2023-2024学年湘教版数学七年级上册 2.5整式的加法和减法

第2章

代数式2.5整式的加法和减法第1课时

合并同类项蔬菜水果

生活中，我们常常把具有相同特征的事物归为一类，请同学们给下列物品分类.情景引入观察超市货物摆放观察药店药品摆放

如果有一罐硬币(分别为一角、五角、一元的)，你会如何去数呢?问题1

有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的次数的特征将这些小白兔分到三个不同的房间里吗？8n-7a2b3ab22a2b6xy5n-3xy-ab2同类项的辨别问题2

有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到四个不同的房间里吗？这些被归为同一类的兔子有什么相同的特征？

8n-7a2b3ab22a2b6xy5n-3xy-ab2同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项.（1）两个相同：字母相同；相同字母的次数相同；

（2）两个无关：与系数大小无关，与字母顺序无关；

（3）所有的常数项都是同类项.

说明：知识要点找朋友游戏一游戏二同类项速配（3）-3pq与3qp.（1）2x2y与

-3x2y

（2）2abc与2ab.（4）-4x2y与5xy2

.先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.√√3abcx2y××总结归纳（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.（3）不要忘记几个单独的数也是同类项.同类项的判别方法：典例精析(2)如果2a2bn+1

与

-4amb3

是同类项，那么

m=

，n=

.

例1(1)在6xy-3x2

-

4x2y

-

5yx2+x2

中没有同类项的项是

.

226xy分析：根据同类项的定义，可知

a

的指数相同，b的指数也相同，即

m=2，n+1=3.xxx2+

3=5=3-a2bca2bca2bc2奇妙的替换你还有其他方法解释吗？合并同类项利用乘法分配律可得(2+3)xx2+3=x=3a2bca2bca2bc－2(3－2)=5x=a2bc把同类项合并成一项叫做合并同类项.

例2合并下式中的同类项：（1）（2）解：（1）（2）

例3合并下式中的同类项：（1）（2）解：（1）1.将同类项在底下划线标出；2.运用加法的交换律和结合律，把同类项放在一起；3.合并同类项.（2）注意：对于不同的同类项，分别用不同的线标出.“合并同类项”的方法：一找，找出多项式中的同类项，不同类的项用不同的标记标出；二移，利用加法的交换律，将同类项集中到不同的括号内；三并，将同一括号内的同类项合并即可.总结归纳系数相加，字母及其指数不变(1)a+a=2a(2)3a+2b=5ab(3)5y2

-3y2

=2下列合并同类项对吗？不对的，说明理由.(4)

4x2y

-

5xy2

=

-

x2y(5)

3x2

+

2x3

=

5x5(6)

a+

a

-

5a=

-

3a说一说×√×××√

你会计算吗？⑴100t－252t;⑵3a+2b－5a－b;⑶－4ab+8－2b2－9ab－8.试一试答案：(1)-152t；(2)-2a+b；(3)－13ab－2b2.先分组，再合并练一练合并同类项：(1)6x＋2x2－3x＋x2＋1；(2)－3ab＋7－2a2－9ab－3.解：(1)原式=(6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1=3x＋3x2＋1(2)原式=(－3ab－9ab)－2a2＋(7－3)=－12ab－2a2＋4先分组，再合并

例4(1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，

其中

x=；

分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=-

x-2

当

x=时，原式=

例4(2)求多项式

的值，

其中

a=，b=2，c=-3.

解：当

a=，b=2，c=-3时，原式=1.议一议

在不知道

a，b

的情况下，能否求出“7a2－5b2＋3a2b－4a2＋b2－3a2b－3a2＋4b2－2”的值，若能，请求出数值；若不能，请说明理由．解：能.化简7a2－5b2＋3a2b－4a2＋b2－3a2b－3a2＋4b2－2=(7a2－4a2－3a2)+(－5b2＋b2＋4b2)+(3a2b－3a2b)－2=－2，所以，无论

a，b取什么值，代数式的值都为2.例5

一天，小明奶奶提着一篮子土豆去换苹果，双方商定的结果是：1

kg土豆换

0.5kg苹果.当称完带篮子的土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别称篮子的重量了，称苹果时也带篮子称，这样既省事又互不吃亏.”你认为摊主的话有道理吗？请你用所学的有关数学知识加以判定.解：设土豆重

akg，篮子重

bkg，则应换苹果

0.5a

kg.若不称篮子，则实换苹果为

0.5a＋0.5b－b＝(0.5a－0.5b)kg，很明显小明奶奶少得苹果

0.5bkg.所以摊主说得没有道理，这样做小明奶奶吃亏了.1.

下列各组式子中是同类项的是（）

A．-2a与

a2B．2a2b与3ab2

C．5ab2c与

-b2acD．-ab2和4ab2c2.

下列运算中正确的是（）

A．3a2

-2a2

=a2B．3a2

-

2a2=1C．3x2

-

x2

=3D．3x2

-

x=2xCA3.如果5x2y与

xmyn是同类项，那么

m=

，n=____.4.合并同类项：（1）-a-a-2a=______；（2）-xy-5xy+6yx=____；（3）0.8ab2-

a2b+0.2ab2=

；（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=

.1-4a0ab2-

a2b28a2b

-2ab2+35．合并同类项:(1)-7mn+mn+5nm；

(2)3a2b-4ab2

-

4+5a2b+2ab2+7．

-

mn8a2b

-

2ab2+36．求值：a2b

-

6ab

-

3a2b+5ab+2a2b，

其中

a=0.1，b=0.01．-0.001合并同类项的方法——“一加二不变”同类项的概念与系数无关(不为0)与所含字母的顺序无关两无关两同相同字母的指数相同所含字母相同合并同类项第2章

代数式2.5

整式的加法和减法第2课时

去括号

同学们还记得用火柴棒搭正方形时，怎样计算所需要的火柴棒的根数吗？拿出准备好的火柴自己搭一下，然后再按如下做法搭.

第一个正方形用4根，每增加一个正方形增加3根，那么搭

x个正方形就需要火柴棒

根.[4+3(x－1)]

把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的，然后再减多算的根数，得到的代数式是

.[4x－(x－1)]

(3x+1)

合作探究

搭

x个正方形，用的方法不一样，列出的式子不同，但所用火柴棒的根数一样，用数学知识来说明它们为什么相等呢？去括号法则

代数式4＋3(x－1)，有括号，用乘法分配律可以把3乘到括号里，得4＋3x－3，而4与

－3是同类项可以合并，这时，代数式就变为3x＋1.即4＋3(x－1)＝4＋3x－3

(乘法分配律)＝3x＋1.

(合并同类项)

代数式4x－(x－1)可以看作是4x+[－(x－1)]，而－(x－1)可写成(－1)(x－1)，所以4x－(x－1)就等于4x－x＋1，合并同类项得3x＋1.从而得出结论：这三个代数式是相等的.即4x－(x－1)＝4x+(－1)(x－1)＝4x－x＋1＝3x＋1.议一议观察比较两式等号两边画横线的变化情况.(1)4＋3(x－1)＝4＋3x－3＝3x＋1；(2)4x－(x－1)＝4x－x＋1＝3x＋1.去括号前后，括号里各项的符号有什么变化？思考：

括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；

括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.去括号法则：

例1

计算：（1）(5x-1)+(x-1);(2)(2x+1)-(4-2x).解：

（1）(5x-1)+(x-1)

=5x-1+x-1=6x-2；（2）(2x+1)-(4-2x)

=2x+1-4+2x=4x-3.括号前是“+”号，运用加法结合律把括号去掉，括号里各项的符号都不改变.括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，原括号里各项都符号都要改变.典例精析【归纳总结】(1)去括号时，不仅要去掉括号，还要连同括号前面的符号一起去掉．(2)去括号时，首先要弄清括号前是“＋”号还是“－”号．(3)注意法则中的“都”字，变号时，各项都变号；不变号时，各项都不变号．(4)当括号前有数字因数时，应运用乘法分配律运算，切勿漏乘．(5)出现多层括号时，一般是由里向外逐层去括号.判断正误.

(1)3(x+8)=3x+8(2)-3(x-8)=-3x-24(3)-2(6-x)=-12+2x×3x+3×8错因:分配律，漏乘3.×-3x+24错因:括号前面是负数，去掉负号和括号后每一项都变号.√做一做利用去括号化简求值练一练先化简，再求值：3x2＋(2x2－3x)－(－x＋5x2)，其中

x＝314.解：原式＝3x2＋2x2－3x＋x－5x2＝－2x.当x＝314时，原式＝－2×314＝－628.

例3

两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是

a千米/时.问：(1)2小时后两船相距多远?解：顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h，

逆水速度=船速

-

水速=(50-

a)km/h.2小时后两船相距(单位：km)2(50+a)+2(50-

a)=100+2a+100-2a=200.去括号化简的应用解：2小时后甲船比乙船多航行(单位：km)2(50+a)-2(50-

a)=100+2a-100+2a

=4a.(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?1.化简m－n－(m＋n)的结果是

(

)A.0

B．2m

C．－2n

D．2m－2n2.化简4x－4－(4x－5)＝_______.3.化简2(2x－5)－3(1－4x)＝________.4.三角形的第一边长是(2a＋b)cm，第二边长是2(a＋b)cm，第三边长比第二边长短

bcm，则这个三角形的周长是________cm.C116x－13(6a+4b)5.化简下列各式：（1）8m＋2n＋(5m－n)；（2）(5p－3q)－3(p2－2q)．解：6.已知2xmy2与

