2023-2024学年湘教版数学七年级上册 1.4有理数的加法和减法

1.4有理数的加法和减法第1章有理数第1课时有理数的加法1.4.1有理数加法我是火炬手点击演示1+1-1(+1)+(-1)＝0

动物王国举办奥运会，蚂蚁当火炬手，它第一次从数轴上的原点上向正方向跑一个单位，接着向负方向跑一个单位．蚂蚁经过两次运动后在哪里？如何列算式？情境引入合作探究

一只可爱的小狗，在一条东西走向的笔直公路上行走，现规定向东为正，向西为负.

01234-1-2-3东有理数的加法法则

如果小狗先向东行走2米，再继续向东行走1米，那么小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？01234-1-2-3东

解：小狗一共向东行走了(2+1)米，写成算是为：

(+2)+(+1)=

+(2+1)(米).想一想

如果小狗先向西行走2米，再继续向西行走1米，那么小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？01234-1-2-3东想一想

解：两次行走后，小狗向西走了(2+1)米.用算式表示：(-2)+(-1)=-(2+1)(米).两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加

(1)如果小狗先向西行走3米，再回头向东行走2米，那么小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？01234-1-3-2东解：小狗两次一共向西走了(3-

2)米.用算式表示为：-3+(+2)=-(3-

2)(米).想一想

(2)如果小狗先向西行走2米，再回头向东行走3米，那么小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？01234-1-2东解：小狗两次一共向东走了(3

-

2)米.用算式表示为：-2+(+3)=+(3

-

2)(米).(3)如果小狗先向西行走2米，再回头向东行走2米，那么小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？01234-1-2东

(-2)+(+2)=0(米).

解：小狗一共行走了0米.写成算式为：从上面收到启发，数学上规定：

异号两数相加，当两数的绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并且用较大的绝对值减去较小的绝对值.

如果小狗先向西行走3米，然后在原地休息，那么小狗向哪个方向行走了多少米？01234-1-2-3东解：小狗向西行走了3米.写成算式为：(-3)+0=-3(米).一个数同0相加，仍得这个数.想一想（+20）+（+30）=+50.（-20）+（-30）=-50（+20）+（-30）=

-10（-20）+（+30）=+10（-20）+（+20）=0（-20）+0=-20思考：观察前面的到的六个算式(如下)，你能发现两个有理数相加，和的符号、和的绝对值是怎样确定的吗？同号异号互为相反数与零相加得到的结果与两个加数的符号及绝对值有关有理数加法法则(1)两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加．(2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．(3)互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数．如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数．总结归纳例1

计算：（1）（-8）＋（-12）；（2）（-3.75）＋（-0.25）.解：(1)(-8)+(-12)=-(8+12)=-20.(2)(-3.75)+(-0.25)=-(3.75+0.25)=-4.典例精析例2

计算：（1）（-5）＋9；（2）7＋（-10）；（3）+；(4)+.解：(1)(-5)+9=+(9-5)=4；(2)7+(-10)=-(10-7)=-3；(3)(4)有理数加法运算的步骤：

辨别两个加数是同号还是异号；

根据加数的绝对值的大小及加数的符号确定和的符号；

对绝对值进行加减运算确定和的绝对值.即是“一判二定三加减”.总结归纳（1）（+7）＋（+6）；（2）（－5）＋（-9）；（4）（－10.5）＋（+21.5）.（3）；解：（1）（2）（3）（4）典例精析例3

计算：例4

计算：（1）(-

7.5)+(+7.5)；

（2）(-

3.5)+0.解：互为相反数的两数和为0.（1）(-

7.5)+(+7.5)=0.（2）(-

3.5)+0=-

3.5.红队黄队蓝队净胜球红队4∶10∶12黄队1∶41∶0－2蓝队1∶00∶10

例5

足球循环赛中，红队胜黄队4∶1，黄队胜蓝队1∶0，蓝队胜红队1∶0，计算各队的净胜球数.分析：有理数加法的应用

解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数.

三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为（＋4）＋（－2）＝＋（4－2）＝2.

黄队共进2球，失4球，净胜球为（＋2）＋（－4）＝－（4－2）＝－2.

