第四章 (几何变换之二)

计算机图形学基础

ComputerGraphics

赵东保

华北水利水电学院2011.9第四章投影变换1三维图形的基本问题三维图形的基本问题投影三维形体的表示消除隐藏面与隐藏线建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法2什么是投影变换

人们观察自然界的物体时，所得视觉映像同观察点、观察方向有关。同样，要用计算机生成一幅三维视图，也需要确定观察点、观察方向，还需要将观察范围以外的部分图形裁剪掉。而且，由于图形输出设备通常都是二维的，还必须将三维图形转换到输出设备的观察平面上，这一转换过程称为投影变换。平面几何投影的一些概念

投影将3维的点变换成小于3维的点投影中心观察点、视点投影面不经过投影中心的二维平面投影线从投影中心向物体上各点发出的射线投影变换投影过程投影的数学表示2什么是投影变换平行投影透视投影3投影变换的分类透视投影平行投影3投影变换分类平行投影：图形沿平行线变换到投影面上；透视投影：三维形体沿收敛于某一点的直线变换到投影面上，此点称为投影中心，称为视点。二者区别：前者：投影中心到投影面之间的距离是无限的。后者：投影中心到投影面之间的距离是有限的。前者：保持物体的有关比例不变。后者：不保持相关比例，但能够生成真实感视图，与人眼观察类似。3投影变换分类4平行投影正平行投影：投影方向与投影面的夹角为90°斜平行投影：投影方向与投影面的夹角不为90°正平行投影斜平行投影正平行投影根据投影面与坐标轴的夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，否则，得到的投影为正轴测投影。4.1正平行投影4.1.1正投影（三视图）yx主视图俯视图侧视图一个直角棱台的三视图正投影有主视图、侧视图和俯视图三种，投影面分别与X轴、Y轴和Z轴垂直。4.1.1正投影（三视图）三视图上保持了有关比例的不变性，可以精确地测量长度和角度等量，因此常用于工程制图。三视图的投影变换矩阵为：侧视图:主视图:俯视图:从三视图很难想象出实际物体的空间形状，解决方法是正轴测投影。正轴测投影是能够显示形体多个侧面的投影变换，分为正等测、正二测和正三测三种。当投影面与三个坐标轴之间的夹角都相等时为正等测，其三个坐标分量保持相同的变化比例；当投影面与两个坐标轴之间的夹角相等时为正二测，其三个坐标分量中的两个保持相同的变化比例；当投影面与三个坐标轴之间的夹角都不相等时为正三测，其三个坐标分量的变化比例各不相同。4.1.2正轴测投影假定选定投影面垂直于Z轴，如图(a)中虚线所示。先将投影面绕Y轴逆时针旋转β角，如图(a)中实线所示。再绕X轴顺时针旋转α角，如图(b)中实线所示。最后在Z轴方向上作正投影，即得到正轴测投影的变换矩阵。4.1.2正轴测投影这是一般形式的正三测投影变换矩阵，适当选取β角和α角，就可以得到特例情况下的，正二测和正等测投影变换。对于正等测投影变换，根据定义，不同坐标轴上的单位矢量经变换后变化比例相同，其模应相等，由此可以推导出正等测投影变换矩阵。根据定义应有：求解可得：因此正等测投影变换矩阵为：120°120°120°(a)正等轴测yzx投影平面对于正二测投影变换，根据定义，不同坐标轴上的单位矢量经变换后应有两个变化比例相同，其模相等，因此再假定任意一个角度后，可以解算出另一个角度，由此推导出正二测投影变换矩阵。对于正三测投影变换，根据定义，不同坐标轴上的单位矢量经变换后其变化比例各不相同，故须事先假定β角和α角，方可得正三测投影变换矩阵。(c)正三轴测yzx投影平面(b)正二轴测投影平面yzx4.2斜平行投影斜平行投影与正平行投影的区别在于投影方向与投影面不垂直。斜平行投影能够将正平行投影的可测量性和正轴测投影的立体效果特性结合起来。比如选择投影面垂直于某个坐标轴，这样，对平行于投影面的物体表面其长度和角度投影后保持不变，可进行测量。同时，它还可以显示一些其面。4.2斜平行投影如右图所示：投影面选择垂直于Z坐标轴，且过原点。空间一点P