福建省南平市高一上学期期末数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精福建省南平市2016-2017学年高一(上）期末数学试卷(解析版)一、选择题（共12小题,每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合P=｛x｜4＜x＜10}，Q={x｜3＜x＜7}，则P∪Q等于（）A．{x｜3＜x＜7} B．｛x|3＜x＜10｝ C．{x｜3＜x＜4｝ D．｛x|4＜x＜7｝2．若直线2x﹣y+2=0与直线y=kx+1平行，则实数k的值为（)A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3．已知函数f(x)=，则f（f（））等于（)A．﹣3 B． C．3 D．84．若a=20。6,b=lg0.6，c=lg0.4，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a5．下列命题中，正确的命题是(）A．平行于同一直线的两个平面平行B．共点的三条直线只能确定一个平面C．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行D．存在两条异面直线同时平行于同一个平面6．已知直线3x﹣2y=0与圆（x﹣m）2+y2=1相交，则正整数m的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．函数f（x)=x+lg(x﹣2）的零点所在区间为（)A．(2,2。0001） B．（2。0001,2.001） C．(2。001,2。01） D．（2。01，3）8．如图，网格纸上校正方形的边长为1,粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（)A．16+4π B．16+2π C．48+4π D．48+2π9．若圆C：（x﹣5）2+(y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1,则n等于(）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=logf（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0） B．（4，+∞） C．（﹣∞,2） D．（2,+∞)11．点A，B分别为圆M：x2+（y﹣3)2=1与圆N：(x﹣3）2+（y﹣8）2=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC｜+|BC｜的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1012．设函数f(x）=﹣4x+2x+1﹣1，g(x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f(x1）=g（x2)，则实数a的取值范围为（）A．（0，4］ B．(﹣∞，4］ C．（﹣4，0] D．[4,+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分,将答案填在答题卡中横线上）13．在空间直角坐标系中，设A（m,2,3），B（1，﹣1，1），且｜AB｜=，则m=．14．已知f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x)=log6x，则f(﹣4）+f（9)=．15．过点A（4，﹣1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是．16．在正三棱锥P﹣ABC中，点P，A，B,C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球心O到底面ABC的距离为，则球O的表面积为．三、解答题(共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0(m＞0）的距离的一半．（1)求m的值；（2)判断直线l与圆C:x2+(y﹣2）2=的位置关系．18．（12分)如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，分E，F,G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD(1）证明AC⊥PB（2）证明：平面PBC∥平面EFG．19．（12分)已知函数y=f(x）满足f（x+1）=x+3a，且f（a）=3．(1）求函数f（x）的解析式；(2）若g（x）=x•f（x）+λf（x)+1在(0，2)上具有单调性,λ＜0，求g（λ）的取值范围．20．(12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2,AC=，BC=3，M，N分别为B1C1，AA1的中点（1）求证:AB⊥平面AA1C1C（2)判断MN与平面ABC1的位置关系,求四面体ABC1M的体积．21．（12分）某食品的保鲜时间y（单位：小时)与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数,k，b为常数)，已知该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在33℃的保鲜时间是24小时（1）求k的值（2）该食品在11℃和22℃的保鲜时间．22．（12分)已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点M（，)（1）求直线12x﹣5y﹣1=0被圆C截得的弦长（2）已知N（2,1)，经过原点,且斜率为正数的直线L与圆C交于P（x1,y1），Q(x2,y2）两点（i）求证：为定值（ii)若｜PN｜2+｜QN|2=24,求直线L的方程．

