2021年湖南省岳阳市中考数学真题及答案

2021年湖南省岳阳市中考数学真题及答案

（满分120分，考试时量90分钟）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分,满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的

一项）

1.在实数巡，-1,0,2中，为负数的是（）

A.5/3B.-1C.0D.2

2.下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）

3.下列运算结果正确的是()

A.3a-a=2B.a2»a1=a8C.(a+2)(a-2)=a2-4D.(-a)2=-a2

4.已知不等式组JY—1"0其解集在数轴上表示正确的是()

,2x》-4

*1，，1,4■■—3i--►1~f।1

A.-3-2-1012B.-3-2-1012C.-3-2-1012D.-3-^-1012

5.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线2〃1）,则N1的大小为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

6.下列命题是真命题的是（）

A.五边形的内角和是720°B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

7.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个

最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0（单位：分），这五个有效评分的平均

数和众数分别是（）

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互

次函数如图，在正方形0ABC中，点A（0,2）,点C（2,0）,则

二次函数y=（x-m）2-m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小

别是（）

A.4,-1B.-1C.4,0D.54VlL-1

22

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9.因式分解：x、2x+l=

10.2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显

示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为

11.一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子

中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为.

12.己知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为

13.要使分式上有意义，则x的取值范围为.

x-1

14.已知x+2=J5，则代数式x+2-J5=.

xx

15.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅

相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角

线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）如图，设门高

AB为x尺，根据题意，可列方程为.

16.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,BE=8,。。为aBCE的

外接圆，过点E作。0的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是.（写出所有正确结论

的序号）

①AE=BC；

②NAED=NCBD；

③若NDBE=40°,则施的长为空;

9

④DF=EF：

EFBF

⑤若EF=6,则CE=2.24.

三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（-1）2O2'+|-2|+4sin30°-（我-n）。.

18.（6分）如图，在四边形ABCD中，AE±BD,CF1BD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件

是;

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

19.（8分）如图，已知反比例函数y=K（kWO）与正比例函数y=2x的图象交于A（1,m）,B两点.

（1）求该反比例函数的表达式;

（2）若点C在x轴上，且aBOC的面积为3,求点C的坐标.

y

Ox

B,

20.（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出,

要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了

八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列

不完整的统计图表:

组别睡眠时间分组频数频率

At<640.08

B6WtV780.16

C7WtV810a

D8<tV9210.42

Et29b0.14

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中，a=>b=；

（2）扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是°；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果，

向学校提出一条合理化的建议.

21.（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走，lh后妈妈开

车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平

均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

22.（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，该

河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡度i=l：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽

度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为NDBE=

45°,ZDBF=31°.

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin31°七0.52,cos31°心0.86,tan31°«=0.60）

23.（10分）如图，在RtAABC中，/ACB=90°,NA=60°,点D为AB的中点，连接CD,将线段CD绕

点D顺时针旋转a（60°<a<120°）得到线段ED,且ED交线段BC于点G,NCDE的平分线DM交BC

于点H.

（1）如图1,若a=90°,则线段ED与BD的数量关系是ED=BD,较=返；

CD-3-

（2）如图2,在（1）的条件下，过点C作CF〃DE交DM于点F,连接EF,BE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：些=返；

FH3

（3）如图3,若AC=2,tan（a-60°）=m,过点C作CF〃DE交DM于点F,连接EF,BE,请直接写

出些的值（用含m的式子表示）.

FH

24.（10分）如图，抛物线y=ax?+bx+2经过A（-1,0）,B（4,0）两点，与y轴交于点C,连接BC.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2,直线1：y=kx+3经过点A,点P为直线1上的一个动点，且位于x轴的上方，点Q为抛物

线上的一个动点，当PQ〃y轴时，作QMJ_PQ,交抛物线于点M（点M在点Q的右侧），以PQ,QM为邻边

构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小值；

（3）如图3,设抛物线的顶点为D,在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小值时，抛物线上是否

存在点F,使得NCBF="DQM?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的

一项）

1.在实数巡，-1,0,2中，为负数的是（）

A.5/3B.-1C.0D.2

【知识考点】实数.

