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第五章大数定律背景知识

大数定律研究的是大量的、在一定条件下的、重复的随机现象的统计规律性。它以严格的数学形式论证了随机事件在什么样的条件下发生的概率接近于0或1。

同时指出，任何随机事件，不论其发生的概率如何小，都是有可能发生的。如果试验次数充分大，且随机事件在每次试验中能以同样的概率发生，则它至少发生一次的概率可以随意地接近于1。也就是说，不论随机事件在一次试验中发生的概率如何小，只要试验次数充分大，则它一定要发生。1在历史上，1713年贝努里第一个对经验频率的稳定性给也了严格的理论证明，称为贝努里大数定理。后来切贝谢夫在一般条件下推导出了大数定理，称为切贝谢夫大数定理。1929年，辛钦在同分布的条件下推广了切贝谢夫定理，称为辛钦定理。大数定律背景知识2

大数定律切贝谢夫不等式3

例14

例2

设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定开,关彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率.提示:5提示:例36

大数定律依概率收敛:7

大数定律切贝谢夫大数定理8

大数定律切贝谢夫大数定理的启示具有有限方差的随机变量序列的平均数依概率收敛于它们的数学期望的平均数.9

大数定律贝努里大数定理10

大数定律贝努里大数定理的启示

频率具有稳定性.

这也是概率的频率定义的理论依据11

大数定律辛钦大数定理12

大数定律辛钦大数定理的启示对于同一个随机变量进行n次独立观测,则所有观测结果的算术平均数依概率收敛于随机变量的期望值.13

中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理14

中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理的启示如果一个随机现象是由众多因素共同作用引起,每一个因素在总的变化中都不起显著作用,就可以断定描述该随机现象的随机变量(不论是连续型的还是离散型的)近似地服从正态分布.15

中心极限定理拉普拉斯中心极限定理16

中心极限定理运用中心极限定理时应注意:17

中心极限定理运用中心极限定理时应注意:(2)中心极限定理成立的条件是n趋于无穷大.在具体应用时n应多大呢？一般要求n应大于30.否则误差会较大.18

例1

设电站供电网有10000盏灯,夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7,假定开,关彼此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率.提示

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