利用导数求函数的极值

利用导数求函数的极值例求以下函数的极值：1．；2．；3．分析：按照求极值的根本方法，首先从方程求出在函数定义域所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解：1．函数定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在〔－2，2〕上是减函数．∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔0，2〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．3．函数的定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔－1，1〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的根底，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答此题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．复杂函数的极值例求以下函数的极值：1．；2．分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定．在函数的定义域寻求可能取到极值的“可疑点〞，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域所有不可导的点．这两类点就是函数在定义可能取到极值的全部“可疑点〞．解：1．令，解得，但也可能是极值点．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在〔0，2〕上是减函数．∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．2．∴令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当或时，，∴函数在和上是增函数．∴当和时，函数有极小值0，当时，函数有极大值．说明：在确定极值时，只讨论满足的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的．在函数定义域不可导的点处也可能存在极值．此题1中处，2中及处函数都不可导，但在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数在这些点处仍取得极值．从定义分析，极值与可导无关．根据函数的极值确定参数的值例在时取得极值，且．1．试求常数a、b、c的值；2．试判断是函数的极小值还是极大值，并说明理由．分析：考察函数是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为的根建立起由极值点所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值．解：1．解法一：．是函数的极值点，∴是方程，即的两根，由根与系数的关系，得又，∴，〔3〕由〔1〕、〔2〕、〔3〕解得．解法二：由得，〔1〕〔2〕又，∴，〔3〕解〔1〕、〔2〕、〔3〕得．2．，∴当或时，，当时，∴函数在和上是增函数，在〔－1，1〕上是减函数．∴当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值．说明：解题的成功要靠正确思路的选择．此题从逆向思维的角度出发，根据题设构造进展逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了条件确定了解题的大方向．可见出路在于“思想认识〞．在求导之后，不会应用的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍．当或时，，∴函数在和上是增函数；当时，，∴函数在〔－2，2〕上是减函数．∴当时，函数有极大值，当时，函数有极小值2．函数定义域为R．令，得或．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔0，2〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值．3．函数的定义域为R．令，得．当或时，，∴函数在和上是减函数；当时，，∴函数在〔－1，1〕上是增函数．∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值说明：思维的周密性是解决问题的根底，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性．解答此题时应注意只是函数在处有极值的必要条件，如果再加之附近导数的符号相反，才能断定函数在处取得极值．反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误．利用导数求函数的单调区间例求以下函数的单调区间：1．；2．；3．分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以防止不该出现的失误．解：1．函数的定义域为R，令，得或．∴函数的单调递增区间为〔－1，0〕和；令，得或，∴函数的单调递减区间为和〔0，1〕．2．函数定义域为令，得．∴函数的递增区间为〔0，1〕；令，得，∴函数的单调递减区间为〔1，2〕．3．函数定义域为令，得或．∴函数的单调递增区间为和；令，得且，∴函数的单调递减区间是和．说明：依据导数在*一区间的符号来确定函数的单调区间，表达了形象思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增〔或递减〕区间写成并集的形式，如将例1函数的单调递增区间和递减区间分别写成和的错误结果．这里我们可以看出，除函数思想方法在此题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用．求解析式并根据单调性确定参数例，且1．设，求的解析式；2．设，试问：是否存在实数，使在为减函数，且在〔－1，0〕是增函数．分析：根据题设条件可以求出的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合条件进展推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断．解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值围，使问题获解．解：1．由题意得，，∴∴2．．假设满足条件的存在，则∵函数在是减函数，∴当时，，即对于恒成立．∴∴，解得．又函数在〔－1，0〕上是增函数，∴当时，即对于恒成立，∴∴，解得．故当时，在上是减函数，在〔－1，0〕上是增函数，即满足条件的存在．说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系．因此挖掘题目中的隐含条件则是翻开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决．不善于应用恒成立和恒成立，究其原因是对函数的思想方法理解不深．利用导数比拟大小例a、b为实数，且，其中e为自然对数的底，求证：．分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法．根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比拟容易的函数，一般地，证明，可以等价转化为证明，如果，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即．解：证法一：，∴要证，只要证，设，则．，∴，且，∴∴函数在上是增函数．∴，即，∴证法二：要证，只要证，即证，设，则，∴函数在上是减函数．又，即说明：“构造〞是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进展逻辑组合．解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出的错误结论．判断函数在给定区间上的单调性例函数在区间上是〔〕A．增函数，且B．减函数，且C．增函数，且D．减函数，且分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小；二是要判断此函数的单调性．