【思路分析】根据负数的定义，可以判断题目中的哪个数是负数.

【解题过程】解：在-1,0,2这四个数中，负数是-1,

故选：B.

【总结归纳】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义.

2.下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）

【知识考点】轴对称图形.

【思路分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析.

【解题过程】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【总结归纳】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.

3.下列运算结果正确的是()

A.3a-a=2B.a2,a'=asC.(a+2)(a-2)=a2-4D.(-a)~=-a2

【知识考点】合并同类项；同底数幕的乘法；平方差公式.

【思路分析】根据合并同类项原则、同底数基的乘法运算法则、平方差公式以及寨的乘方运算法则正确

计算即可求出正确答案.

【解题过程】解：3a和a属于同类项，所以3a-a=2a,故A项不符合题意，

根据同底数塞的乘法运算法则可得a-a'=a6,故B项不符合题意，

根据平方差公式(a+2)(a-2)=a2-4,故C项符合题意，

(-a)2=a2,故D项不符合题意，

故选：C.

【总结归纳】本题主要考查合并同类项原则、同底数幕的乘法运算法则、平方差公式以及累的乘方运算

法则，熟练运用运算法则是解题的关键.

4.己知不等式组其解集在数轴上表示正确的是()

12x〉-4

*L，Y，》■1iL-1~f’1’’口

A.-3-2-1012B,-3-2-1012C.-3-2-1012I).-3-2-1012

【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组.

【思路分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大

小小无解了确定不等式组的解集.

【解题过程】解：解不等式x-l<0,得：x<l,

解不等式2x)-4,得：x》-2,

则不等式组的解集为-2Wx<l,

故选：D.

【总结归纳】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大;

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线2〃〉则N1的大小为()------汉方一□----。

A.45°B.60°C.75°D.105°

【知识考点】平行线的性质.______°

【思路分析】根据平行线的性质可得Nl+NABC=180°,进而可求出一厂

Z1.

【解题过程】解：由题意知，ZABC=45°+60°=105°,

•・・a〃b,

.•.Zl+ZABC=180°,

AZI=1800-ZABC=180°-105°=75°,

故选：C.

【总结归纳】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行,同旁内角

互补是解决问题的关键.

6.下列命题是真命题的是()

A.五边形的内角和是720°B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点

【知识考点】命题与定理.

【思路分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及三角形的重心的性质分别

判断后即可确定正确的选项.

【解题过程】解：A、五边形的内角和为540°,故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意，

故选：B.

【总结归纳】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、

平行线的性质及三角形的重心的定义等知识，难度不大.

7.在学校举行“庆祝百周年，赞歌献给党”的合唱比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分、一个

最低分后得到五个有效评分，分别为：9.0,9.2,9.0,8.8,9.0(单位：分)，这五个有效评分的平均

数和众数分别是()

A.9.0,8.9B.8.9,8.9C.9.0,9.0D.8.9,9.0

【知识考点】算术平均数；众数.

【思路分析】根据平均数的计算方法对这组数先求和再除以5即可，众数即出现次数最多的数，便可选

出正确答案.

【解题过程】解：彳=9・0+9・2+9.0+8.8+9.0=9.0,

5

该组数众数为：9.0,

这五个有效评分的平均数和众数分别为9.0,9.0,

故选：C.

【总结归纳】本题考查算术平均数以及众数，熟练掌握平均数的求法以及众数的求法是解题的关键.

8.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互「异二次

函数如图，在正方形0ABC中，点A(0,2),点C(2,0),则互t异二次

函数y=(x-mJ-m与正方形0ABC有交点时m的最大值和最小值分.d------别是

A.4,-1B.5-VTF,-1c.4,0D.

22

【知识考点】二次函数的性质；正方形的性质.

【思路分析】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过

点A,再逐渐经过点0,点B,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中，两次经过点A,两次经过点0,

点B和点C,只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.

【解题过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y=(x-m)z-m的顶点(m,-m)在直线y=-x

上运动，

AB(2,2),

从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A,再逐渐经过点0,

点B,点C,最后再经过点B,且在运动的过程中，两次经过点A,两次经过点0,点B和点C,

...只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值.

当互异二次函数y=(x-m)--m经过点A(0,2)时，m—2,或m=-1；

当互异二次函数丫=(x-m)2->11经过点8(2,2)时，或m=史

22_

二互异二次函数y=(x-m)2-m与正方形0ABC有交点时m的最大值和最小值分别是包乂豆，-1.

2

故选：D.

【总结归纳】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质.解答关键是研究动点到达临界点时图

形的变化，从而得到临界值.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分)

9.因式分解：X2+2X+1=.

【知识考点】因式分解-运用公式法.

【思路分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可.

【解题过程】解：x、2x+l=(x+1)2,

故答案为：(x+1)2.

【总结归纳】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键.

10.2021年5月15日，“天问一号”探测器成功着陆火星，在火星上首次留下了中国印迹.据公开资料显

示，地球到火星的最近距离约为55000000公里，数据55000000用科学记数法表示为.

【知识考点】科学记数法一表示较大的数.

【思路分析】根据科学记数法的方法对55000000进行科学记数即可.

【解题过程】解：55000000=5.5法107,

故答案为：5.5X107.

【总结归纳】本题考查用科学记数法表示较大的数，掌握科学记数法的基本方法是解题的关键.

11.一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个白球，2个黑球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子

中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为.

【知识考点】概率公式.

【思路分析】用白球的个数除以球的总个数即可.

【解题过程】解：从袋子中随机摸出一个小球共有5种等可能结果，摸出的小球是白球的结果数为3,

摸出的小球是红球的概率为旦，

5

故答案为：3.

5

【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的

结果数+所有可能出现的结果数.

12.已知关于x的一元二次方程x2+6x+k=0有两个相等的实数根，则实数k的值为.

【知识考点】根的判别式.

【思路分析】利用判别式的意义得到4=6,-4k=0,然后解关于k的方程即可.

【解题过程】解：根据题意，4=62-4k=0,

解得k=9,

故答案为9.

【总结归纳】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a^O)的根与△ub，-4ac有如下关

系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根.

13.要使分式上有意义，则x的取值范围为.

x-1

【知识考点】分式有意义的条件.

【思路分析】先根据分式有意义的条件列出关于X的不等式，求出X的取值范围即可.

【解题过程】解：•.•分式上有意义，

X-1

.•.x-1#0,解得xWl.

故答案为：xf1.

【总结归纳】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关

键.

14.已知x+工=血，则代数式x+A-&=.

XX

【知识考点】二次根式的化简求值.

【思路分析】把x+」的值代入计算即可.

X

【解题过程】解：：x+2=加，

X

.-.X+1-V2=V2-V2=0-

x

故答案为：0.

【总结归纳】本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的减法法则是解题的关键.

15.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺八寸，,门两隅

相去适一丈.问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门r对角

线距离恰好为1丈.问门高、宽各是多少？(1丈=10尺，1尺=10寸)如图，设\门高

AB为x尺，根据题意，可列方程为____________.\

【知识考点】勾股定理的应用.X\

【思路分析】设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，利用勾股定理，即可得\出关

于x的一元二次方程，此题得解.|\\

【解题过程】解：设门高AB为x尺，则门的宽为(x-6.8)尺，AC=1丈=10尺，B

依题意得：AB2+BC2=AC2,

即(x-6.8)2+x2=102.

故答案为：(x-6.8)2+x2=102.

【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列

出一元二次方程是解题的关键.

16.如图，在Rt^ABC中，NC=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E,BE=8,。。为ABCE的

外接圆，过点E作。0的切线EF交AB于点F,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论

的序号）

①AE=BC；

②NAED=NCBD；

③若NDBE=40°,则福的长为之；

9

④DF=EF：

'EFBF

⑤若EF=6,则CE=2.24.

【知识考点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；相似三角形的判定与性

质.

【思路分析】①DE垂直平分AB,AE=BE,BE>BC,则AE>BC,故①错误;

②由题可知，四边形DBCE是。。的内接四边形，则NAED=/CBD,故②正确；

③连接0D,若NDBE=40°,则/D0E=80°,则施的长为竺二23=&L,故③错误；

1809

④易得△EDFSABEF,则】E=旦E,故④正确；

EFBF

⑤在RtZ\BEF中，EF=6,BE=8,BF=10,又△BEFs/XACB,则BE：AC=EF：BC=6：8,设BE=6m,则

AC=8m,则CE=8m-8,由勾股定理可得，EC2+BC2=BE2,即(8m-8)z+(6m)2=82,解得m=1.28,则

CE=8m-8=2.24.故⑤正确.

【解题过程】解:①〈DE垂直平分AB,

AAE=BE,

又在RtZ\ABC中，ZC=90°,

ABE>BC,

AAE>BC,

故①错误；

②由题可知，四边形DBCE是。。的内接四边形,

.*.ZAED=ZCBD,

故②正确；

④；EF是。0的切线，

.,.ZBEF=90°,

又DE_LAB,

.*.ZEDF=ZBEF=90°,

.,.△EDF^ABEF,

ADF=EF（故④正确；

EFBF

⑤在RtZXBEF中，EF=6,BE=8,

ABF=10,

由①AE=BE=8,

AZA=ZABE,

又NC=NBEF=90°,

.,.△BEF^AACB,

AEF：BE=BC：AC=6：8,

设BC=6m,则AC=8m,则CE=8m-8,

在RtaBCE中，由勾股定理可得，EC2+BC2=BE\即（8m-8）2+（6m）2=82,

解得m=l.28,

.*.CE=8m-8=2.24.故⑤正确.

故答案为：②④⑤.

【总结归纳】本题主要考查相似三角形的性质与判定，切线的性质，弧长的计算等内容，熟知相关性质

及定理是解题关键.

三、解答题（本大题共8小题，满分64分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算：（-1）-2|+4sin30°-（沈一“

【知识考点】绝对值；实数的运算；零指数基；特殊角的三角函数值.

【思路分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案.

【解题过程】解：原式=-l+2+4xi-1=-1+2+2-1=2.

2

【总结归纳】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数基、正整数累，特殊角的三角函数值等知

识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键.

18.（6分）如图，在四边形ABCD中，AE±BD,CF1BD,垂足分别为点E,F.

（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件

是;

（2）添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形.

【知识考点】平行四边形的判定.

【思路分析】（1）由题意添加条件即可；

（2）证AE〃CF,再由AE=CF,即可得出结论.

【解题过程】解：（1）添加条件为：AE=CF,

故答案为：AE=CF；

（2）证明：VAE1BD,CF1BD,

；.AE〃CF,

：AE=CF,

四边形AECF为平行四边形.

【总结归纳】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题

的关键.

19.（8分）如图，已知反比例函数y=K（kWO）与正比例函数y=2x的图象交于A（1,m）,B两点.

x

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3,求点C的坐标.

【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【思路分析】（1）先把A（1,m）代入y=2x中，即可算出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函

数解析式中即可得出答案；

（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D,设点C的坐标为（a,0）,根据反比例函数与正比例函数的性

质可得点B的坐标，由题意可得BD=1-2|=2,OC=|a|,再根据三角形面积计算方法即可算出a的值,

即可得出答案.

【解题过程】解：（1）把A（1,m）代入y=2x中，

得m=2,

.•.点A的坐标为（1,2）,

把点A（1,2）代入y=K中，

X

得k=2,

...反比例函数的解析式为y=2；

x

（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D,

设点C的坐标为（a,0）,

•.•点A与点B关于原点对称，

.•.点B的坐标为（-1,-2）,

.'.BD=|-2|=2,0C=|a|,

SABOC=/BD・OC=/X2X|a|=3，

解得：a=3或a=-3,

...点C的坐标为（3,0）或（-3,0）.

