2023-2024学年湘教版数学七年级上册 1.6 有理数的乘方

1.6有理数的乘方第1章

有理数第1课时有理数的乘方情境引入

珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度是8848.86米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？

手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一扣，如此反复操作，连续扣六七次后便成了许多细细的面条.假如拉扣了10次，你能算出共有多少根面条吗?问题引导有理数乘方的含义拉扣前拉扣一次后拉扣两次后拉扣三次后2×222×2×2问题：拉扣10次后可拉成几根面条？请用算式表示.思考：拉扣100次后可拉成几根面条？请用算式表示.算式中有几个2相乘？2×2×2×2×2×2×2×2×2×22×2×…×2100个2想一想：在这个乘积中有100个2相乘，这么长的算式有简单的记法吗？这种求

n个相同因数的乘积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.

（1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方)a×a×……×a=ann个a幂指数因数的个数底数因数

一般地，n个相同的因数

a相乘，记作

an，读作“a的

n次幂（或

a的

n次方）”，即知识要点(1)(－5)2的底数是_____，指数是_____，(－5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作

－5的_____.(2)表示

个

相乘，读作

的

次方，也读作的

次幂，其中

叫做

，6叫做

.填一填－52－5－5平方666底数指数温馨提示：幂的底数是分数或负数时，

底数应该添上括号！例1

计算：(1)(-4)3；(2)(-2)4；(3)解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)=-64.(2)(-2)4=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16.思考：你发现负数的幂的正负有什么规律？典例精析有理数乘方的运算归纳总结1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.2.正数的任何正整数次幂都是正数，

0的任何正整数次幂都是0.根据有理数的乘法法则可以得出：你能迅速的判断下列各幂的正负吗？练一练正正负正负正正正零正正

快速计算下面几道题：（1）13

（2）12022（3）(-1)8（4）(-1)2022（5）(-1)7（6）(-1)2023议一议=1=1=1=1=-1=-1思考：你发现了什么规律呢？（1）1的任何正整数次幂都为

1；（2）-1的幂很有规律：

-1的奇次幂是

-1，

-1的偶次幂是

1.注意：当底数是负数或分数时，底数一定要加上括号，这也是辨认底数的方法.规律(-3)2-32写法读法意义结果议一议：(-3)2与

-32

有什么不同？结果相等吗？有括号无括号-3的平方3的平方的相反数2个(-3)相乘即(-3)×(-3)2个3相乘的积的相反数即

-(3×3)-99注意：底数是负数或分数时，必须加上括号.练一练解：(1)(－1.5)2＝＋(1.5×1.5)＝2.25.

方法总结:几个非负数的和为0，则这几个数都等于0.

例2如果|x－3|＋(y＋2)2＝0，求

yx的值.

且|x－3|＋(y＋2)2＝0，

解：∵|x－3|≥0，(y+2)2≥0∴|x－3|＝0，(y+2)2＝0，∴x＝3，y＝-2，∴yx＝(－2)3＝－8.

思考：在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，应按怎样的顺序进行运算呢？总结：先乘方，再乘除；如果有括号，先进行括号里的运算.例3

计算：解：含乘方的混合运算例2

计算：(2)例3有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，求：（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折20次后，厚度为多少毫米？对折次数1234…20纸的层数21222324…220规律探究解：（1）因为厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，所以对折2次的厚度是0.1×22

毫米.（2）对折20次的厚度是0.1×220毫米＝104857.6（毫米）对折次数1234…20纸的层数21222324…220变式1按如图方式，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分.（1）①的面积

.②的面积

.③的面积

.④的面积

.⑤的面积

.⑥的面积

.（2）受此启发，你能求出的值吗？(1)一组数列：8，16，32，64，……

则第

n

个数表示为______(2)一组数列：－4，8，－16，32，－64，……

则第

n个数表示为____________(3)一组数列：1，－4，9，－16，25，……

则第

n个数可表示为________________________变式2完成下列填空1.填空：(1)-(-3)2=

；

(2)-32=

；(3)(-5)3=

；

(4)0.13=

；(5)(-1)9=

；

(6)(-1)12=

；(7)(-1)n=

.-9-9-1250.001-11（当

n为正奇数时）（当

n为正偶数时）2.计算：（1）；

（2）-23×(-32)；（3）64÷(-2)5；

（4）(-4)3÷(-1)200

+2×(-3)4.（2）-23×(-32)=-8×(-9)=72.（3）64÷(-2)5=64÷(-32)=-2.（4）(-4)3÷(-1)200+2×(-3)4

=-64÷1+2×81=98.3.一个有理数的平方是正数，那么这个有理数的立方是（

）A.正数B.

负数C.

