第4章 概率习题课07

主要内容第四章随机变量的数字特征(一)数学期望(均值)数学期望的性质:假设以下随机变量的数学期望均存在．

1.

E(C)=C,（C

是常数）

2.

E(CX)=CE(X),（C

是常数）

3.

E(X

Y)=E(X)

E(Y),

4.

设X与Y

相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y)(二)方差1。若X:离散型.2。若X:连续型.概率密度为f(x)(1)计算公式：3。均方差或标准差:

1。

D(C)=0,(C为常数)

2。

D(CX)=C2D(X),(C为常数)

3。设X与Y是两个随机变量，则有

特别，若X与Y相互独立:D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4。

D(X)=0

P{X=E(X)}=1.(2)方差的性质5。若X服从指数分布,则E(X)=,D(X)=.3。若X~π(

),则

E(X)=

,D(X)=

.4。若X服从区间(a,b)均匀分布，则E(X)=(a+b)/2,D(X)=(b-a)2/12.6。若X~N(

,

2),则E(X)=

,D(X)=

2.2。若X~b(n,p),则E(X)=np,D(X)=npq.1。若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=pq.(三)一些常见分布的期望与方差切比雪夫不等式:定理

设随机变量X的数学期望E(X)=

,方差D(X)=

2.则对任意的正数

，有

上式称为切比雪夫(chebyshev)不等式．(四)切比雪夫不等式[注]

此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下,估计事件或的一种方法.的概率(五)协方差相关系数协方差:相关系数:X与Y不相关:

XY=0计算公式：1。Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

2。D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)协方差的性质：1。Cov(X,X)=D(X)

2。Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

3。Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)

4。Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

Cov(aX1+bX2,Y)=aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)

相关系数的性质：注:

1)若随机变量X与Y相互独立,则X与Y一定不相关;反之不一定成立。2)对二维正态随机变量(X,Y):

X与Y不相关

X与Y独立

3)二维正态分布只要知道X与Y的分布及相关系数即可确定.

设X,Y为随机变量,则1)X的k阶原点矩(k阶矩)：2)X和Y的k+l阶混合矩：(六)矩协方差矩阵3)X的k阶中心矩：4)X和Y的k+l

阶混合中心矩：协方差矩阵若n维随机变量的二阶混合中心矩都存在，称矩阵n维随机变量的协方差矩阵B2.已知随机变量X在[-1,1]上服从均匀分布，Y=X3,

则X与

Y()

(A)不相关且相互独立；(B)不相关且相互不独立；

(C)相关且相互独立；(D)相关且相互不独立。D练习题1.已知随机变量X服从二项分布,且E(X)=2.4,D(X)=1.44,

则二项分布的参数n,p的值为()

(A)n=4,p=0.6;(B)n=6,p=0.4;(C)n=8,p=0.3;(D)n=24,p=0.1.一选择题3.设X,Y为随机变量,若E(XY)=E(X)E(Y),则有()(A)D(XY)=D

(X)D(Y)(B)D(X+Y)=D

(X)+D

(Y)(C)X和Y相互独立.(D)X和Y不独立.B4.设X,Y是两个随机变量,如果存在常数a,b()使得

P{Y=aX+b}=1,且0<D

(X)<+,那么为()

(A)1；(B)-1；(C);(D).C二填空题1.设X1,X2,X3相互独立,

X1~U(0,6),X2,~N(0,4),X3~

(3),

则D(X1

-2X2+3X3)=.

2.设一次试验成功的概率为p,

进行100次