圆知识点总结

'点与回［相交与圆有关的位置关"直线与岫相切——切线及切线长［相离圆与圆的位置关系8种)弦、弧等与圆有关的定义('点与回［相交与圆有关的位置关"直线与岫相切——切线及切线长［相离圆与圆的位置关系8种)弦、弧等与圆有关的定义(1)(2)(3)(4),OBOGA知识结构图:［■基本元素：定义、弧、弦、圆心、半径知识结构图:圆的认识对称性：旋转对称、轴对称、中心对称"垂径定理圆的认识对称性：旋转对称、轴对称、中心对称.圆心常、弧、弦、弦足距关系与圆有关的甫：圆心南、圆周南、弦切甫1.圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“。0”，读作“圆O”设①。的半径为R,如=击则有判定一个点P是否在。0上.点F在①。夕卜；d=TO点P在(DO上；d<r^点F在。。内.弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)直径经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)直径是最长的弦。半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。弧、优弧、劣弧、等弧(度数和长度)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“^”表示，以A，B为端点的弧记作“箱”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。优弧(多用三个字母表示)圆的性质：轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.⑵平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.｛知二推三｝①AB是直径 ®AB±CD③CE=DE④BC=BD⑤AC-AD平行弦夹的弧相等.旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.(一等皆等四量关系)在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.4.与圆有关的角圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半..\ZAOB=2ZACB同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.B在。O中，弧DC=弧DCAZC=ZD90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.

在。O中， •AB是直径 或VZC=90°/.ZC=90° .AB是直径看p18例1如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.三角形的外心确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。(1)外接圆、内接三角形三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等.注：直角(斜边中点半径是斜边一半)、等腰，等边三角形外心位置(2)圆内接四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形圆内接四边形对角互补，外角等于内对角...•四边形ABCD是内接四边形/.ZC+ZBAD=180°B+ZD=180p25试^■试Zp25试^■试规律：圆内接平行四边形是矩形直线和圆的位置关系：(方法：判定圆心到直线的距离，与半径关系)点O到直线l的距离为d.设③O半径为R直线和圆没有公共点=直线和圆相离=d>R.点O到直线l的距离为d.设③O半径为R直线和圆没有公共点=直线和圆相离=d>R.直线和。0有唯一公共点=直线l和。0相切=d=R.直线l和。0有两个公共点=直线l和。0相交=d<R.7.切线的判定、性质：(1)切线的性质：(1)(2)(3)切线与圆有一个公共点切线到圆心的距离等于圆的半径圆的切线垂直于过切点的半径.即：过圆心、过切点、垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件•MN是切线 /.MNXOA(2)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.p29例2环形规律p30试一试B•即:VMNXOA「.MN是。O的切线 p31例3 \O/②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线・ C、—A D切线的判定的两种方法1、连半径，证垂直；2、作垂直，证半径两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可8.(1)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.⑵切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.•.•PA、PB是的两条切线.•.PA=PBPO平分ZBPA9.内切圆、外切三角形⑴三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等.线段规律：面积分割法:(代数法)切线长定理:r=2（面积分割法:(代数法)切线长定理:r=2（p=a+b+c）PAF—A恐AB+A」BCBA+BC-ACBF—BD— CD-C—CB+眼AB圆与圆的位置关系：(5种，三类)d>R+r外离圆与圆的位置关系：(5种，三类)d>R+r外离（图1）无公共点外切（图2）有一个公共点d=R+r相交（图3）有两个公共点R-rvdvR+r内切（图4）有一个公共点d=R-r内含（图5）无公共点U^^J等JdvR-r11.1的圆的性质：两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线相切两圆的连心线经过切点.(三点共线)相交两圆的连心线垂直平分公共弦.,/OO1和。O2相交于A、B(如图)...O1O2是AB的垂直平分线FC-OF=r-工=0+竺a+b+c2角度规律：p34例4规律p35试一试注：特殊三角形的外心位置(2)圆外切四边形(1)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等结论圆外切平行四边形是菱形10.圆和圆的位置关系：注： 不等圆相交，有公共弦，圆心距有两种装圆问题，滚圆问题，动圆问题12.正多边形性质与计算 早黑相交领各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形(多边形：边数大于等于3) 《外离、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

计算可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。正n边形的内角度数为：(n—2)x180°; 正n边形的一个内角是(n-2)x180°《n.正n边形外角和等于360° 所以正n边形的一个外角为：360°-n.正n边形的中心角360°+n.正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。中心与正多边形顶点连线的长度叫做半径。中心与边的距离叫做边心距 1:/尸:2(1)在。O中 AABC是正三角形，有关计算在RtABOD中进行，OD:BD:OB=正四边形的有关计算在RtAOAE中进行，OE:AE:OA=1:1:.JT正六边形的有关计算在RtAOAB中进行，AB:OB:OA=1:”3:2n兀n兀l2.侧面扇形弧长=2nr=180；正多边形计算的解题思路:正多边形连MB＞等腰三角形作垂细°＞直角三角形。转化 转化13.弧、扇形以及圆锥的有关计算问题圆的面积公式：S=n®，周长C=2nR.n兀R在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为L=荔0如果扇形的的半径为R，圆心角为n°，扇形面积的计算公式圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为1，底面圆的半径为r圆锥的侧面积为nRl联系：1.侧面展开扇形和圆锥的联系圆锥侧面展开图是扇形，它的半径是这个圆锥的母线，它的弧长是这个圆锥的底面的噩长=竺12 门’3.侧面扇形面积=口Rl=360得•’ 』5.圆锥的侧面积与底之和称为圆锥的全面积为+注：求面积的方法直接法一由面积公式直接得到间接法f即：割补法(和差法)f进行等量代换求阴影部分面积14.圆中常见的辅助线

作半径，利用同圆或等圆的半径相等.作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明.作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算.作弦构造同孤或等孤所对的圆周角.⑸作弦、直径等构造直径所对的圆周角一直角.遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角.遇到切线，作过切点的半径，构造直角.欲证直线为圆的切线时，分两种情况：若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径.遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.遇到三角形的内心，常作：①内心到三边的垂线；②连结内心和三角形的顶点遇相交两圆，常作：①公共弦；②连心线口诀：半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。补充.弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦弦切角的性质：弦切角等于它夹的孤所对的圆周角.I月为NA=/D,I月为NA=/D,ZC-_B所以：△PACs/\PDBC所以：PA:PD=PC:PB即：PA・PB-PC・PD相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相相交弦定理等。(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA.PB=PC・PD(相交弦定理)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项相交弦定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。几何语言： VPT切QO于点T，PBA是QO的割线.•.PT的平方=PAPB(切割线定理)切割线定理推论)(割线定理)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言： ,/PBA，PDC是QO的割线...PD・PC=PAPB(1)三角形的重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍.(2)垂心：是三角形三边高线的交点.两