解：解法一：令，且，则，排除A、B．由复合函数的性质可知，u在上为减函数．又亦为减函数，故在上为增函数，排除D，选C．解法二：利用导数法〔〕，故y在上是增函数．由解法一知．所以选C．说明：求函数的值域，是中学教学中的难关．一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等〔包括初等方法和导数法〕．对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进展判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的．利用公式2求函数的导数例求以下函数的导数：1．；2．；3．．分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的构造施行调整．函数和的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的构造特征，可直接应用幂函数的导数公式求导．解：1．2．3．说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的根本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力上下的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．根据斜率求对应曲线的切线方程例求曲线的斜率等于4的切线方程．分析：导数反映了函数在*点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．解：设切点为，则，∴，即，∴当时，，故切点P的坐标为〔1，1〕．∴所求切线方程为即说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．求直线方程例求过曲线上点且与过这点的切线垂直的直线方程．分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．解：，∴曲线在点处的切线斜率是∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，∴所求的直线方程为，即．说明：曲线上*点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数是否为零，当时，切线平行于*轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．求曲线方程的交点处切线的夹角例设曲线和曲线在它们的交点处的两切线的夹角为，求的值．分析：要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率．根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可．解：联立两曲线方程解得两曲线交点为〔1，1〕．设两曲线在交点处的切线斜率分别为，则由两直线夹角公式说明：探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算．两曲线交点是一个关键条件，函数在交点处是否要导也是一个不能无视的问题，而准确理解题设要求则是正确作出结论的前提．求常函数的导数例设，则等于〔〕A．B．C．0D．以上都不是分析：此题是对函数的求导问题，直接利用公式即可解：因为是常数，常数的导数为零，所以选C．根据条件确定函数的参数是否存在例函数，是否存在实数a、b、c，使同时满足以下三个条件：〔1〕定义域为R的奇函数；〔2〕在上是增函数；〔3〕最大值是1．假设存在，求出a、b、c；假设不存在，说明理由．分析：此题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a、b、c存在，然后用三个已给条件逐一确定a、b、c的值．解：是奇函数又，即，∴．∴或，但时，，不合题意；故．这时在上是增函数，且最大值是1．设在上是增函数，且最大值是3．，当时，故；又当时，；当时，；故，又当时，，当时，．所以在是增函数，在〔－1，1〕上是减函数．又时，时最大值为3．∴经历证：时，符合题设条件，所以存在满足条件的a、b、c，即说明：此题是综合性较强的存在性问题，对于拓宽思路，开阔视野很有指导意义．此题假设用相等方法解决是十分繁杂的，甚至无技可施．假设用求导数的方法解决就迎刃而解．因此用导数法解决有关单调性和最值问题是很重要的数学方法．切不可忘记．供水站建在何处使水管费最少例有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站分析：根据题设条件作出图形，分析各条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适中选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．解：解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上*一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点*km，则又设总的水管费用为y元，依题意有．令，解得在〔0，50〕上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在〔km〕处取得最小值，此时〔km〕．∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．解法二：设，则∴．设总的水管费用为，依题意，有∴令，得．根据问题的实际意义，当时，函数取得最小值，此时〔km〕，即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省．说明：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数．把“问题情景〞译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择适宜的数学方法求解．对于这类问题，学生往往无视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进展一番选择．利用导数求函数的最值例求以下函数的最值：1．；2．；3．4．．分析：函数在给定区间上连续可导，必有最大值和最小值，因此，在求闭区间上函数的最值时，只需求出函数在开区间的极值，然后与端点处函数值进展比拟即可．解：1．，令，得，∴．又∴2．，令，得，∴，又．∴3．．令，即，解得当时，，当时，．∴函数在点处取得极小值，也是最小值为即．4．函数定义域为，当时，令，解得，∴，又，∴说明：对于闭区间上的连续函数，如果在相应开区间可导，求上最值可简化过程，即直接将极值点与端点的函数值比拟，即可判定最大〔或最小〕的函数值，就是最大〔或最小〕值．解决这类问题，运算欠准确是普遍存在的一个突出问题，反映出运算能力上的差距．运算的准确要依靠运算方法的合理与简捷，需要有效的检验手段，只有全方位的“综合治理〞才能在坚实的根底上形成运算能力，解决运算不准确的弊病．求两变量乘积的最大值例为正实数，且满足关系式，求的最大值．分析：题中有两个变量*和y，首先应选择一个主要变量，将表示为*一变量〔*或y或其它变量〕的函数关系，实现问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值围，再利用导数〔或均值不等式等〕求函数的最大值．解：解法一：，∴．由解得．设当时，．令，得或〔舍〕．∴，又，∴函数的最大值为．即的最大值为．解法二：由得，设，∴，设，则令，得或．，此时∴即当时，说明：进展一题多解训练，是一种翻开思路，激发思维，稳固根底，沟通联系的重要途径，但要明确解决问题的策略、指向和思考方法，需要抓住问题的本质，领悟真谛，巧施转化，方可快捷地与熟悉的问题接轨，在实现转化的过程中，关键是要注意变量的取值围必须满足题设条件，以免解题陷于困境，功亏一篑．直接利用导数的运算法则求导例求以下函数的导数：1．；2．3．；4．分析：仔细观察和分析各函数的构造规律，紧扣求导运算法则，联系根本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进展恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．解：1．2．3．解法一：解法二：，∴4．解法一：解法二：，说明：理解和掌握求导法则和公式的构造规律是灵活进展求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同．求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素．从此题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进展求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手．化简函数解析式在求解例求以下函数的导数．1．；2．；3．；4．分析：对于比拟复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐冗长，且易出错．可先对函数解析式进展合理的恒等变换，转化为易求导的构造形式再求导数．解：1．，∴2．∴3．∴4．，∴说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的根本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，防止不必要的运算失误．根据点和切线确定抛物线的系数例抛物线通过点，且在点处与直线相切，数a、b、c的值．分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来．题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径．解：∵曲线过点，∴①，∴∴②又曲线过点，∴③．联立解①、②、③得说明：利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解．解答此题常见的失误是不注意运用点在曲线上这一关键的隐含条件．利用导数求和例利用导数求和．1．2．分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决．转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快．解：1．当时，当时，，两边都是关于*的函数，求导得，即2．两边都是关于*的可导函数，求导得，令，得，即说明：通过对数列的通项进展联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形式构造．学生易犯的错误是受思维定式的影响不善于联想．导数定义的利用例假设，则等于〔〕A．B．C．D．以上都不是分析：此题考察的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于，应选A求曲线方程的斜率和方程例曲线上一点，用斜率定义求：〔1〕点A的切线的斜率〔2〕点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率，即求解：〔1〕〔2〕切线方程为即说明：上述求导方法也是用定义求运动物体在时刻处的瞬时速度的步骤．判断分段函数的在段点处的导数例函数，判断在处是否可导？分析：对分段函数在“分界点〞处的导数问题，要根据定义来判断是否可导．解：∴在处不可导．说明：函数在*一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处〞的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数．利用导数定义的求解例设函数在点处可导，试求以下各极限的值．1．；2．3．假设，则等于〔〕A．－1B．－2C．－1D．分析：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不管选择哪种形式，也必须选择相对应的形式．利用函数在点处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的构造形式．解：1．原式＝2．原式＝3．〔含〕，∴应选A．说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其涵与外延，才能灵活地应用概念进展解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．利用定义求导数例1．求函数在处的导数；2．求函数〔a、b为常数〕的导数．分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的根本方法，确定函数在处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．解：1．解法一〔导数定义法〕：，解法二〔导函数的函数值法〕：，∴2．说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的构造形式转化为极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．证明函数的在一点处连续例证明：假设函数在点处可导，则函数在点处连续．分析：从和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式〔变为导数定义形式〕的转化．解：证法一：设，则当时，，∴函数在点处连续．证法二：∵函数在点处可导，∴在点处有∴∴函数在点处连续．说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数在点处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为是使论证推理出现失误的障碍．求指数、对数函数的导数例求以下函数的导数：1．；2．；3．；4．分析：对于比拟复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进展．求导过程中，可以先适当进展变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．解：1．解法一：可看成复合而成．解法二：解法三：，2．解法一：设，则解法二：3．解法一：设，则解法二：4．说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的构造规律，是解决问题的关键，解答此题所使用的知识，方法都是最根本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题效劳，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．解题时，能认真观察函数的构造特征，积极地进展联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．变形函数解析式求导例求以下函数的导数：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕．分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．解：〔1〕．〔2〕，〔3〕〔4〕当时不存在．说明：求〔其中为多项式〕的导数时，假设的次数不小于的次数，则由多项式除法可知，存在，使．从而，这里均为多项式，且的次数小于的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如，则定义域变为，所以虽然的导数与的导数结果一样，但我们还是应防止这种解法．函数求导法则的综合运用例求以下函数的导数：1．；2．；3．；4．分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种构造形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．解：1．取y的绝对值，得，两边取寻数，得根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对*求导，得，∴2．注意到，两端取对数，得∴∴3．两端取对数，得，两端对*求导，得4．两端取对数，得，两边对*求导，得∴说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意是关于*的复合函数．指对数函数的概念提醒了各自存在的条件、根本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方