篮球共进（）球，失（）球，净胜球数为[

].11（＋1）＋（－1）＝0

海平面的高度为0m.一艘潜艇从海平面先下潜40m，再上升15m.求现在这艘潜艇相对于海平面的位置.（上升为正，下潜为负）

解：潜水艇下潜40m，记作

-40m；上升15m，记作+15m.根据题意，得(-40)+(+15)=-(40-25)=-25(m)答：这艘潜艇位于海平面下25m处.-30m-20m海平面-10m0m-40m针对训练

1.判断正误：

（1）两个负数相加，绝对值相减；

（2）正数加负数，和为负数；

（3）负数加正数，和为正数；

（4）两个有理数的和为负数时，这两个有理数都是负数.错误错误错误错误2.气温由

-3

℃

上升

2

℃，此时的气温是（

）A．-2

℃B．-1

℃C．0

℃D．1

℃3.有理数

a、b

在数轴上的位置如图所示，则

a

+

b

的值（）A．大于

0

B．小于

0C．大于等于

0D．小于等于

0BAab0-114.计算：（1）(+2)+(-11)；（2）(-12)+(+12)；

（3）

（4）(-3.4)+4.3.5.某股民上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：星期一二三四五每股涨跌/元44.5－1－2.5－6(1)星期三收盘时，每股多少元？(2)本周内每股最高价为多少元？最低价为多少元？解：67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元；(2)本周内每股最高价为多少元？最低价为多少元？解：周一：67＋4＝71(元)，周二：71＋4.5＝75.5(元)，周三：75.5＋(－1)＝74.5(元)，周四：74.5＋(－2.5)＝72(元)，周五：72＋(－6)＝66(元)，所以本周内每股最高价为75.5元，最低价为66元．星期一二三四五每股涨跌/元44.5－1－2.5－6拓展：6.

已知│a│=8，│b│=2.（1）当

a、b

同号时，求

a

+

b

的值；（2）当

a、b

异号时，求

a

+

b

的值.解：因为│a│=8，│b│=2，所以

a

=±8，b

=±2.（1）因为

a、b

同号，所以

a

=8，b

=2

或

a

=-8，b

=

-2.所以

a

+

b

=±10；（2）因为

a、b

异号，所以

a

=8，b

=-2

或

a

=-8，b

=

2.所以

a

+

b

=±6.确定类型定符号绝对值同号异号(绝对值不相等)异号(互为相反数)与

0

相加相同符号取绝对值较大的加数的符号相加相减结果是

0仍是这个数有理数的加法法则：1.4有理数的加法和减法第1章

有理数第2课时

有理数加法的运算律1.4.1有理数加法情境引入

学习了有理数的加法运算法则后，爱探索的小明发现，(－3)＋(－6)与(－6)＋(－3)

相等，8＋(－3)

与(－3)＋8

也相等，于是他想：是不是任意的两个加数，交换它们的位置后，和仍然相等呢？同学们你们认为呢？-2-2观察与思考思考：(1)比较以上各组两个算式的结果，每组两个算式有什么特征？(2)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗？443﹢-5﹦＿＿，-53﹢﹦＿＿；填一填：(1)13﹢-9﹦＿＿，-913﹢﹦＿＿；(2)加法运算律3-5﹢﹦＿＿，)-7-9(﹢3-5﹢﹢﹦＿＿；-7-9()(3)8-4﹢﹦＿＿，)-6-2(﹢8-4﹢﹢﹦＿＿.-6-2()(4)思考：(1)请用精炼的语言把你得到的结论概括出来；(2)你能用字母把这个规律表示出来吗？有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置和不变.加法交换律：a+b=b+a有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)思考：通过上面的计算和对比你能发现什么？解：（1）16+(-25)+24+(-32)=16+24+(-25)+(-32)

(加法交换律)=(16+24)+[(-25)+(-32)]

(加法结合律)=40+(-57)

(同号相加法则)=-17.