2016—2017学年福建省南平市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合P=｛x｜4＜x＜10｝，Q=｛x｜3＜x＜7}，则P∪Q等于（）A．{x｜3＜x＜7｝ B．{x｜3＜x＜10｝ C．{x|3＜x＜4｝ D．｛x｜4＜x＜7｝【考点】并集及其运算．【分析】直接利用集合的并集的运算法则,求出P∪Q即可．【解答】解：集合P=｛x|4＜x＜10｝，Q={x|3＜x＜7},则P∪Q={x|3＜x＜10｝,故选:B．【点评】本题考查集合的并集的基本运算,考查基本知识的应用．2．若直线2x﹣y+2=0与直线y=kx+1平行，则实数k的值为（)A．﹣2 B．﹣ C．2 D．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两条直线平行，它们的斜率相等,得出k的值．【解答】解:∵直线2x﹣y+2=0等价于y=2x+2，与直线y=kx+1平行，∴k=2；故选：C【点评】本题考查了两条直线平行的判定与应用问题，解题时应用两直线平行，斜率相等，即可得出答案．3．已知函数f（x）=,则f(f（))等于（）A．﹣3 B． C．3 D．8【考点】函数的值．【分析】由已知得f（)=﹣（)2=﹣2，从而f（f（)）=f（﹣2),由此能求出结果．【解答】解:∵函数f（x)=，∴f（）=﹣（）2=﹣2,f（f（）)=f(﹣2）==8．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用．4．若a=20.6,b=lg0。6，c=lg0.4，则(）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=20.6＞20=1，c=lg0。4＜b=lg0.6＜lg1=0，∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．5．下列命题中,正确的命题是()A．平行于同一直线的两个平面平行B．共点的三条直线只能确定一个平面C．若一个平面中有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行D．存在两条异面直线同时平行于同一个平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，平行于同一直线的两个平面平行可能相交；B，共点的三条直线可能不在一个平面内；C，无数条直线平行时，不能确定这两个平面平行；D，根据线面平行的判定定理判断．【解答】解：对于A，平行于同一直线的两个平面平行可能相交,故错；对于B，共点的三条直线可能不在一个平面内，故错；对于C，无数条直线平行时,不能确定这两个平面平行，故错;对于D，根据线面平行的判定,存在两条异面直线同时平行于同一个平面，故正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面位置关系，是对空间想象能力的考查,属于基础题．6．已知直线3x﹣2y=0与圆（x﹣m)2+y2=1相交，则正整数m的值为（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意圆心（m,0）到直线3x﹣2y=0的距离d小于半径r=1，由此利用点到直线的距离公式有求出正整数m的值．【解答】解:∵直线3x﹣2y=0与圆(x﹣m)2+y2=1相交，∴圆心（m，0)到直线3x﹣2y=0的距离d小于半径r=1，∴d=＜1，解得｜m|＜，∵m是正整数，∴m=1．故选:A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题,解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．7．函数f（x）=x+lg（x﹣2）的零点所在区间为(）A．（2，2.0001) B．（2。0001,2.001） C．（2.001，2.01） D．(2。01，3）【考点】二分法的定义．【分析】由函数零点的存在性定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．【解答】解：f（2.001）=2.001+lg（2。001﹣2）=2.001﹣3＜0，f（2。01）=2。001+lg(2.01﹣2)=2。01﹣2＞0,由函数零点的存在性定理，函数ff(x)=x+lg(x﹣2)的零点所在的区间为（2.001,2。01）故选：C【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用,属基础知识、基本运算的考查．8．如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆,则此几何体的体积为（）A．16+4π B．16+2π C．48+4π D．48+2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体的左边是底面面积为16，高为3的四棱锥，右边为半个圆锥,且其底面半径为2，高为3，即可求出其体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体的左边是底面面积为16,高为3的四棱锥，右边为半个圆锥，且其底面半径为2,高为3，故体积为=16+2π，故选B．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．9．若圆C:（x﹣5）2+（y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1,则n等于（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定圆心和半径,求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．【解答】解：圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4是一个以（5,﹣1）为圆心，2为半径的圆．圆心到4x+3y﹣2=0的距离为d==3，所以圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=4上有n个点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，n=1,故选A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，用到点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．已知函数f（x）的图象如图所示,则函数g(x)=logf（x）的单调递增区间为（)A．