福建省宁德市部分一级达标中学高二下学期期中数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题(共12小题,每小题5分，满分60分）1．复数z=（1﹣i)（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．52．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2)处依次为（）A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并3．下面四个推理中，属于演绎推理的是（)A．观察下列各式：72=49,73=343，74=2401，…,则72015的末两位数字为43B．观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，(cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中,若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属,所以钠能与水发生反应4．函数f（x)=ex﹣4x的递减区间为(）A．（0,ln4） B．（0，4) C．（﹣∞，ln4) D．（ln4，+∞）5．设命题p：∃x0∈(0,+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，那么，下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q) C．p∧q D．p∧(￢q）6．已知函数f′(x）的图象如图所示，其中f′（x)是f（x)的导函数，则f(x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．57．若双曲线﹣=1的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．若a，b,c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b,c这3个数的平均数大于1"的(）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．有下列一列数：，1,1，1，（），,，，，…，按照规律,括号中的数应为（）A． B． C． D．10．设数列{an｝的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n(an+an+1），则a5等于（)A．8 B．9 C．10 D．1111．已知函数f(x）=（2x﹣1）ex，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2），d=f（﹣），则（）A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P,Q两点，若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（)A．40 B．42 C．44 D．52二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0.81，﹣0。98，0.63，其中（填甲、乙、丙中的一个)组数据的线性相关性最强．14．复数在复平面内对应的点位于第象限．15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为．16．若函数f（x)=x3﹣3x+5﹣a（a∈R)在上有2个零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程;（2）若P为曲线M:ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求｜PQ|的最小值．18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．（1)试根据上述数据完成2×2列联表;数学成绩及格数学成绩不及格合计比较细心比较粗心合计（2)能否在犯错误的概率不超过0。001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：P（K2≥k0)0.150。100.050.0250。0100。0050.001k02.0722。7063.8415。0246.6357。87910。828（其中n=a+b+c+d）19．（1）证明：若实数a，b，c成等比数列，n为正整数，则an，bn，cn也成等比数列；（2)设z1，z2均为复数，若z1=1+i，z2=2﹣i，则;若z1=3﹣4i,z2=4+3i，则|z1•z2|=5×5=25；若，,则|z1•z2｜=1×1=1．通过这三个小结论,请归纳出一个结论，并加以证明．20．已知函数f（x）=x3+x，g（x）=f（x）﹣ax（a∈R）．（1）当a=4时,求函数g(x）的极大值；（2）求曲线y=f（x）在点(1，f（1））处的切线l的方程；（3)若函数g（x）在上无极值，且g（x)在上的最大值为3，求a的值．21．设椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．22．已知函数φ(x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）讨论φ（x)的单调性;(2）设f（x）=φ（x）﹣x3，当x＞0时，f（x)＜0恒成立，求a的取值范围．

2016—2017学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分,满分60分)1．复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i)=3﹣5i，∴，则复数z=(1﹣i）（4﹣i)的共轭复数的虚部为5．故选：D．2．下边是高中数学常用逻辑用语的知识结构图，则（1）、（2)处依次为（)A．命题及其关系、或 B．命题的否定、或C．命题及其关系、并 D．命题的否定、并【考点】EJ:结构图．【分析】命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非,可得结论．【解答】解：命题的否定在全称量词与存在量词这一节中，简单的逻辑联结词包括或、且、非，故选A．3．下面四个推理中,属于演绎推理的是(）A．观察下列各式：72=49，73=343,74=2401，…，则72015的末两位数字为43B．观察（x2)′=2x，（x4）′=4x3,(cosx）′=﹣sinx，可得偶函数的导函数为奇函数C．在平面上，若两个正三角形的边长比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积之比为1：8D．