新教材适用2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算课件

第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知识梳理·双基自测知识点一导数的概念与导数的运算1．函数的平均变化率瞬时变化率3．基本初等函数的导数公式(1)C′＝_____(C为常数)；(2)(xn)′＝_____________(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝____________；(4)(cosx)′＝______________；(5)(ax)′＝______________；(6)(ex)′＝_______；(7)(logax)′＝_________；(8)(lnx)′＝______.0nxn－1cosx－sinxaxlnaexf′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)Cf′(x)5．复合函数的导数复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为_________________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．yx′＝yu′·ux′知识点二导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_____________________________________.y－y0＝f′(x0)(x－x0)题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在曲线y＝f(x)上某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义相同．(

)(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(

)(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(

)×√×××√[解析]

(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线，点P在曲线上，而过点P(x0，y0)的切线，点P可以在曲线外．(2)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点．题组二走进教材2．(多选题)(选修2P75T1改编)下列结论中不正确的是(

)ACD3．(选修2P81习题T6改编)已知函数f(x)＝2xf′(1)＋xlnx，则f′(1)＝(

)A．e B．1C．－1 D．－e[解析]

f′(x)＝2f′(1)＋lnx＋1，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，故选C.C4．(选修2P82T10改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝_____________________m/s，加速度a＝___________m/s2.[解析]

v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.－9.8t＋6.5－9.8题组三走向高考5．(2022·全国新高考卷Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，______________.6．(2019·江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_____________.(e,1)考点突破·互动探究例1考点一导数的基本运算——自主练透AD(2)求下列函数的导数．①y＝x2sinx；[分析]

(3)先求出f′(1)得出导函数的解析式，再把x＝3代入导函数解析式得f′(3)．导数计算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商再求导．(2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；⑥复合函数：由外向内，层层求导．角度1导数与函数图象

(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(

)例2考点二导数的几何意义——多维探究B(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝_____.0[解析]

(1)由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.例3y＝5x＋22e求曲线的切线方程的两种类型(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．(2)在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．角度3求参数的值(或范围)

(2022·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________.例4(－∞，－4)∪(0，＋∞)〔变式训练1〕(1)(角度1)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(

)A．2 B．1C．－2 D．－1C(2)(角度2)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(

)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0(3)(角度3)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)CB名师讲坛·素养提升曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下：方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；公切线问题的模型求解1．求两条曲线的公切线(2023·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(

)例5[解析]

设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．C[引申]本例中两曲线公切线方程为________________________.y＝2x＋1－ln2〔变式训练2〕已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝lnx＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为_______________________.y＝ex或y＝x＋12．由公切线求参数

(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．例6[解析]

(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[