（﹣∞，0） B．（4,+∞) C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】令u=f（x），则y=logu在（0，+∞)递减,由图象可得f（x）在x轴上方的增减区间，由复合函数的单调性：同增异减,即可得到所求区间．【解答】解：令u=f（x），则y=logu在（0，+∞）递减,而f(x）在(﹣∞，0）递减，在(4,+∞）递增，由复合函数的单调性，可得函数g（x)=logf(x)的单调递增区间为(﹣∞，0)．故选：A．【点评】本题考查复合函数的单调性：同增异减，考查数形结合思想方法，属于中档题．11．点A,B分别为圆M:x2+（y﹣3）2=1与圆N：（x﹣3）2+（y﹣8)2=4上的动点，点C在直线x+y=0上运动，则|AC|+|BC｜的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意,算出圆M关于直线l对称的圆M'方程为（x+3）2+y2=1．当点P位于线段NM’上时，线段AB的长就是｜AC｜+｜BC|的最小值，由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算，即可得出｜AC｜+｜BC｜的最小值．【解答】解：设圆C'是圆M：x2+（y﹣3)2=1关于直线x+y=0对称的圆可得M'（﹣3,0）,圆M’方程为（x+3）2+y2=1，可得当点P位于线段NM'上时，线段AB长是圆N与圆M'上两个动点之间的距离最小值,此时|AC|+｜BC|的最小值为AB，N（3，8），圆的半径R=2,∵|NM'|===10,可得|AB｜=｜NM'｜﹣R﹣r=10﹣2﹣1=7因此｜AC｜+|BC｜的最小值为7，故选：A．【点评】本题给出直线l与两个定圆,求圆上两个点A、B与直线l上动点P的距离之和的最小值，着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．12．设函数f（x）=﹣4x+2x+1﹣1，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g(x2），则实数a的取值范围为（）A．(0，4] B．（﹣∞，4］ C．（﹣4，0］ D．[4,+∞）【考点】函数的值．【分析】由题意求出f（x)的值域，再把对任意x1∈R，都存在x2∈R,使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x)的值域包含f（x）的值域,进一步转化为关于a的不等式组求解．【解答】解：∵f（x)=﹣4x+2x+1﹣1=﹣（2x）2+2×2x﹣1=﹣（2x﹣1）2≤﹣1,∴∀x1∈R，f(x）=﹣4x+2x+1﹣1∈（﹣∞，﹣1]，∵∃x2∈R,使f（x1）=g（x2),∴g（x)=lg（ax2﹣4x+1)的值域包含（﹣∞,﹣1］,当a=0时，g(x）=lg（﹣4x+1），不成立；当a≠0时，要使g(x)=lg(ax2﹣4x+1）的值域包含(﹣∞，﹣1]，则ax2﹣4x+1≥0的解集是R，∴，解得a≥4．∴实数a的取值范围是［4,+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分，将答案填在答题卡中横线上）13．在空间直角坐标系中，设A(m,2,3），B(1，﹣1，1）,且|AB|=，则m=1．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接由空间中的两点间的距离公式列式求解．【解答】解：∵A（m，2，3），B(1，﹣1，1），∴，解得:m=1．故答案为:1．【点评】本题考查空间两点间的距离公式的应用，是基础的计算题．14．已知f(x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=log6x,则f（﹣4）+f（9）=2．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）为R上的偶函数，当x＞0时，f（x）=log6x,∴f（﹣4）+f（9）=f(4)+f(9）=log64+log69=log6（4×9）=log636=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．15．过点A（4，﹣1)且在x轴和y轴上的截距相等的直线方程是x+y﹣3=0，或x+4y=0．【考点】直线的截距式方程．【分析】分类讨论:当直线过原点时，当直线不过原点时，代点分别可得方程．【解答】解：设直线在x轴为a，y轴截距为b，①当a=b=0时,直线过点（4，﹣1）和（0，0),其方程为=，即x+4y=0．②当a=b≠0时,直线方程为x+y=a，把点（4,﹣1）代入，得4﹣1=a，解得a=3，∴直线方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0，或x+4y=0【点评】本题考查直线的截距式方程，是基础题．解题时要认真审题,仔细解答，易错点是容易忽视a=b=0的情况，造成丢解．16．在正三棱锥P﹣ABC中，点P，A,B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球心O到底面ABC的距离为,则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化为正方体中，中心到截面的距离问题,利用等体积法可实现此计算．【解答】解:∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直,∴此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球O,设球O的半径为R，则正方体的边长为，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC×h=S△PAB×PC=,△ABC为边长为R的正三角形，S△ABC=（R)2=R2，∴h=，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为R﹣==，∴，∴S=4πR2=12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，属中档题．