2023-2024学年湘教版必修第一册 角的概念的推广 课件（35张）

核心知识目标核心素养目标1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义.2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示.1.通过角的概念的推广过程,经历由具体到抽象,重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养.2.通过象限角及终边相同角的应用,加强逻辑推理、数学运算的核心素养的培养.知识探究·素养启迪课堂探究·素养培育知识探究·素养启迪1.角的概念的推广(1)角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置所成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类:知识探究逆时针名称定义图形正角以

方向旋转所成的角负角以

方向旋转所成的角零角一条射线

旋转所成的角顺时针不(3)任意角:任意角包括

、

和

.2.象限角角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边(除端点外)落在第几象限,就说这个角是

.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{β|β=

},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与

的和.正角零角负角第几象限角α+k·360°,k∈Z整数个周角小试身手1.角-120°的终边所在象限是(

)(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限C解析:因为-120°=-360°+240°,又因为角240°终边在第三象限,所以角-120°的终边在第三象限.故选C.2.与-60°角的终边相同的角是(

)(A)300° (B)240° (C)120° (D)60°解析:因为-60°=-360°+300°,所以与-60°角的终边相同的角是300°.故选A.A3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC等于

.

解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=-150°.答案:-150°答案:82.5°课堂探究·素养培育探究点一角的概念辨析[例1]下列命题正确的是(

)(A)第一象限的角一定不是负角(B)小于90°的角一定是锐角(C)钝角一定是第二象限的角(D)终边相同的角一定相等解析:-300°是第一象限角,且是负角,故选项A错;-45°<90°,但-45°不是锐角,故选项B错;钝角的集合是{α|90°<α<180°},是第二象限角,故选项C正确;-45°与315°是终边相同的角,但不相等,故选项D错.故选C.即时训练1-1:已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面的关系正确的是(

)(A)A=B=C (B)A⊆C(C)A∩C=B (D)(B∪C)⊆C解析:第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;锐角可表示为0°<β<90°;小于90°的角可表示为γ<90°;由三者之间的关系可知.选D.方法总结判断角的概念问题的关键与技巧(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.(2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.探究角度1求与已知角终边相同的角[例2]已知角α=45°,在-720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β.探究点二终边相同角的理解即时训练2-1:在0°～360°范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.(1)-120°;解:(1)因为-120°=240°-360°,所以在0°～360°范围内,与-120°角终边相同的角是240°角,它是第三象限角.即时训练2-1:在0°～360°范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.(2)660°;解:(2)因为660°=300°+360°,所以在0°～360°范围内,与660°角终边相同的角是300°角,它是第四象限角.即时训练2-1:在0°～360°范围内找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角.(3)-950°8′.解:(3)因为-950°8′=129°52′-3×360°,所以在0°～360°范围内,与-950°8′角终边相同的角是129°52′角,它是第二象限角.方法总结在给定的区间内寻找与某特定角度终边相同角的方法(1)将所求的角β化为k·360°+α的形式(k∈Z),其中的α就是所给的角.(2)根据所给的区间及k·360°+α(k∈Z),寻找k的取值范围.探究角度2终边在射线(或直线)上角的集合[例3]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.解:①在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0°和180°,因此,所有与0°角终边相同的角构成集合S1={β|β=k·360°,k∈Z},而所有与180°角终边相同的角构成集合S2={β|β=180°+k·360°,k∈Z},于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1∪S2={β|β=k·180°,k∈Z}.[例3]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.解:②由图形易知,在0°～360°范围内,终边在直线上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.方法总结(1)终边共线的角的写法:分别写出每条终边所代表的角集合,然后取并集.在取并集时要化简合并.(2)一般地,与角α(0°≤α<180°)的终边在一条直线上角的集合是{β|β=k·180°+α,k∈Z}.探究角度3区域角的表示[例4]如图所示.(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合;解:(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°,k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°,k∈Z}.[例4]如图所示.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解:(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{β|k·360°+210°≤β≤k·360°+300°,k∈Z}.[变式训练4-1]将本例图改为如图所示,试写出终边落在图中阴影部分的角的集合.解:设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成:①{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}.②{α|k·360°+225°≤α<k·360°+315°,k∈Z}.所以角α的集合应当是集合①与②的并集,{α|45°+k·360°≤α<135°+k·360°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α<k·360°+315°,k∈Z}={α|2k·180°+45°≤α<2k·180°+135°,k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+45°≤α<(2k+1)·180°+135°,k∈Z}={α|n·180°+45°≤α<n·180°+135°,n∈Z}.方法总结区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.写出区域角的步骤如下(1)确定边界线对应的角:确定起始和终止边界线分别对应的一个角α,β,-360°<α<360°,-360°<β<360°.(2)写出终边相同的角:边界线为射线时,终边相同的角为α+k·360°,β+k·360°,k∈Z;边界线为直线时,终边相同的角为α+k·180°,β+k·180°,k∈Z.(3)写出角的集合:按逆时针旋转规则,从小到大写出角的集合.易错警示在书写集合时,边界线是实线写成闭区间,边界线是虚线写成开区间;当右端点对应的0°～360°内的角小于左端点对应的0°～360°内的角时,左端点用相应的负角.方法总结(1)象限角的判定方法①根据图象判定.利用图象实际操作时,依据是终边相同的角的概念.②将角转化到0°～360°范围内,在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.备用例题解析:终边落在第一象限的角不一定是锐角,如400°的角是第一象限角,但不是锐角,故①的说法是错误的;同理第二象限角也不一定是钝角,故③的说法也是错误的;360°角的始边和终边也重合,故④的说法是错误的.答案:②⑤[例1]下列说法中,正确的是

(填序号).

①终边落在第一象限的角为锐角;②锐角是第一象限角;③第二象限角为钝角;④始边和终边重合的角是零角;⑤角α与-α的终边关于x轴对称.[例2](1)已知角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θ+α=

;

解析:(1)设角β与角α的终边相同,则-β与β关于x轴对称,根据终边相同角的表示,可得α=β+k1·360°,k1∈Z,θ=-β+k2·360°,k2∈Z,故θ+α=(-β+k2·360°)+(β+k1·360°)=(k1+k2)·360°=k·360°,k∈Z.答案:(1)k·360°,k∈Z(2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γ+α=

.

解析:(2)设角β与角α的终边相同,则180°-β与β关于y轴对称,根据终边相