(异号相加法则)例1计算：(1)16+(-25)+24+(-32)；(2)31+(-28)+28+69.（2）31+(-28)+28+69=31+69+[(-28)+28]（加法交换律和结合律）=100+0=100.例2

计算：（1）(-32)+7+(-8)；（2）4.37+(-8)+(-4.37)；（3）

解：（1）（2）解：（3）

常用的三个规律：1.有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；2.有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加；3.然后把正数或负数分别结合在一起相加.小组讨论：你是抓住数的什么特点使计算简化的？依据是什么？

（1）(-2.48)+4.33+(-7.52)+(-4.33)；（2）例3

计算：解：原式=[(-2.48)+(-7.52)]+[(+4.33)+(-4.33)]=(-10)+0=-10.解：原式例4某台自动存取款机在某时段内处理了以下

6

项现款储蓄业务：存入

200

元、支出

800

元、支出

1000

元、

存入

2500

元、支出

500

元、支出

300

元.

问该自动存取款机在这一时段内现款增加或减少了多少元？

解：记存入为正，则由题意可得答：该自动存取款机在这一时段内现款增加了100元.加法运算律的应用例5

某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从

A地出发，晚上最后到达

B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下．(单位：km)＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.(1)B地在

A地何方，相距多少千米？解：(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝(＋18)＋(＋7)＋(＋13)＋(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)＝38＋(－37)＝1(km)．故

B地在

A地正北方，相距1千米；(2)若汽车行驶1km耗油

aL，求该天耗油多少L?解：该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a

＝

75a

(L)．答：该天耗油

75a

L.方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．1.计算：（1）23

+（－17）+

6

+（－22）＝（23+6）+[（－17）+（－22）]＝29－39＝－10.＝[（－2）+

2]

+

[（－3）

+

3

]

+

[1

+（－4）]＝1－4＝－3.（2）（－2）+

3

+

1

+（－3）+

2

+（－4）2.计算：=9－11=－2.3.10

筐苹果，以每筐

30

千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：

2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-2.5.问这

10

筐苹果总共多少千克？=

8

+

(-4)解：根据题意得：

2

+

(-4)

+

2.5

+

3

+

(-0.5)

+

1.5

+

3

+

(-1)

+

0

+

(-2.5)=

(2

+

3

+

3)

+

(-4)

+

[

2.5

+

(-2.5)

]

+

[(-0.5)

+

(-1)

+

1.5]=

4.所以这

10

筐苹果总共为：30×10+4=304（千克）.4.

10

袋小麦称后记录如图所示.10

袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以

90kg为标准，10

袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？919191.388.791.58991.288.891.891.1学科网解法1：先计算

10

袋小麦一共多少千克：91＋91＋91.5＋89＋91.2＋91.3＋88.7＋88.8＋91.8＋91.1＝905.4.再计算总计超过多少千克：905.4－90×10＝5.4.答：10

袋小麦一共

905.4kg，总计超过

5.4

kg.解法2：每袋小麦超过90kg的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10

袋小麦对应的数分别为

+1，+1，+1.5，－1，+1.2，+1.3，－1.3，－1.2，+1.8，+1.11+1+1.5+(－1)+1.2+1.3+(－1.3)+(－1.2)+1.8+1.1＝[1+(－1)]+[1.2+(－1.2)]+[1.3+(－1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)＝5.4.90×10＋5.4＝905.4.答：10

袋小麦一共

905.4kg，总计超过

5.4kg.有理数加法的运算律交换律结合律应用a+b=_____b+a(a+b)+c=__________a+(b+c)第1课时有理数的减法第1章有理数1.4有理数的加法和减法1.4.2有理数的减法

周日2~9℃周一0~8℃周二1~7℃

周四-2~-5℃

周三-1~6℃

周六-5~5℃

周五-4~-3℃下面是某市未来一周的天气预报：情境引入问题：该市周六的温度为

-5~5℃，你能从温度计看出5℃比

-5℃高多少度吗?从温度计上可以看出5℃比

-5℃高10℃.思考：若没有温度计，你能直接求出该值吗？

周六-5~5℃问题1：你能从温度计上看出5℃比－5℃高多少摄氏度吗？用式子如何表示？问题2：5＋(＋5)=？结论：由上面两个式子我们不难得出：5－(－5)=105－(－5)=5＋(＋5)合作探究有理数的减法法则试一试：请根据提供的式子完成下列算式：(-3)+(+10)=+7(-2)+(-8)=-10②(-10)-

