•・DB=DF.

.••四边形ABDF是菱形.

【解析】(1)由平行四边形的性质和已知条件得出乙4BE=ZDFE,AE=DE,由AAS证

明△4BE三ZiDFE即可.

(2)由全等三角形的性质得出48=OF,证出四边形4BDF是平行四边形，再由平行四边

形的性质和己知条件得出N08F=乙。58,得出QB=OF,即可得出结论.

此题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质.此题难度不大，证明

三角形全等是解决问题的关犍，注意掌握数形结合思想的应用.

24.【答案】解：设原来报名参加的学生有x人，

依题意，得当一等=4,

x2x

解这个方程，得x=20.

经检验，x=20是原方程的解且符合题意.

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答：现在报名参加的学生有40人.

【解析】设原来报名参加的学生有工人，根据原来每位同学平均分摊的费用-参加活动

后的每位同学平均分摊的费用=4元，列出方程，再进行求解即可.

本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关

键；注意分式方程要检验.

25.【答案】(1)证明：连接OC.

・・・48为。。直径，

ACACB=90°,

・・・。。为。。切线

・•・M)CD=90°,

・•・Z,ACO=乙DCB=90°-乙OCB,

・・•CA=CD,

・•・Z.CAD=Z-D.

乙COB=Z-CBO.

・•・OC=BC.

.・.OB=BC；

(2)解：连接4E,过点B作BFJ.CE于点F.

1.•E是48中点，

•••AE=BE，

:.AE=BE=2.

・・・/B为。。直径，

・•・Z,AEB=90°.

・••乙ECB=乙BAE=45°,AB=2^2.

CB=^AB=V2.

[CF=BF=1.

・,.EF=V3-

・,.CE=14-V3*

【解析】(1)连接。C,根据圆周角定理、切线的性质得到乙4co=KDCB,根据以1=CD

得到NC4C=4D,证明NC0B=ZCB0,根据等角对等边证明；

(2)连接AE,过点B作BF1CE于点F,根据勾股定理计算即可.

本题考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解题的关键.

26.【答案】5

【解析】解：(1)服B=|-1-2|+|3-1|=3+2=5.

故答案是：5；

(2)••・点M在反比例函数y=:第一象限的图象上，

二设M的坐标为(居：)且x>0.

・・•OM—4.

x2+(>2=16,即(X+_6=16,

(x+1)2=22.

•1•=|x-0|+|^-0|=x+^=V22；

(3)设直线4B的解析式为y=kx+b[k丰0),

将点4(1,0)、8(-1,4)代入丁=/«;+小得

(k+b=0

t-k+b=4'

解哦;丁，

・•・直线AB的解析式为y=-2x+2.

设点C的坐标为(m,-2?n+2),

,**0C。=2，

\TTL—0|4~|-2,TTI4-2-0|=2,

解得：m1=0,m2=p

・••点C的坐标为(0,2)或G，-|).

(1)根据“直距”定义结合点4、B的坐标，即可求出结论；

(2)设M的坐标为(％]且x>0.利用“直距”定义得到方程/+(|)2=16,变形为(x+

第22页，共28页

|）2=22；所以=|x-0|+|：-0|=x+：；

（3）根据点4B的坐标，利用待定系数法求出直线4B的解析式，设点C的坐标为

（m,-2m+2）,根据%。=2,即可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之

即可得出结论.

本题属于反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、解含绝对值符

号的一元一次方程、勾股定理以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据“直距”

定义求值；（2）配方法在解题过程中的巧妙运用；（3）根据“直距”定义找出关于m的含

绝对值符号的一元一次方程.

27.【答案】解：（1）5

⑵"FE的大小不改变，理由如下：

作EG_L4D于G,如图2所示：

则EG=C。=4,

vPE1PF,

・・・乙EPF=90°,

・•・/,AFP=乙GPE,

又・••乙4=乙EPF=90°,

APF^LGEP,

.PE_EG_4

**PF~PA~3’

・•・tanz.PFE=耳=%

・•.々PFE的大小不改变；

(3)①如图，,・•乙4DC=90。,

"DM=90°,

乙4=乙PDM

在A/PF和中,PA=PD

VZ.APF=乙DPM

••・△AP/fDPMG4S4),

:.AF=DM=ltPF=FM,

・・.CM=4+1=5,

vPE1PF,

・・・2£垂直平分?加，

EF=EM,设CE=%,则BE=6—%,

由勾股定理得：EF2=bf2+BE2=32+(6-x)2,EM2=CF24-CM2=%2+52,

:.32+(6-x)2=%2+52

解得：x=I，

CE=I，EM=J(|)2+52=噜

v/.EPF=90°,Q点是EM的中点，

PQ=-EM=—;

“26

②石

【解析】解：（1）当P/：l和PE最短时，EF有最小值，此时点产

与4重合，如图1所示:

则四边形PABE是矩形,

・•・PE=AB=4,

♦:四边形ABCD是矩形,

.・.BC=AD=6,CD=AB=4,Z.A=/.ADC=90°,

♦.•点P是4D的中点,

•••PA=3,即PF=3,

③

第24页，共2。外

当点尸与B重合时，点Qi在4。的延长线上，设BE】=MiJ=m,

在中，m2=(m-6)2+82,

解得：m=y,

“25,7

C£j-i=~~~-6二一,

133

17

•••DQ1--ZCOEX-

口八3,78

=2+6=?

在RMHQQ1中，QQLJ22+C)2=g,

二点P的运动路径为日；

故答案为：y.

(1)当PF和PE最短时，EF有最小值，此时点F与4重合，则四边形P4BE是矩形,得出PE=

AB=4,由矩形的性质得出BC=AZ)=6,CD=AB=4,Z.A=^ADC=90°,由勾股

定理求出EF即可；

(2)NPFE的大小不改变，作EG14D于G,则EG=CD=4,证明△4PF“AGEP,得出

g=S=P求出tanz/的得=抑/

(3)①证明AAPF三△DPM,得出AF=DM=1,PF=FM,求出CM=5,由线段垂直

平分线的性质得出EF=EM,设CE=X,则BE=6-x,由勾股定理得出3?+(6-x)2=

X2+52,求出CE=|,由勾股定理求出EM的长，再由直角三角形斜边上的中线性质即

可得出结果；

②点Q的运动轨迹是线段QQr作QH14D于H.当点F与4重合时，点Q是矩形CDPE对角

线DE的中点，则Q//=2,DH=1，当点F与B重合时，点Qi在4D的延长线上，设=

=在RtACM1%中，由勾股定理得出m2=(小-6)2+82,求出zn=得出

CE=l，DQ=iCFj=p求出HQ1=f,然后在Rt△"QQi中，由勾股定理求出QQi的

、oz1o3

长即可.

本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判

定与性质、线段的垂直平分线的性质、直角三角形的斜边中线性质、勾股定理等知识，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题.

28.【答案】(1)23

(2)①