【总结归纳】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识进行求解是解决本

题的关键.

20.（8分）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，

要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理.某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了

八年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：h）进行了调查，将数据整理后得到下列

不完整的统计图表：

组别睡眠时间分频数频率

组

At<640.08

B6<tV780.16

C74V810a

D8WtV9210.42

Et29b0.14

请根据图表信息回答下列问题：

(1)频数分布表中，a=0.2,b=7；

(2)扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角的度数是72°：

(3)请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

(4)研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率.请你根据以上调查统计结果,

向学校提出一条合理化的建议.

【知识考点】用样本估计总体；频数(率)分布表；扇形统计图.

【思路分析】(1)根据B组人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，再根据频数分布表中的数

据,即可计算出a、b的值;

(2)根据C组的频率可计算出扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小；

(3)根据每天睡眠时长低于7小时的人数所占比例可以计算出该校学生每天睡眠时长低于7小时的人数.

(4)根据调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议即可.

【解题过程】解：(1)本次调查的同学共有：8+0.16=50(人)，

a=10+50=0.2,

b=50-4-8-10-21=7,

故答案为：0.2,7；

(2)扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的大小是：360°X20=72°,

50

故答案为：72；

(3)600X生@=144(人)，

50

答：估计该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数有144人；

(4)按时入睡，保证睡眠时间.

【总结归纳】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用

数形结合的思想解答.

21.（8分）星期天，小明与妈妈到离家16km的洞庭湖博物馆参观.小明从家骑自行车先走，lh后妈妈开

车从家出发，沿相同路线前往博物馆，结果他们同时到达.已知妈妈开车的平均速度是小明骑自行车平

均速度的4倍，求妈妈开车的平均速度.

【知识考点】分式方程的应用.

【思路分析】设小明骑自行车的平均速度为xkm/h,则妈妈开车的平均速度为4xkm/h,根据时间=路程

・速度，结合小明比妈妈多用lh,即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【解题过程】解：设小明骑自行车的平均速度为xkm/h,则妈妈开车的平均速度为4xkm/h,

依题意得：西-西=1,

x4x

解得：x=12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

；.4x=48.

答：妈妈开车的平均速度为48km/h.

【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

22.（8分）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，该

河旁有一座小山，山高BC=80m,坡面AB的坡度i=l：0.7（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽

度的比），点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为NDBE=

45°,NDBF=31°.

（1）求山脚A到河岸E的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度.（结果精确到0.1m）

（参考数据：sin31°七0.52,cos31°«=0.86,tan31°七0.60）

【知识考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【思路分析】(1)在RtaABC中，根据AB的坡度求出AC,在Rt^BCE中，根据等腰直角三角形的性质

可得CE=BC,由线段的和差即可求得AE；

(2)在Rt^BCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度.

【解题过程】解：(1)在Rt^ABC中，BC=80,

；AB的坡度i=l：0.7,

•BC=1

**AC077(

.80=1

,*AC育，

AAC=56,

在RtZ\BCE中，BC=80,ZBEC=ZDBE=45°,

.*.ZCBE=90o-ZBEC=90°-45°=45°,

AZBEC=ZCBE,

.\CE=BC=80,

AAE=CE-AC=80-56=24(m),

答：山脚A到河岸E的距离为24m；

(2)在RtZ\BCF中，BC=80,ZBFC=ZDBF=31°,tanNBFC=K,

CF

...毁仁06,

CF

ACF«=133.33,

AEF=CF-CE=133.33-80=53.33弋53.3(m),

答：河宽EF的长度约53.3m.

【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解

题关键.

23.(10分)如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,NA=60°,点D为AB的中点，连接CD,将线段CD绕

点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,且ED交线段BC于点G,NCDE的平分线DM交BC

于点H.

