北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形教育教学课件

菱形的性质与判定

学习目标1.理解并掌握菱形的两个判定方法.2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.新课导入1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分.3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理.合作探究什么样的四边形是菱形？有一组邻边相等的平行四边形.我们还可以从哪些角度考虑？合作探究用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?可以发现：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.你能证明它吗？合作探究ADBC已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相较于点O，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC.又∵AC⊥BD，∴直线BD是线段AC的垂直平分线.∴BA=BC.∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.O∵在□ABCD中，AC⊥BD，∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).新课讲授菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.符号语言：ADBCO合作探究画一画如图，分别以AC为圆心，以大于AC的长为半径做弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形.ADBC四边相等的四边形是菱形？合作探究已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求证：□ABCD是菱形.证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.ADBC新课讲授菱形的判定定理：四边相等的四边形是菱形.∵AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形是菱形).符号语言：ADBC合作探究你能用折纸的方法得到菱形吗？先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.新课讲授菱形的判定ADBC定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.定理：四边相等的四边形是菱形.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.证明：在△AOB中. ∵AB=，OA=2，OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形).例1、已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1.求证：□ABCD是菱形.ABCOD证明：∵∠1=∠2, 又∵AE=AC, ∴△ACD≌△AED(SAS). 同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.又∵EF=ED, ∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.2例2、已知：如图，在△ABC，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF=ED.求证：四边形CDEF是菱形.ACBEDF1例3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的长．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∴∠AOD＝90°，OD＝ED，∴∠E＝∠DOE，∵∠ADO＝∠E+∠DOE，∴∠E＝∠DOE＝30°，∵∠DAO＝30°，∴∠E＝∠EAO，∴OE＝AO，∵AD＝4，∴OD=2，∴OE=AO＝=随堂练习1．下列说法中错误的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．菱形的对角线长度等于边长 C．一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B随堂练习2．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（）A．AD⊥BC B．AD为BC边上的中线 C．AD＝BD D．AD平分∠BACD随堂练习3．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是___________．①②③随堂练习4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E.求证：四边形ADCE是菱形.证明：∵AB∥DC，CE∥DA，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE.又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD.∴∠ACE=∠CAE.∴AE=CE.又∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形.随堂练习5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．求证：四边形CEGF是菱形.解：证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF=AF，CF=GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF