高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量的应用》全部课件

第一章1.4.1空间向量的应用1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.学习目标知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量答案直线的方向向量能平移到直线上的_____向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则答案线线平行l∥m⇔_____⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔_____＝0面面平行α∥β⇔μ∥v⇔____________线线垂直l⊥m⇔a⊥b⇔_______线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔___________面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔________a∥ba·μμ＝kv(k∈R)a·b＝0a＝kμ(k∈R)μ·v＝0知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系.答案答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？答案答案可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.解析答案类型一利用方向向量和法向量判定线面的位置关系题型探究

例1(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.解析答案∴μ·v＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)，解析答案反思与感悟(3)设μ是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断平面α与l的位置关系：①μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).解①∵μ＝(2,2，－1)，a＝(－6,8,4)，∴μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a＝(8，－12,0).跟踪训练1

根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；解析答案解∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解析答案解∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)，∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面，但不垂直.(3)平面α与β的法向量分别是μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；解析答案解∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠kv(k∈R)，∴μ与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直.(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解析答案解∵a＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)，

类型二求平面的法向量解析答案反思与感悟解析答案设平面SCD的法向量n＝(1，λ，u)，反思与感悟解析答案证明设正方体的棱长为1，同理DB1⊥AD1，又AC∩AD1＝A，所以DB1⊥平面ACD1，

类型三利用空间向量证明平行关系解析答案例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；证明建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，解析答案反思与感悟(2)平面ADE∥平面B1C1F.令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.解析答案返回跟踪训练3如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝

AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，说明理由.返回解分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A.(1,2,3) B.(1,3,2)C.(2,1,3) D.(3,2,1)解析答案A当堂训练

123452.已知直线l1的方向向量a＝(2，－3,5)，直线l2的方向向量b＝(－4，x，y)，若两直线l1∥l2，则x，y的值分别是(

)A.6和－10 B.－6和10C.－6和－10 D.6和1012345解析答案解析由两直线l1∥l2，得两向量a，b平行，A12345解析答案解析能作为平面α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共线，(－2,3，－1)＝－μ.D3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(

)A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1) D.(－2,3，－1)12345解析答案C解析不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为：A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，设平面ACD1的一个法向量a＝(x，y，z)，123455.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________.规律与方法(1)空间中一条直线的方向向量有无数个.(2)方向向量在判断线线、线面位置关系时起到重要的作用.(4)利用待定系数法求平面的法向量，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(5)证明线面平行的方法①设n是平面α的一个法向量，v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上至少有一点A∉α，则l∥α.②根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.返回(6)证明面面平行的方法①面面平行的证明可转化为线面平行的证明，即如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，那么这两个平面平行.②利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.第一章1.4.2空间向量的应用1.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.3.能用向量方法证明空间线面垂直关系的有关定理.学习目标知识点一向量法判断线线垂直思考若直线l1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂直的一般方法是什么？答案问题导学

答案l1与l2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是两直线的方向向量，所以l1与l2垂直.(2)判断两直线的方向向量的数量积是否为零，若数量积为零，则两直线垂直，否则不垂直.知识点二向量法判断线面垂直答案梳理设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔____＝0⇔__________________答案a·ba1b1＋a2b2＋a3b3＝0判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线的方向向量与平面的法向量共线⇒l⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内.(3)直线的方向向量与平面内的两相交直线的方向向量垂直⇒l⊥α梳理设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔____________.答案a＝kμ(k∈R)知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案答案x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔__________________.返回a1a2＋b1b2＋c1c2＝0答案解析答案类型一证明线线垂直题型探究

反思与感悟证明设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵M为BC中点，反思与感悟跟踪训练1

已知如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.解析答案证明∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，类型二证明线面垂直解析答案例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.反思与感悟证明方法一如图以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为2，则O(1,1，0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，解析答案反思与感悟设平面GBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，令x＝1，得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一个法向量为(1，－1,2)，

反思与感悟解析答案跟踪训练2

如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求证：直线PB1⊥平面PAC.类型三证明面面垂直解析答案例3在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.证明以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设平面ABC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，解析答案反思与感悟设n2＝(x2，y2，z2)为平面BEF的一个法向量，解析答案返回跟踪训练3

在正三棱锥(底面是正三角形且侧棱相等)PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1，0)，P(0,0,0)，解析答案返回令y＝1，得z＝－1，x＝0，即n＝(0,1，－1).1.下列命题中，正确命题的个数为(

)①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β

⇔

n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直.A.1B.2C.3D.4解析答案当堂训练

12345解析①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确.C2.已知两直线的方向向量为a，b，则下列选项中能使两直线垂直的为(

)A.a＝(1,0,0)，b＝(－3,0,0)B.a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)C.a＝(0,1，－1)，b＝(0，－1,1)D.a＝(1,0,0)，b＝(－1,0,0)12345解析答案B解析因为a＝(0,1,0)，b＝(1,0,1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.12345解析答案解析

∵a∥μ，∴l⊥α.B3.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则(

)A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α斜交12345解析答案4.平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是(

)A.平行 B.相交但不垂直

C.垂直 D.不能确定解析

∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直.C12345解析答案5.已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t的值为___.解析∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直，∴μ·ν＝0，即(－1)×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.5规律与方法(1)立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题，空间向量的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算(特别是数量积)解决点、直线、平面之间的夹角与长度等问题.(2)类似用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，我们可以得出用空间向量解决几何问题的“三步曲”：返回①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.第一章1.4.3空间向量的应用1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲.学习目标知识点利用空间向量求空间角思考1

空间角包括哪些角？答案问题导学

答案线线角、线面角、二面角.思考2求解空间角常用的方法有哪些？答案传统方法和向量法.(3)二面角的求法：①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向).②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角.如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β，PA⊥l，垂足分别为O，A，连接AO，则AO⊥l成立，所以∠PAO就是二面角的平面角.③先求出二面角的两个半平面的法向量的夹角，然后结合图形与题意判断求出的是二面角的大小，还是它的补角的大小，从而确定二面角的大小.返回解析答案类型一求两条异面直线所成的角题型探究

反思与感悟解建立如图所示的空间直角坐标系，反思与感悟跟踪训练1

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值.解析答案解不妨设正方体棱长为2，分别取DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)，类型二求直线和平面所成的角解析答案反思与感悟解析答案解建立如图所示的空间直角坐标系，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角.解析答案解析答案反思与感悟解析答案跟踪训练2

如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值.解由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).解析答案反思与感悟类型三求二面角例3

在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