已知碱金属都能与水发生还原反应，钠为碱金属,所以钠能与水发生反应【考点】F7：进行简单的演绎推理．【分析】分别判断各选项，即可得出结论．【解答】解：选项A、B都是归纳推理，选项C为类比推理，选项D为演绎推理．故选D．4．函数f（x)=ex﹣4x的递减区间为（）A．（0,ln4) B．（0,4） C．（﹣∞，ln4） D．（ln4，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可．【解答】解：f′（x)=ex﹣4，令f′（x)＜0,解得:x＜ln4，故函数在(﹣∞，ln4）递减；故选：C．5．设命题p：∃x0∈（0，+∞），lnx0=﹣1．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2,那么,下列命题为真命题的是（）A．￢q B．（￢p）∨（￢q） C．p∧q D．p∧（￢q）【考点】2E:复合命题的真假．【分析】命题p：取x0=,则lnx0=﹣1．即可判断出真假．命题q：利用椭圆的标准方程及其性质即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出真假．【解答】解：命题p：取x0=，则lnx0=﹣1．因此p是真命题．命题q：若m＞1，则椭圆+y2=1的焦距为2，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．故选:C．6．已知函数f′(x）的图象如图所示，其中f′(x）是f(x）的导函数，则f（x）的极值点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】3O：函数的图象．【分析】根据极值点的定义和f′（x)的图象得出结论．【解答】解:若x0是f（x）的极值点，则f′（x0)=0，且f′（x）在x0两侧异号，由f′(x）的图象可知f′（x）=0共有4解,其中只有两个零点的左右两侧导数值异号,故f（x)有2个极值点．故选A．7．若双曲线﹣=1的离心率为,则此双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC:双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率列出方程,求出m，然后求解双曲线的渐近线方程即可．【解答】解：双曲线﹣=1的离心率为,e==，可得，解得m=，∴=,则此双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选:A．8．若a，b,c∈R且c﹣a=2，则“2a+b＞1”是“a，b,c这3个数的平均数大于1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用平均数的定义、不等式的性质、简易逻辑的判定方法即可得出结论．【解答】解：若a，b，c这3个数的平均数大于1，则，a+b+a+2＞3，∴2a+b＞1，反之,亦成立，故选：C．9．有下列一列数：,1，1，1,（），，，,，…，按照规律,括号中的数应为（）A． B． C． D．【考点】82：数列的函数特性．【分析】由题意可得：分子为连续的奇数，分母为连续的质数，即可得出．【解答】解：，，，，（）,，，，,…，由题意可得：分子为连续的奇数,分母为连续的质数,故括号中的数应该为，故选:B10．设数列{an}的前n项和为Sn，a4=7且4Sn=n（an+an+1），则a5等于(）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】8H：数列递推式．【分析】利用已知条件逐步求解即可．【解答】解：4Sn=n（an+an+1)，可得4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而36a1=3（5a1+7）,a1=1，a2=3，a3=5，a4=7,4S4=4（a4+a5),解得a5=9．故选：B．11．已知函数f（x）=（2x﹣1）ex，a=f（1），b=f（﹣），c=f（﹣ln2)，d=f（﹣）,则（）A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞c＞d C．d＞a＞b＞c D．a＞d＞c＞b【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后判断函数值的大小．【解答】解：函数f（x）=（2x﹣1）ex，可得f′（x)=（2x+1）ex，当x＜﹣时,f′（x）＜0，函数是减函数，∵ln＜ln2＜lne，∴,∴，∴f(﹣)＞f(﹣ln2）＞f（﹣），∵f(1）＞0,f（）＜0,∴a＞b＞c＞d．故选:A．12．已知F为双曲线C：﹣=1左焦点，过抛物线y2=20x的焦点的直线交双曲线C的右支于P,Q两点,若线段PQ的长等于双曲线C虚轴长的3倍，则△PQF的周长为（）A．40 B．42 C．44 D．52【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意画出双曲线图象，然后根据双曲线的定义“到两定点的距离之差为定值2a“解决,求出周长即可．【解答】解:根据题意,双曲线C：﹣=1的左焦点F（﹣5，0），所以点A(5，0）是双曲线的右焦点,虚轴长为：8;a=4,双曲线图象如图:｜PQ|=|QA｜+PA|=6b=18,|PF|﹣|AP｜=2a=8①｜QF｜﹣｜QA｜=2a=8②得：｜PF｜+｜QF|=16+｜PA｜+｜QA｜=34，∴周长为：|PF｜+|QF|+|PQ｜=52,故选：D．二、填空题(共4小题，每小题5分,满分20分）13．用线性回归模型求得甲、乙、丙3组不同的数据的线性相关系数分别为0。81,﹣0。98，0.63，其中乙（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性相关性最强．【考点】BH:两个变量的线性相关．【分析】根据两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果越好,由此得出答案．【解答】解：两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越接近于1，这个模型的拟合效果就越好，在甲、乙、丙中，所给的数值中0.98是相关指数最大的值，即乙的拟合效果最好．故答案为：乙．14．复数在复平面内对应的点位于第四象限．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解:===1﹣i在复平面内对应的点（1,﹣1）位于第四象限．故答案为：四．15．P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为3．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义结合不等式求解即可．