(-8)=①(+7)-(+10)=-3-2③(+7)+(-10)=④(-10)+(+8)=-3-2思考：算式①和②是什么运算？等式③和④是又是什么运算？结果怎样？议一议：这两个等式有什么特点？从等式中同学们对减法运算有什么认识？发现：算式左边是减法运算；算式右边是加法运算；减法运算可以转化为加法运算.(+7)-(+10)=(+7)+(-10)(-10)-(-8)=(-10)+(+8)减法计算过程演示：(+7)-(+10)=(+7)+(-10)(-10)-(-8)=(-10)+(+8)减号变加号减数变为相反数减数变为相反数减号变加号你学会了吗？有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数.表达式为:a－b=a+(－b)减号变加号减数变其相反数被减数不变通过上面的探究可得结论1.填空：（1）(

-

2)-(

-

3)=(

-

2)+(

)；（2）0

-

(

-

4)=0+(

)；（3）(

-

6)

-3=(

-

6)+(

)；（4）1

-

(+39)=1+(

).练一练34-

3-

39总结：1.任何数减零仍得原数；2.零减去一个数等于这个数的相反数.（1）0–8=（2）(–5)–0=（3）30–0=（4）0–(–15)=算一算–

815–

530例1

计算：解：

(1)0-(-3.18)=0+3.18=3.18;(2)5.3-(-2.7)=5.3+2.7=8;(3)(-10)-(-6)=(-10)+6=-4；（1）0-(-3.18)；

（2）5.3-(-2.7)；（3）(-10)-(-6)；（4）.(4)典例精析(1)(－3)―(―5);(2)0－7;(3)7.2―(―4.8);(4)－3.－5解：(1)(－3)―(―5)=(－3)+5=2.

计算:

(2)0－7=0+(－7)=－7.(3)7.2―(―4.8)=7.2+4.8=12.

(4)－3－5=－3+

=－8.练一练例2

世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是8848.86米，吐鲁番盆地艾丁湖面的海拔高度是－154.31米，两处高度相差多少米？解：8848.86－(－154.31)

=8848.86+154.31=9003.17(米).答：两处高度相差

9003.17

米.有理数减法的应用例3某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？解：

20

-

(

-

10)=20+10=30(分)，

即答对一题与答错一题相差30分.有理数减法在实际应用中的四个步骤：1.审：审清题意；2.列：列出正确的算式；3.算：按照减法运算法则，进行正确的计算；4.答：写出实际问题的答案.归纳总结例4有理数

a，b在数轴上的位置如图所示，试判断

a-

b的符号.

解：因为

a在原点左边，所以

a＜0.因为

b在原点右边，所以

b＞0，所以

a

-

b=a+(

-

b)＜0．ab0

差的符号讨论：对于任意有理数

a，b，有：①若

a＞b，则

a-

b＞0；②若

a=b，则a

-

b=0；③若

a＜b，则

a

-

b＜0，反之亦成立，据此可联想到用作差法来比较有理数的大小.总结【变式】

已知有理数

a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定

a－b的符号．解：因为

a＜0，b＜0，所以－b＞0.又因为

a－b＝a＋(－b)，所以

a与－b是异号两数相加.那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定.

因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取

a的符号，而

a＜0，因此

a－b的符号为负号．（1）（+7）－（－4）=_______

；

（2）（－0.45）－（－0.55）=_______；（3）0－（－9）=________；（4）（－4）－0=________；（5）（－5）－（＋3）=_________.1．计算：110.19－4－82．填空：（1）温度

4

℃

比

－6

℃

高______℃；

（2）温度－7

℃

比

－2

℃

低______℃；

（3）海拔高度

－13

m

比

－200

m

高_______m；

（4）从海拔

20

m

到

－40

m，下降了______m.105187603.下面等式正确的是（

）A.a

-

b=(

-

a)+b

B.a

-

(

-

b)=(

-

a)+(

-

b)C.(

-

a)

-

(

-

b)=(

-

a)+(

-

b)D.a

-

(

-

b)=a+b

D4.下列说法中正确的是（

）A.两个数的差一定小于被减数B.若两个数的差为0，则这两数必相等C.零减去一个数一定得负数D.一个负数减去一个负数结果仍是负数B5.全班学生分为五个组进行游戏，每组的基本分为100

分，答对一题加

50

分，答错一题扣

50

分.