正数或负数D.整数C4.已知|b-2|与(a+1)2

互为相反数，求

ab

的值.所以

b

=

2，a=-1.所以

ab

=1解：因为

|b-2|和

(a+1)2

都是非负式，且两者互为相反数所以

|b-2|+(a+1)2=0.5.计算：0.1252022×82023.2023个82022个0.1252022个1解：原式=1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.2.乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）零的正数次幂都是零.幂指数底数1.6有理数的乘方第1章

有理数第2课时科学记数法

2017

年

5

月

18

日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰，成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到

186

亿吨，达到我国陆上石油资源总量的

50%．情境引入中国超级计算机神威“太湖之光”，峰值计算速度达每秒

12.5

亿亿次，为世界首台每秒超

10

亿亿次运算的计算机.思考如何表示前面出现的

186

亿，10

亿亿，12.5

亿亿

这样的大数呢？

回顾有理数的乘方，计算：101=___，102=____，103=_______，104=_______，106=_________，1010=_____________，……10100100010000100000010000000000合作探究(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系？(2)指数与运算结果的数位有什么关系讨论：用科学记数法表示数填一填10102103104105指数运算结果中0的个数运算结果的位数122133445565432你观察到什么规律？1.10的几次幂就等于1后面有几个0.2.

运算结果的位数比指数大

1.归纳总结反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少.(1)10n=10···0

，n

是1后面0的个数.(2)10n=10···0，n

比运算结果的位数少1.n

个0(n+1)位如10000000=107

7个0(a)400000=4×

100000=4×

105400000400000=4×105小数点原来的位置小数点最后的位置小数点向左移了

5

次(b)25000=2.5×

10000=2.5×

1042500025000=2.5×104小数点原来的位置小数点最后的位置小数点向左移了

4

次(c)5034=5.034×

1000=5.034×

10350345034=5.034×103小数点原来的位置小数点最后的位置小数点向左移了

3

次观察与思考：

上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？10的指数=整数位数

-1(b)25000=2.5×

10000=2.5×

104(a)400000=4×

100000=4×

105(c)5034=5.034×

1000=5.034×

103

把一个绝对值大于10的数记做

a×10n的形式，其中1≤a＜10,n是正整数，这种记数法叫做科学记数法.

210000000=2.1×1088+1位科学记数法中

10的指数

n值的确定法：

①比原整数位数少1(当原数的绝对值≥10时)；②由小数点的移动位数来确定.指数为8归纳总结

1.把下列各数写成

10

的幂的形式：100，10000，100000000，即写成

10（

）.2．300=3×100=3×10（

），

32000=3.2×10000=3.2×10（

），345000000=3.45×100000000=3.45×10（

）.试一试100=

10210000=

104

100000000=

108248读作

“3.45乘10的8次方(幂)”3.据亚洲开发银行统计数据，2010年至

2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要

8000000000000美元基建投资.将

8000000000000用科学记数法表示为8×10n，则

n的值为（）A.10B.11C.12D.13C例1下列各数的书写形式是否是科学记数法的形式？ (1)1.5×103；

(2)29×104；

(3)0.32×103； (4)2.23×100.典例精析解：(1)是.(2)不是，因为29＞10.(3)不是，因为0.32＜1.(4)不是，因为100不是10n的形式．【变式】下列求原数不正确的是(

)A.3.56×104＝35600

B.－4.67×106＝－4670000C.2×102＝200D.3×105＝30000

解析：用科学记数法表示为

a×10n的数，其原数等于把

a的小数点向右移动

n位后得到的数，若向右移动的位数不够时，应用0补足，显然3×105＝300000.D1.

下面属于科学记数法的是

(

)A.

25×103B.

0.3×105C.

300×10D.

5.4×107D2.

用科学记数法表示

3

080

000，正确的是

(

)A.308×B.30.8×

C.3.08×D.3.8×C练一练例2用科学记数法表示下列各数.(1)108000000；(2)-32000000.

解：(1)108000000

=

1.08×108.(2)-32000000

=

-3.2×107.

例3下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？（1）《世界保护益鸟公约》规定每年的

4

月

1

日为“国际爱鸟日”．因为有它们，给我们的生活增添了靓丽的光彩．鸟类最昌盛的时期，约有1.6×106

种；（2）一套《辞海》大约有

1.7×107个字.1.6×106=16000001.7×107=17000000还原用科学记数法表示的数6.74×105的原数有____位整数；－3.251×107原数有____位整数；

9.6104×1012原数有____位整数.6813练一练（3）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列．行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长

1.3×107m.1.3×107=130000001．某年参加我市初中毕业生学业考试的总人数约为56000人，这个数据用科学记数法表示为() A．5.6×103 B．5.6×104

C．5.6×105 D．0.56×105B2.节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人.3亿5千万用科学记数法表示为(

)A．3.5×107 B．3.5×108C．3.5×109 D．3.5×1010B3．太平洋最深处是马里亚纳海沟，它的深度是海平面以下11034米，记为

－11034米，用科学记数法表示为(

)A．