【解答】解：因为P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0）在抛物线的外侧,由抛物线的定义可得：P到准线的距离d等于到焦点的距离,则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和为：d+|PA｜=|PF|+｜PA|≥｜AF|=3,所求的最小值为3．故答案为：3．16．若函数f（x）=x3﹣3x+5﹣a（a∈R)在上有2个零点,则a的取值范围是．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值以及端点值，根据函数的零点求出a的范围即可．【解答】解:若函数f(x）=x3﹣3x+5﹣a,则f′（x）=3x2﹣3=3(x﹣1）（x+1）,令f′(x）＞0，解得:x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得:﹣1＜x＜1，故f(x）在（﹣3，﹣1）递增，在(﹣1，1）递减，在（1,）递增，故f(x)极大值=f(﹣1）=7﹣a，f（x)极小值=f(1）=3﹣a，而f(﹣3）=﹣13﹣a，f（）=﹣a，故或，解得：a∈，故答案为：．三、解答题（共6小题,满分70分）17．在平面直角坐标系中，曲线C的方程为(x﹣2）2+y2=1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若P为曲线M：ρ=﹣2cosθ上任意一点，Q为曲线C上任意一点，求|PQ|的最小值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】(1）曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1,展开化为:x2+y2﹣4x+3=0．圆心C（2,0),半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程．（2）曲线M:ρ=﹣2cosθ,即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：（x+1）2+y2=1,可得圆心M（﹣1，0）,半径r=1．可得｜PQ|的最小值=｜MC｜﹣r﹣R．【解答】解：（1)曲线C的方程为（x﹣2）2+y2=1,展开化为:x2+y2﹣4x+3=0．圆心C(2，0），半径R=1．把互化公式代入可得极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（2）曲线M:ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化为直角坐标：x2+y2=﹣2x，可得(x+1)2+y2=1，可得圆心M（﹣1，0),半径r=1．|MC｜==3．∴|PQ|的最小值=｜MC|﹣r﹣R=1．18．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．（1）试根据上述数据完成2×2列联表;数学成绩及格数学成绩不及格合计比较细心451055比较粗心153045合计6040100（2)能否在犯错误的概率不超过0。001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：P（K2≥k0)0.150。100.050.0250。0100。0050。001k02.0722.7063.8415.0246。6357。87910.828（其中n=a+b+c+d）【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】(1)根据题意填写2×2列联表即可；（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，对照临界值表即可得出结论．【解答】解:（1）填写2×2列联表如下；数学成绩及格数学成绩不及格合计比较细心451055比较粗心153045合计6040100（2)根据2×2列联表可以求得K2的观测值=；所以能在范错误的概率不超过0。001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．19．（1)证明：若实数a,b，c成等比数列，n为正整数，则an，bn，cn也成等比数列；（2)设z1，z2均为复数，若z1=1+i,z2=2﹣i，则；若z1=3﹣4i,z2=4+3i，则|z1•z2｜=5×5=25；若，，则|z1•z2｜=1×1=1．通过这三个小结论，请归纳出一个结论，并加以证明．【考点】F1：归纳推理；8D:等比关系的确定．【分析】(1）利用等比数列的定义证明即可;(2）利用复数的运算法则，即可得出．【解答】(1）证明:∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴an•cn=（ac）n=（b2）n=（bn）2，∴an，bn，cn也成等比数列．…（2）解：归纳得到的结论为|z1•z2｜=｜z1｜•|z2｜．…下面给出证明:设z1=a+bi，z2=c+di，则z1•z2=ac﹣bd+(ad+bc)i,∴，又，∴｜z1•z2|=｜z1|•|z2|．…20．已知函数f（x）=x3+x，g（x)=f（x）﹣ax（a∈R）．(1）当a=4时,求函数g（x）的极大值;（2）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；（3）若函数g（x）在上无极值，且g（x)在上的最大值为3,求a的值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1)求出g（x），求出导函数,根据导函数得出函数的极值即可；（2)求出导函数,根据导函数和切线方程的关系求解即可；（3）求出g'（x）=3x2+1﹣a,函数g（x）在上无极值，得出1﹣a≥0或4﹣a≤0，分类讨论即可．【解答】解:（1）g(x）=x3﹣3x，∴g'（x）=3x2﹣3,当﹣1＜x＜1时，g’（x）＜0，当x＜﹣1或s＞1时,g’（x）＞0，∴g（x）的极大值为g（﹣1)=2；(2）f'（x）=3x2+1，f'（1)=4，f(1）=2，∴切线l的方程为y﹣2=4（x﹣1）,即y=4x﹣2；（3）g'（x）=3x2+1﹣a,当1﹣a≥0时,g'（x）≥0，g（x）递增；∴最大值为g(1）=2﹣a=3,a=﹣1；当4﹣a≤0时,g’（x）≤0，g（x）递减；∴最大值为g（0）=0≠3，综上a=﹣1．21．设椭圆+=1（a＞b＞0)的离心率为，且直线x=1与椭圆相交所得弦长为．（1)求椭圆的方程；（2）若在y轴上的截距为4的直线l与椭圆分别交于A，B两点，O为坐标原点,且直线OA，OB的斜率之和等于2，求直线AB的斜率．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系;K3：椭圆的标准方程．【分析】(1）利用椭圆的离