游戏结束时，各组的分数如下：(1)

第一名超出第二名多少分？(2)

第一名超出第五名多少分？第1组第2组第3组第4组第5组100150－400350－100350－150＝200

(分)350－(－400)＝750

(分)

拓展：所以当

a=7，b=15时，a-

b=-8；解：因为当|a|=7，|b|=15，所以

a=±7，b=±15；当

a=7，b=-15时，a-

b=22；当

a=-7，b=15时，a-

b=-22；当

a=-7，b=-15时，a-

b=8.所以

a-

b=±8或±22.有理数减法法则a－b=a+(－b)一般法则应用特殊情况0－b=－b；b－0=b1.4有理数的加法和减法第1章有理数第2课时有理数的加减混合运算1.4.2有理数的减法

一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米.问：小青蛙爬出井了吗？观看视频，一架飞机正在作特技表演：加减混合运算的省略形式该飞机起飞后的高度变化如右表所示：高度变化记作上升4.5千米+4.5千米下降3.2千米－3.2千米上升1.1千米+1.1千米下降1.4千米－1.4千米问题：此时，飞机比起飞点高了多少千米?法1：4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)=1.3+1.1+(-1.4)=1(千米)法2：4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1-1.4=1(千米))4.1(1.1)2.3(5.4-++-+4.11.12.35.4-+-？省略了加号和括号思考1：比较以上两种方法，你发现了什么？把4.5－3.2＋1.1－1.4看作为4.5，(－3.2)，1.1，(－1.4)的和.所以有两种读法：(1)看作和式读法：正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和；(2)按运算意义读法：正4.5减3.2加1.1减1.4.思考2：在前面我们已经学过数的多重符号化简，观察下列式子，你能发现式子中简化符号的规律吗？

(－40)－(＋27)＋19－24－(－32)＝－40－27＋19－24＋32

(－9)－(－2)＋(－3)－4＝－9＋

2－

3－4规律：数字前“－”号是奇数个取“－”；数字前“－”号是偶数个取“＋”．1.请将下列各式中的减法都化为加法．解：练一练2.把写成省略加号的和的形式，并把它读出来.读作：“的和”，也可读作“减减

加

减1.注意：和式中第一个加数若是正数，正号也可以省略不写.(-10)+(+2)-(-4)-(+6)问题：把下面的式子的减法化成加法的过程中，你发现了什么？解：原式=(-10)+(+2)加减混合运算可以统一为加法运算.即

a+b-

c=a+b+(-

c).转化思想+(+4)+(-6)有理数加、减混合运算例1计算：(－2)＋(＋30)－(－15)－(＋27).

解：原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)]

＝(－29)＋(＋45)＝16.减法转化成加法按有理数加法计算方法一：减法变加法典例精析运用了有理数加法的交换律及结合律解：原式＝－2＋30＋15－27＝－2－27＋30＋15＝－29＋45省略括号运用加法交换律使同号两数分别相加＝16.(拓展)方法二：去括号法去括号法则：对于含有括号的有理数加减混合运算，括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号.有理数加减混合运算的步骤：（1）将减法转化为加法运算；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；（4）按有理数加法法则计算．归纳总结

例2

计算：（1）-21+30-15-(-17)；

解：原式=(-21)+30-15+17

=(-21)+(-15)+30+17=-36+47=11解题小技巧：运用运算律将正负数分别相加.解题小技巧：分母相同或有倍数关系的分数结合相加.解：原式（2）(3)解题小技巧：在式子中若既有分数又有小数，把小数统一成分数或把分数统一成小数.解：原式=(-0.5)+(+0.25)+(+2.75)+(-5.5)=[(-0.5)+(-5.5)]+(0.25+2.75)=-6+3=-3解：原式=解题小技巧：带分数相加减时，可将整数部分和分数部分分开相加，注意分开的时候必须保留原分数的符号.计算：练一练例3

动物园在检验成年麦哲伦