三、解答题(共6小题,满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•南平期末）已知两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0(m＞0）的距离的一半．（1）求m的值；（2）判断直线l与圆C：x2+(y﹣2)2=的位置关系．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】（1）求出两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离，利用两平行直线4x﹣2y+7=0,2x﹣y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x﹣2y+m=0(m＞0）的距离的一半，建立方程,即可求m的值；（2)求出C到直线l的距离，即可得出结论．【解答】解:(1）2x﹣y+1=0化为4x﹣2y+2=0,则两平行直线4x﹣2y+7=0，2x﹣y+1=0之间的距离等于=,∴点O到直线l：x﹣2y+m=0(m＞0）的距离==，∵m＞0∴m=5;（2）圆C：x2+（y﹣2)2=的圆心C(0,2），半径r=，∵C到直线l的距离d==，∴l与圆C相切．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查两条平行线间的距离，点到直线的距离公式,属于中档题．18．（12分）（2016秋•南平期末）如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,分E，F，G别为PD，AB，CD的中点，PD⊥平面ABCD（1）证明AC⊥PB（2）证明：平面PBC∥平面EFG．【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结BD,推导出PD⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（2）推导出GE∥平面PBC,GF∥平面PBC，由此能证明平面PBC∥平面EFG．【解答】证明：（1）连结BD，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD,∵PB⊂平面PBD，∴AC⊥PB．(2)∵G、E分别为CD、PD的中点，∴CE∥PC,又GE⊄平面PBC，PC⊂平面PBC,∴GE∥平面PBC，在正方形ABCD中，G、F分别为CD、AB的中点,∴GF∥BC,又GF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC，∴GF∥平面PBC，∵GF∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查面面平行的证明,是中档题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2016秋•南平期末）已知函数y=f（x）满足f（x+1)=x+3a，且f（a）=3．(1）求函数f（x)的解析式;（2）若g(x)=x•f（x)+λf(x)+1在（0，2）上具有单调性，λ＜0，求g(λ）的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）利用配凑法进行求解即可．（2）求出函数g（x）的表达式，结合一元二次函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：(1）∵f（x+1）=x+3a=x+1+3a﹣1，∴f(x）=x+3a﹣1,∵f(a)=3,∴f（a)=a+3a﹣1=4a﹣1=3,得4a=4,则a=1，即函数f（x)的解析式f（x）=x+2；（2)g（x）=x•f（x)+λf（x）+1=x•（x+2)+λ（x+2）+1=x2+（2+λ）x+2λ+1，函数的对称轴为x=﹣，若函数g（x）在(0，2)上具有单调性，λ＜0，则﹣≤0或﹣≥2,即λ≥﹣2或λ≤﹣6,∵λ＜0，∴λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0，则g（λ）的取值范围是λ≤﹣6或﹣2≤λ＜0．【点评】本题主要考查函数解析式的求解以及函数单调性的判断和应用，根据一元二次函数的性质是解决本题的关键．20．(12分）(2016秋•南平期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，AC=,BC=3，M,N分别为B1C1,AA1的中点（1)求证:AB⊥平面AA1C1C（2）判断MN与平面ABC1的位置关系，求四面体ABC1M的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】(1）推导出AB⊥ACAA1⊥AB，由此能证明AB⊥平面AA1C1C．（2）取BB1中点D，推导出平面MND∥平面ABC1，从而MN∥平面ABC1，过N作NH⊥AC1于H，M到平面ABC1的距离为，由此能求出四面体ABC1M的体积．【解答】证明：(1)∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，AC=，BC=3，AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC,∴AA1⊥AB，∵AC∩AA1=A，∴AB⊥平面AA1C1C．解：（2）MN∥平面ABC1．取BB1中点D,∵M,N分别为B1C1，AA1的中点，∴MD∥BC1,又四边形ABB1A1为平行四边形，∴DN∥AB，∵MD∩DN=D，∴平面MND∥平面ABC1,∴MN∥平面ABC1，∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离，过N作NH⊥AC1于H，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,∴NH⊥平面ABC1，∴NH===，∴M到平面ABC1的距离为，∴四面体ABC1M的体积===．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．(12分）（2016秋•南平期末）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2。718…为自然对数的底数,k，b为常数）,已知该食品在0℃的保鲜时间是19