(1)如图1,若a=90°,则线段ED与BD的数量关系是ED=BD，&4=返；

CD—3一

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作CF〃DE交DM于点F,连接EF,BE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：理=返；

FH3

(3)如图3,若AC=2,tan(a-60°)=m,过点C作CF〃DE交DM于点F,连接EF,BE,请直接写

出些的值(用含m的式子表示).

FH

【知识考点】四边形综合题.

【思路分析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可以得到AC=CD=BD,根据旋转的性质可以

得到CD=DE,则DE=BD；又在Rt^CGD中，含30°的直角三角形边之间的关系可得结论；

(2)①由NCFD=NEDM=NCDM,得CF=CD=ED,又CF〃DE,则四边形CDEF是菱形，又NCDE=90°,

可得结论：菱形CDEF是正方形.

②由题意可得，ZEGB=ZFCH,ZEBG=ZCFD,则△BEGs/^FHC,又DG=BG,CD=CF,所以掘=毁=

FHFC

GD=V3

CDV

(3)过点D作DNLBC于点N,由tanNNDG=tan(a-60°)得NG=m,所以DG=J^"而

=2,BEBGGD

Vl+m又△BEGS/\FHC,DG=BG,CD=CF,所以===

FHFCCD2

【解题过程】解：(1)在RtZXABC中，NACB=90°,点D为AB的中点,

；.AD=CD=BD,

；NA=60°,

/.ZB=30°,△ACD是等边三角形，

；.NDCB=30°,

；NCDE=a=90°,

tanZCGD=tan60°

DG

.GD=V3

,,CDT'

:线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,

；.ED=CD=BD,

故答案为：ED=BD；区.

3

(2)①四边形CDEF是正方形，理由如下，

；DM平分/CDE,NCDE=90°,

；.NCDM=NEDM=45°,

・,CF〃DE,

AZCFD=ZEDM=45°,

AZCFD=ZEDM=ZCDM,

・・・CF=CD=ED,

・・・四边形CDEF是菱形，

VZCDE=90°,

・・・菱形CDEF是正方形.

②由（1）可知，ZADC=60°,ZCGD=60°,BD=DE,

AZBDE=30°,ZEGB=60°,

AZDBE=ZDEB=75°,

・・・NEBG=45°,

VZGDB=90°-ZADE=30°,ZABC=30°,

:.ZGDB=ZABC,

・・・DG=BG,

由①知NCFD=NCDF=45°,ZDCF=90°,

AZFCH=60°,

\ZEGB=ZFCH,ZEBG=ZCFD,

,.△BEG^AFHC,

.BE=BG,

*FH而，

・,DG=BG,CD=CF,

・BE=BG=GD=F

'・丽FCCDV

(3)如图3,过点D作DNLBC于点N,

图3

・・・AC〃DN,

JZACD=ZCDN,

••.△ACD是等边三角形，AC=2,

・・・FC=CD=AC=2,ZCDN=ZACD=60°,

/.ZNDG=a-60°,DN=1,

.\tanZNDG=tan(a-60°)=蚂=01,

DN

，NG=m,

在RtZ\ABC中，/ACB=90°,/A=60°,AC=2,

.*.AB=4,BC=2近，

；.BN=CN=y,

；.BG=«-m,

VZADC=60°,ZCDG=a,

.,.ZBDE=120°-a,

.,.ZBEG=ZEBG=30°

2

，NEBG=，L,

2

...NBGE=150°-a,

平分NCDE,NCDE=a,

；.NCDM=/EDM=2,

2

：CF〃DE,

；.NCFD=/EDM=2,ZDCF+ZCDE=180°,

2

.,.ZDCF=180°-a,

.*.ZFCG=150°-a,

.*.ZEGB=ZFCG,ZEBG=ZCFD,

AABEG^AFHC,

•BE=BG=^12m

**FHFC-2-

【总结归纳】本题主要考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30°的直角三角形

的边角关系，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和等内容，得到△BEGsaFHC是解题关键.

24.(10分)如图，抛物线y=ax?+bx+2经过A(-1,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.