高级统计学：曲线拟合

Curvefitting

曲线拟合

医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。这时可以用曲线直线化估计（Curveestimation）或非线性回归(Nonlinearregression)方法分析。

绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类）按曲线类型，作曲线直线化变换建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取“最佳”曲线方程曲线直线化估计的步骤

曲线形式

（根据生物学机制理论决定）

常见的曲线回归方程②对数：①幂函数：

或

③指数函数：④多项式：

或

⑤logistic：

或

一、利用线性回归拟合曲线（例1）例上海医科大学微生物学教研室以已知浓度X的免疫球蛋白A(IgA,μg/ml)作火箭电泳,测得火箭高度Y(mm)如表1所示。试拟合Y关于X的非线性回归方程。XYX'＝lnX

(lnX)2Y2(lnX)Y

残差平方0.27.6-1.60940.412.3-0.91630.615.7-0.51080.818.2-0.22311.018.701.221.40.18231.422.60.33651.623.80.4700合计140.3-2.27082.590257.76-12.23140.8396151.29-11.27050.2609246.49-8.01960.0498331.24-4.06040.0000349.690.00000.0332457.963.90120.1132510.767.60490.2209566.4411.18604.1078

2671.63

-12.8898

7.2312.6215.7718.0119.7521.1622.3623.40

0.13800.10170.00530.03611.09210.05630.05660.15971.6458

（一）绘制散点图，决定曲线类型

（二）曲线直线化变换

=a+blnX

（三）建立线性回归方程

回归方程为：=19.7451+7.7771lnX方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝763.50，表明回归方程有贡献。确定系数为0.99，表明回归拟合原资料很好。

用线性回归拟合曲线（例2）表9-1125名重伤病人的住院天数X与预后指数Y编号123456789101112131415X257101419263134384552536065Y54504537352520161813811846

（一）绘制散点图，决定曲线类型

（二）曲线直线化变换

（三）建立线性回归方程

回归方程为：4.037-0.038X方差分析有统计学意义，P＝0.0000，F＝276.38，表明回归方程有贡献。确定系数为0.9551，表明回归拟合原资料较好。转换为原方程的另一种形式：

比较两个回归方程可见，对同一份样本采用不同估计方法得到的结果并不相同。主要因为曲线直线化以后的回归只对变换后的Y*(＝lnY)负责,得到的线性方程可使Y*与其估计值之间的残差平方和最小,并不保证原变量Y与其估计值之间的残差平方和也是最小。曲线直线化非线性最小二乘法

问题：前一个例子只对自变量作对数变换的对数曲线拟合，能否保证原变量Y与其估计值之间的残差平方和也是最小？幂函数曲线拟合呢？

问题：如何判断哪个曲线拟合方程更佳？对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（曲线直线化）：线性（直线）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)幂曲线R2：0.8293(y=159.9297x-0.7191)对数曲线R2：0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)

)指数曲线R2：

0.9551(y=56.6651e-0.0380x)二项式曲线R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2

)

问题：如何判断那个曲线拟合方程更佳？对于例9-15，几个常见曲线拟合得到的决定系数R2如下（非线性回归——迭代法）：线性（直线）R2：0.8856(y=46.4604-0.7525x)幂曲线R2：0.8413(y=88.7890x-0.4662)对数曲线R2：0.9654(y=72.2829-15.9662Ln(x)

)指数曲线R2：

0.9875(y=58.6066e-0.0396x)二项式曲线R2：0.9812(y=55.8221-1.7103x+0.0148x2

)

原变量Y与（直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值幂曲线R：＝lnX与lnY间相关系数绝对值对数曲线R：＝lnX与Y间相关系数绝对值指数曲线R：

＝

X与lnY间相关系数绝对值二项式曲线R：＝√（1－SS残差/SS总）R的计算（曲线直线化）

原变量Y与（直线或曲线方程得到）间相关系数的绝对值＝相关指数R线性（直线）R：＝X与Y间相关系数绝对值幂曲线R：≠lnX与lnY间相关系数绝对值对数曲线R：＝lnX与Y间相关系数绝对值指数曲线R：

≠

X与lnY间相关系数绝对值二项式曲线R：＝√（1－SS残差/SS总）R的计算（非线性回归）

散点图辨析

如果条件允许最好采用非线性回归（NonlinearRegression）拟合幂函数曲线与指数函数曲线注意绘制散点图，并结合专业知识解释

采用SAS进行曲线拟合

采用SPSS进行曲线拟合曲线直线化AnalyzeRegressionCurveEstimation…可选Power、Logarithm