－3xyn

是同类项，计算

m－(m2n＋3m－4n)＋(2nm2－3n)的值.答案：27.有理数

a，b，c在数轴上位置如图，化简代数式│a│－│a＋b│＋│c－a│＋│b－c│.答案：a－2c8.某商店有一种商品每件成本

a元，原来按成本增加

b元定出售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80%出售，又销售了60件.（1）销售100件这种商品的总售价为多少元？（2）销售100件这种商品共盈利多少元？解：（1）根据题意得：40（a＋b）＋60（a＋b）×80%＝88a＋88b（元），则销售100件这种商品的总售价为（88a＋88b）元；（2）根据题意得：88a＋88b－100a＝－12a＋88b（元），则销售100件这种商品共盈利（－12a＋88b）元.括号前面是“＋”号，里面各项不变号.括号前面是“－”号，里面各项全变号．

乘系数

去括号

合并同类项④代入求值去括号法则解题步骤去括号第2章

代数式2.5整式的加法和减法第3课时

整式的加减任意写一个两位数交换它的十位数字与个位数字，又得到一个数两个数相加小组游戏

重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？

+

=

.11a+11b=11(a+b)合作探究

如果用

a，b

分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为：

.交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是：

.将这两个数相加：10a+b10b+a(10a+b)(10b+a)结论：这些和都是11的倍数.整式的加减做一做任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数两个数相减你又发现什么了规律？

原三位数728，百位与个位交换后的数为827，由728－827=－99.你能看出什么规律并验证它吗？举例：任意一个三位数可以表示成100a+10b+c

设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a，它们的差为：

(100a+10b+c)－(

100c+10b+a)=100a+10b+c－100c－10b－a=99a－99c=99(a－c)验证：议一议

在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？去括号、合并同类项

整式的加减运算

例1

求多项式与的和.解：有括号要先去括号有同类项再合并同类项结果中不能再有同类项典例精析解：根据题意，得

例2

求多项式与多项式的和与差.

去括号合并同类项去括号合并同类项练一练

例3

先化简，再求值.

，其中

x=1，y=-2.解：当x=1，y=-2时，整式加减的应用

(1)整式的加减运算重点注意去括号时的符号、系数的处理，不要把符号弄错，不要漏乘括号外的系数；(2)整式的化简求值题，能够化简的最好先化简，尽量不要直接把字母的值代入计算．方法归纳先将式子化简，再代入数值进行计算解：当

时，原式→去括号→合并同类项﹜将式子化简

的值，其中练一练

求例4

如图，正方形的边长为

x，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当

x

=

4

m

时阴影部分的面积（

取3.14）.xx解：阴影部分的面积为：当x=4

m

时，阴影部分的面积为：

解决整式加减的实际应用题时，先要把具体量用代数式表示出来，然后根据整式加减运算的法则、步骤进行计算．注意最后结果是几个单项式的和的形式，且要带单位时，要整体加括号．方法归纳例5

做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm)：

（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？长宽高小纸盒abc大纸盒1.5a2b2cabc1.5a2b2c解：小纸盒的表面积是(

)cm²

大纸盒的表面积是(

)cm²

做这两个纸盒共用料：

(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)

=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca=8ab+10bc+8ca(cm²)2ab+2bc+2ca6ab+8bc+6caabc1.5a2b2c做大纸盒比做小纸盒多用料(6ab+8bc+6ca)-

(2ab+2bc+2ca)=

6ab+8bc+6ca

-

2ab

-

2bc

-

2ca=4ab+6bc+4ca(cm²)（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？解：小纸盒的表面积是

(2ab+2bc+2ca)cm²

大纸盒的表面积是

(6ab+8bc+6ca)cm²

通过上面的学习，你能得到整式加减的运算法则吗？

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.想一想

例6已知A＝－6x2＋4x，B＝－x2－3x，C＝5x2－7x＋1，小明和小白在计算时对

x

分别取了不同的数值，并进行了多次计算，但所得A－B＋C的结果却是一样的．你认为这可能吗？说明你的理由．理由：A－B＋C＝(－6x2＋4x)－(－x2－3x)＋(5x2－7x＋1)

＝－6x2＋4x＋x2＋3x＋5x2－7x＋1＝1.

解：可能．

由于结果中不含

x，所以不论

x取何值，A－B＋C的值都是1.解：(3x2－2x+1)－2(x2－x)－x2＝3x2－2x+1－2x2+2x－x2＝1.1.计算(3x2－2x+1)－2(x2－x)－x2

的值，其中

x＝－2，小明把“x＝－2”错抄成“x＝2”，但他的计算结果仍是正确的，这是怎么回事？说明理由.

由于结果中不含

x，所以不论

x取何值，原式的值都是1.2.计算：(1)－ab3+2a3b－